初中数学人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积练习题

24.4 弧长和扇形面积（附解析）

一、单选题(共10个小题)

1．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（        ）

A．6 B．12 C．24 D．2

2．如图，AB切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，连接OB．若，OA＝4，则劣弧的长是（　    　）

A．π B．π C．π D．π

3．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（　　     ）

A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm

4．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（         ）

A． B． C．4 D．

5．如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在上，则阴影部分的面积为（结果保留π）（       ）

A． B． C． D．

6．如图，将绕点旋转得到，已知，，则线段扫过的图形面积为（        ）

A． B． C． D．

7．如图，△ABC内接于⊙O，若，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为（        ）

A． B． C． D．

8．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（         ）

A．10cm2 B．10cm2 C．20cm2 D．20cm2

9．在半径为6 cm的圆中，长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为 （　    　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

10．如图，正方形的边，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（         ）

A． B． C． D．

二、填空题(共10个小题)

11．若把一个半径为12cm，圆心角为的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是_______，圆锥的高是__________，侧面积是____________．

12．用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为_________．

13．如图，圆锥的轴截面是边长为8cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为__________．

14．若一个圆锥的母线长为，它的半径为，则这个圆锥的全面积为________．

15．如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是________cm2．

16．一个母线长为6cm，底面半径为3cm的圆锥展开后得到的侧面展开图扇形的圆心角是______度．

17．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是________cm．

18．正方形的边长为4，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图．当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为_____________．

19．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为.在母线上的点处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点，则此蚂蚁爬行的最短距离为_______．

20．如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为___________．

三、解答题(共6个小题)

21．求阴影部分的面积．（单位：cm，结果用含π的形式表示）

22．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．

(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数；

(2)若AC＝，CE＝4，求阴影部分的面积．

23．如图，如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．

(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；

(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．

24．如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为．

(1)求它的侧面展开图的圆心角；

(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？

25．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．

(1)求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径；

(2)若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r．

26．已知：如图，半圆O的直径，点C，D是这个半圆的三等分点．求的度数及弦和围成的图形（图中阴影部分）的面积S．（结果保留）

参考答案：

1．A

【详解】解：设底面圆半径为r，

则，

解得r＝6．

故选：A．

2．B

【详解】解：∵AB切⊙O于点B，

∴，

∵，

∴，

∵OA＝4，

∴OBOA＝2，

∴劣弧的长π，

故选B．

3．A

【详解】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，

由弧长公式l，

∴2.5π，

解得：r＝6，

故选：A．

4．B

【详解】解：由题意可知点从开始至结束所走过的路径为两个圆心角为120°，半径为1的扇形弧长，

所以点从开始至结束所走过的路径长度为：．

故选B．

5．B

【详解】解：连接OF，

∵∠AOD=45°，四边形CDEF是正方形，

∴OD=CD=DE=EF，

在Rt△OFE中，OE=2EF，

∵OF=，，

∴，

解得：EF=1，

∴EF=OD=CD=1，

∴

．

故选：B．

6．D

【详解】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，

∴△ABC≌△A′B′C，

∴， ．

∵AB扫过的图形的面积=，

∴AB扫过的图形的面积=，

∴AB扫过的图形的面积=．

故选：D．

7．C

【详解】解：∵，

∴，

∴阴影部分的面积．

故选：C．

8．B

【详解】解：圆锥的侧面积为：，

故选：B．

9．A

【详解】∵，

∴圆心角的度数为n=2×30°=60°．

∴长为2π cm的弧所对的圆周角的度数为，

故选A．

10．A

【详解】解：如图：

正方形的面积；①

两个扇形的面积；②

②①，得：．

故选：A．

11．    4         

【详解】解：如图，

这个圆锥的底面周长为，

设半径为r，

则有，

解得r=4；

圆锥的高是：，

侧面积为，

故答案为：4；；

12．

【详解】解：如图所示：

圆锥的侧面展开图的弧长为（cm），

∴圆锥的底面半径为（cm），

∴圆锥的高为：（cm）．

故答案是：cm．

13．

【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ＝8π，

以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝8π，

设展开后的圆心角是n°，则，

解得：，

即展开后∠BAC＝×180°＝90°，

AP＝AC＝4，AB＝8，

则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，

由勾股定理得：，

故答案为：．

14．

【详解】解：这个圆锥的全面积（cm）．

故答案为：．

15．90π

【详解】解：由图可知这个几何体是个圆锥，且它的底面圆的直径是10cm，高12cm，

则底面圆的半径是5cm，

母线长==13cm，

它的全面积=侧面积+底面积=π×5×13+π×5×5=90π(cm2)．

故答案为：90π．

16．180

【详解】解：∵母线长为cm，底面半径为cm，

∴展开的扇形的弧长为，以母线为半径的圆的周长为，

∴侧面展开图扇形的圆心角=，

故答案为：．

17．3

【详解】解：连接BC，由题意知∠BAC=90°，

∴BC是⊙O的直径，BC=24cm，

∵AB=AC，

∴，

∴AB＝＝＝12（cm），

∴＝＝6π（cm）

∴圆锥的底面圆的半径＝6π÷（2π）＝3（cm）．

故答案为：3．

18．π

【详解】解：如图，连接AC，交BD于点O，取BC的中点N，连接NH，

∴MF＝BM＝BNAB，

∴点F的运动轨迹为以点M为圆心，BM长为半径的圆上，

∵∠ABC＝∠FBH＝90°，

∴∠ABC﹣∠FBC＝∠FBH﹣∠FBC，

即∠ABF＝∠CBH，

∴△MBF≌△NBH（SAS），

∴NH＝MF＝BM＝BN，

∴点H在以点N为圆心，BN长为半径的圆上，

∴当点E在C处时，点F与O重合，

当点E在B处时，点F与点B重合，

∴点H所在的圆弧的圆心角为90°，

∴点H所经过的路径长，

故答案为：π．

19．

【详解】解：，

底面周长，

将圆锥侧面沿剪开展平得一扇形，此扇形的半径，弧长等于圆锥底面圆的周长

设扇形圆心角度数为，则根据弧长公式得：

，

，

即展开图是一个半圆，

点是展开图弧的中点，

，

连接，则就是蚂蚁爬行的最短距离，

在中由勾股定理得，

，

，

即蚂蚁爬行的最短距离是．

故答案为：．

20．

【详解】解：如图，为边的高，

所有小圆相切，

，

为等边三角形，

，

，

，

，

与⊙O相切，

∴⊙O的半径，

阴影部分的面积．

故答案为：．

21．

【详解】解：如图可知，阴影部分是由以正方形四边中点为圆心，2为半径的圆的公共部分组合而成，即由8个弓形组合而成

由得：

，

∴．

22．(1)∠C=40°；

(2)阴影部分的面积为．

【详解】（1）

解：如图，连接OA，

∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，

∴OA⊥AC，

∴∠OAC=90°，

∵∠ADE=25°，

∴∠AOE=2∠ADE=50°，

∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°；

（2）

解：设OA=OE=r，

在Rt△OAC中，由勾股定理得：，

即，

解得：r=4，

∴OC=8，

∴OA=OC，

∴∠C=30°，

∴∠AOC=60°，

∴=OA•AC=×4×4=8，

∴阴影部分的面积．

23．(1)直线AD与圆O相切，理由见解析

(2)

【详解】

（1）

解：直线AD与圆O相切，理由如下：

如图，连接OA，

∵，

∴∠D=∠DBC，

∵AB=AD，

∴∠D=∠ABD，

∵，

∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，

∴∠BAD=120°，

∵OA=OB，

∴∠BAO=∠ABD=30°，

∴∠OAD=90°，

∴OA⊥AD，

∵OA是圆的半径，

∴直线AD与园O相切，

（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，

∵OB=OC=6，

∴∠OCB=∠OBC=30°，

∴∠BOC=120°，

∴，

∴，

∴，

∴扇形BOC的面积为，

∵，

∴阴影部分的面积为．

24．(1)；(2)

【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为，

根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得：

，

又∵．

，

解得：．

∴它的侧面展开图的圆心角是90°；

（2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下：

根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径，

，B为的中点，

由（1）知

∴

∴它所走的最短路线长是．

25．(1)剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径为2；(2)

【详解】（1）

解：连接OA，OB，OC，作OD⊥AB于点D．

则AD=AB，

∵BA= CA，OA= OA，OB= OC，

∴△BAO≌△CAO，

∴∠BAO=∠CAO，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAO=30 °，

∵圆的直径为4，

∴ OA=2，

∴OD=1，DA==，

∴AB=2DA=2；

∴剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径为2；

（2）

解：则扇形（即阴影部分）的弧长是：，

根据题意得：，

解得：r=．

答：此圆锥形铁帽的底面圆的半径为．

26．；

【详解】解：如图，连接OC、OD、CD，OC与AD交于点M，

∵点C，D是这个半圆的三等分点，

∴，

∵和为同弧所对的圆周角和圆心角，

∴，

∵，

∴和都是等边三角形，

∴，

∵在和中，

∴

∴图中阴影部分的面积等于扇形COD的面积，

∵半径

∴