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人教版八年级数学上册 第十一章 三角形 小结与复习课件
展开三角形内角和:180°
三角形外角和:360°
三角形的边:三边关系定理
中线:把三角形面积平分
内角和:(n-2) ×180 °
多边形转化为三角形和四边形的重要辅助线
腰和底不等的等腰三角形
1. 三角形的三边关系:
三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
3. 三角形的高、中线与角平分线
高:顶点与对边垂足间的线段,三条高或其延长线 相交于一点,如图.中线:顶点与对边中点间的线段,三条中线相交于 一点(重心),如图.角平分线:三条角平分线相交于一点,如图.
4. 三角形的内角和与外角
(1)三角形的内角和等于180°;
(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和;(3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一 个内角.
5. 多边形及其内角和
n边形内角和等于(n-2)×180 °(n ≥3的整数).
n边形的外角和等于360°.
正多边形的每个内角的度数是
正多边形的每个外角的度数是
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.正多边形的各个角都相等,各条边都相等的多边形.
例1 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒,用长度 为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗?为什么?长 度为13cm的木棒呢?
解:取长度为2cm的木棒时,由于2+5=7<8,出现了两边之和小于第三边的情况,所以它们不能摆成三角形.取长度为13cm的木棒时,由于5+8=13,出现了两边之和等于第三边的情况,所以它们也不能摆成三角形.
例2 一个三角形的三边长分别为4,7,x,那么x的取值范围是( ) A.3<x<11 B.4<x<7 C.-3<x<11 D.x>3
解析:∵三角形的三边长分别为4,7,x,∴7-4<x<7+4,即3<x<11.
例3 如图,D是△ABC 的边AC上一点,AD=BD,试判断AC 与BC 的大小.
有 BD+DC >BC(三角形的任意两边之和大于第三边).
又因为 AD = BD,
则BD+DC = AD+DC = AC,
例4 作△ABC的边AB上的高,下列作法中,正确的是( )
例5 如图,已知AD是△ABC的角平分线,CE是△ABC的高,∠BAC=60°,∠BCE=40°,求∠ADB的度数.
解:∵AD是△ABC的角平分线,∠BAC=60°, ∴∠DAC=∠BAD=30°.∵CE是△ABC的高,∠BCE=40°,∴∠B=50°,∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-30°-50°=100°.
【变式题】 在△ABC中,AB=AC,DB为△ABC的中线,且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分,求三角形各边长.
解:如图,∵DB为△ABC的中线,∴AD=CD,设AD=CD=x,则AB=2x,当x+2x=12,解得x=4.BC+x=15,得BC=11.此时△ABC的三边长为AB=AC=8,BC=11;当x+2x=15,BC+x=12,解得x=5,BC=7,此时△ABC的三边长为AB=AC=10,BC=7.
例6 在△ABC中,AC=5cm,AD是△ABC的中线,若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm,则BA=________.
提示:将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差.
例7 如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°, ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
解:∵AE是△ABC的角平分线,
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-60°=75°,∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C,∠CAE=∠BAE=37.5°,
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
例8 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三个内角,且分别满足下列条件,求∠A,∠B,∠C中未知角的度数.(1)∠A-∠B=16°,∠C=54°;(2)∠A:∠B:∠C=2:3:4.
解:(1)由∠C=54°知∠A+∠B=180°-54°=126°①,又∠A-∠B=16°②,由①②解得∠A=71°,∠B=55°;
(2)设∠A=2x,∠B=3x,∠C=4x , 则2x + 3x + 4x = 180° ,解得 x=20°, ∴∠A=40°,∠B=60°,∠C=80°.
例9 如图,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,∠A=50°,∠B=70°,求∠EDC,∠BDC的度数.
解:∵∠A=50°,∠B=70°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°.∵CD是∠ACB的平分线,∴∠BCD= ∠ACB=30°.∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD=30°,在△BDC中,∠BDC=180°-∠B-∠BCD=80°.
例10 如图,CE⊥AD,垂足为E,∠A=∠C,△ABD是直角三角形吗?为什么?
ABD是直角三角形.理由如下:∵CE⊥AD,∴∠CED=90°,∴∠C+∠D=90°,∵∠A=∠C,∴∠A+∠D=90°,∴△ABD是直角三角形.
例11 如图,∠A=51°,∠B=20°,∠C=30°,求∠BDC的度数.
解:连接AD并延长于点E.在△ABD中,∠1+∠ABD=∠3,在△ACD中,∠2+∠ACD=∠4.因为∠BDC=∠3+∠4,∠BAC=∠1+∠2,所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.
解:设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,则x+4x=180°,解得 x=36°.∴边数n=360°÷36°=10.
例13 如图,在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,若BE∥DF,求证:△DCF为直角三角形.
证明:∵在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,∴∠ABC+∠ADC=180°,∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,∴∠CDF+∠EBF=90°,∵BE∥DF,∴∠EBF=∠CFD,∴∠CDF+∠CFD=90°,故△DCF为直角三角形.
例14 如图,在△ABC中, ∠C=∠ABC,BE⊥AC, △BDE是等边三角形,求∠C的度数.
解:设∠C=x °,则∠ABC=x°,因为△BDE是等边三角形,所以∠ABE=60°,所以∠ EBC=x°-60°.在△BCE中,根据三角形内角和定理,得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75,所以∠C=75 °.
例15 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ,则三角形的周长是 .
【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底,所以要分两种情况讨论:第一种10为腰,则6为底,此时周长为26;第二种10为底,则6为腰,此时周长为22.
例16 如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.
解析:所求问题不是常见的求多边形的内角和问题,我们发现,只要连接CD便转化为求五边形的内角和问题.
解:连接CD,由“8字型”模型图可知 ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=(5-2) ×180 °=540 °.
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