吉林省第二实验学校2022-2023学年上学期八年级第一次达标检测数学试卷（含答案）

这是一份吉林省第二实验学校2022-2023学年上学期八年级第一次达标检测数学试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省第二实验学校八年级第一学期第一次达标检测数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（　　）

A．30 B．27 C．35 D．40
2．如图，在平分角的仪器中，AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD分别与这个角的两边重合，能说明AC就是这个角的平分线的数学依据是（　　）

A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
3．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，BC∥EF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．BC＝EF B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠A＝∠D
4．在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（　　）
A．70° B．35° C．110°或35° D．110°
5．如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝32°，则∠EAC的度数为（　　）

A．18° B．30° C．32° D．38°
6．已知在△ABC中，点D为线段BC边上一点，则按照顺序，线段AD分别是△ABC的（　　）
A．①中线，②角平分线，③高线
B．①高线，②中线，③角平分线
C．①角平分线，②高线，③中线
D．①高线，②角平分线，③中线
7．如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（　　）

A．80° B．100° C．120° D．140°
8．如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（　　）

A．28° B．36° C．45° D．72°
二、填空题（每题3分，共18分）
9．已知，如图，AD＝AE，BD＝CE，那么图中△ADC≌　 　．

10．如图，在2×2的方格中，∠1+∠2＝　 　°．

11．用一条长18cm的细绳围成一个腰长是底边长的2倍的等腰三角形，那么这个三角形的各边长分别是 　 　、　 　、　 　．
12．如图，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将△DBE沿着BA方向向左平移至△ADF的位置，则四边形DECF的周长为 　 　cm．

13．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是　 　cm．

14．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　 　时，△POQ是等腰三角形．

三、解答题（共72分）
15．如图，已知等腰△ABC一腰上的中线BD把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边BC的长．

16．已知：如图，AC，BD交于点O，AB＝CD，AC⊥AB，BD⊥CD，垂足分别为A，D．求证：OB＝OC．

17．如图，C、E分别在AB、DF上，O是CF的中点，EO＝BO，求证：∠ACE+∠DEC＝180°．
证明：∵O是CF的中点，
∴　 　＝　 　，
在△COB和△FOE中，
．
∴△COB≌△FOE （ 　 　），
∴∠　 　＝∠　 　，（ 　 　）．
∴AB∥DF，（ 　 　）．
∴∠ACE+∠DEC＝180°．（ 　 　）．

18．课本中有一探究活动：如图1，有甲、乙两个三角形，甲三角形内角分别为10°，20°，150°；乙三角形内角分别为80°，25°，75°．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出每个等腰三角形顶角的度数．
（1）小明按要求画出了图1中甲图的分割线，请你帮他作出图1中乙图的分割线；
（2）小明进一步探究发现：能将一个顶角为108°的等腰三角形分成三个等腰三角形；请在图2中用两种不同的方法画出分割线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种方法）
19．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）求证：AP平分∠CAB；
（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．

20．如图，△ABC是等边三角形．

（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
21．图1中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图2．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到过点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0分米，CE＝CF＝18.0分米，BC＝2.0分米
（1）求AP长的取值范围；
（2）当∠CPN＝60°时，求AP的值．

22．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]
如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　 　，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

[模型应用]
如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 　 　．
A.50
B.62
C.65
D.68
[深入探究]
如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
23．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．

（1）如图（1），当t＝　 　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．


参考答案
一、选择题（每题3分，共24分）
1．若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（　　）

A．30 B．27 C．35 D．40
解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝30，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边是解题关键．
2．如图，在平分角的仪器中，AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD分别与这个角的两边重合，能说明AC就是这个角的平分线的数学依据是（　　）

A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，BC∥EF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．BC＝EF B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠A＝∠D
解：添加∠A＝∠D，理由如下：
∵BC∥EF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∵AC＝DF，∠A＝∠D，
根据“AAS”判定△ABC≌△DEF．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的根据，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
4．在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（　　）
A．70° B．35° C．110°或35° D．110°
解：∵∠A的相邻外角是70°，
∴∠A＝180°﹣70°＝110°，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B＝（180°﹣110°）＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，根据求出的∠A是钝角可知∠B是底角是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝32°，则∠EAC的度数为（　　）

A．18° B．30° C．32° D．38°
解：∵∠B＝80°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝70°，
∵∠DAC＝32°，
∴∠BAD＝38°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠EAC＝∠BAD＝38°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
6．已知在△ABC中，点D为线段BC边上一点，则按照顺序，线段AD分别是△ABC的（　　）
A．①中线，②角平分线，③高线
B．①高线，②中线，③角平分线
C．①角平分线，②高线，③中线
D．①高线，②角平分线，③中线
解：在△ABC中，点D为线段BC边上一点，则按照顺序，线段AD分别是△ABC的①高线，②角平分线，③中线．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，三角形的角平分线、中线和高，解决本题的关键是掌握三角形的角平分线、中线和高的作法．
7．如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（　　）

A．80° B．100° C．120° D．140°
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°．
对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，

∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，
∴∠DEB＝∠AEF＝80°，
∵m∥n，
∴∠2+∠DEB＝180°，
∴∠2＝180°﹣80°＝100°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．
8．如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（　　）

A．28° B．36° C．45° D．72°
解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，

∴∠EAB＝∠ACD＝，
∴∠ACB＝∠EAC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠BAC＝∠EAB﹣∠EAC＝108°﹣72°＝36°，
故选：B．
【点评】主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边形内角和的计算公式是解题关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
9．已知，如图，AD＝AE，BD＝CE，那么图中△ADC≌　△AEB　．

解：∵AD＝AE，BD＝CE，
∴AD+BD＝AE+CE，
即AB＝AC，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（SAS）．
故答案为：△AEB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
10．如图，在2×2的方格中，∠1+∠2＝　90　°．

解：如图，

由题意得：AB＝DE＝2，∠ADE＝∠CBA＝90°，AD＝CB＝1，
∴△ADE≌△CBA（SAS），
∴∠2＝∠BAC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC+∠1＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
11．用一条长18cm的细绳围成一个腰长是底边长的2倍的等腰三角形，那么这个三角形的各边长分别是 　7.2cm　、　7.2cm　、　3.6cm　．
解：设底边长为xcm，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为2xcm，
∴2x+2x+x＝18，
解得x＝3.6，
∴2x＝2×3.6＝7.2．
故答案为：7.2cm，7.2cm，3.6cm．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
12．如图，△ABC中，AB＝13cm，BC＝11cm，AC＝6cm，点E是BC边的中点，点D在AB边上，现将△DBE沿着BA方向向左平移至△ADF的位置，则四边形DECF的周长为 　17　cm．

解：连接EF．

由平移的性质可知，AF＝DE．EF＝AD，AF∥DE，EF∥AD，DF∥BC，
∴∠CEF＝∠DFE，∠CFE＝∠DEF，
在△CEF和△DFE中，
，
∴△CEF≌△DFE（ASA），
∴DE＝CF，
∴AF＝CF＝DE＝3cm
∵E是BC的中点，
∴EC＝EB＝DF＝5.5cm，
∴四边形DECF的周长＝2（3+5.5）＝17cm．
故答案为：17．
【点评】本题考查平移变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题．
13．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是　18　cm．

解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝18cm，
故答案为：18
【点评】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析．
14．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　或10　时，△POQ是等腰三角形．

解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP＝OC﹣CP＝OQ，
即10﹣2t＝t，
解得，t＝s；

（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，
当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，
即2（t﹣5）＝t，
解得，t＝10s
故填或10．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键．
三、解答题（共72分）
15．如图，已知等腰△ABC一腰上的中线BD把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边BC的长．

解：AB＝AC，BD为腰AC上的中线，设AD＝DC＝x，BC＝y，
根据题意得或，
解得或，
当x＝4，y＝17时，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系，舍去；
当x＝7，y＝5时，等腰三角形的三边为14，14，5，
答：这个等腰三角形的底边BC长是5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
16．已知：如图，AC，BD交于点O，AB＝CD，AC⊥AB，BD⊥CD，垂足分别为A，D．求证：OB＝OC．

【解答】证明：∵AC⊥AB，BD⊥CD，
∴∠A＝∠D＝90°，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（AAS），
∴OB＝OC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
17．如图，C、E分别在AB、DF上，O是CF的中点，EO＝BO，求证：∠ACE+∠DEC＝180°．
证明：∵O是CF的中点，
∴　CO　＝　FO　，
在△COB和△FOE中，
．
∴△COB≌△FOE （ 　SAS　），
∴∠　OBC　＝∠　OEF　，（ 　全等三角形对应角相等　）．
∴AB∥DF，（ 　内错角相等，两直线平行　）．
∴∠ACE+∠DEC＝180°．（ 　两直线平行，同旁内角互补　）．

【解答】证明：∵O是CF的中点，
∴CO＝FO，
在△COB和△FOE中，
，
∴△COB≌△FOE（SAS），
∴∠OBC＝∠OEF（全等三角形对应角相等），
∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠ACE+∠DEC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：CO；FO；SAS；OBC；OEF；全等三角形对应角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
18．课本中有一探究活动：如图1，有甲、乙两个三角形，甲三角形内角分别为10°，20°，150°；乙三角形内角分别为80°，25°，75°．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出每个等腰三角形顶角的度数．
（1）小明按要求画出了图1中甲图的分割线，请你帮他作出图1中乙图的分割线；
（2）小明进一步探究发现：能将一个顶角为108°的等腰三角形分成三个等腰三角形；请在图2中用两种不同的方法画出分割线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种方法）
解：（1）按要求作图如图：

（2）按要求作图如图：
或 （视为同一种）；
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定以及作图，确定分割三角形中的哪一个角是解题的关键．
19．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）求证：AP平分∠CAB；
（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．

解：（1）连接PF，PE，

由作图过程可知AE＝AF，PE＝PF，
AP＝AP，
∴△AFP≌△AEP，
∴∠FAP＝∠EAP，
∴AP平分∠CAB．
（2）∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB＝180°，
又∵∠ACD＝114°，
∴∠CAB＝180°﹣114°＝66°，
由（1）知AP平分∠CAB，即∠MAB＝∠MAC，
∴∠MAB＝∠CAB＝33°．
【点评】本题考查了三角形全等的判定、角平分线的性质和平行线的性质，做题关键是掌握三角形全等的判定、角平分线的性质和平行线的性质．
20．如图，△ABC是等边三角形．

（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；
（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，
∴△ADE是等边三角形；
（2）解：AE+CE＝BE．
∵∠BAD+∠DAC＝60°，∠CAE+∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，
∴BE＝BD+DE＝AE+CE，∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝60°．
【点评】本题考查的是等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．图1中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图2．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到过点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0分米，CE＝CF＝18.0分米，BC＝2.0分米
（1）求AP长的取值范围；
（2）当∠CPN＝60°时，求AP的值．

解：（1）∵BC＝2.0分米，AC＝CN+PN＝12分米，
∴AB＝12﹣2＝10（分米），
∴AP的取值范围为：0分米≤AP≤10分米．

（2）∵CN＝PN，∠CPN＝60°，
∴△PCN等边三角形．
∴CP＝6分米．
∴AP＝AC﹣PC＝12﹣6＝6（分米）．
即当∠CPN＝60°时，AP＝6分米．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质．解答该题时，需要弄清楚遮阳伞的工作原理．
22．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]
如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　DE　，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

[模型应用]
如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 　50　．
A.50
B.62
C.65
D.68
[深入探究]
如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
【解答】[模型呈现]解：∵△ABC≌△DAE，
∴AC＝DE．
故答案为：DE；
[模型应用]解：如图2中，

由“K字”模型可知，△EPA≌△AGB，△BGC≌△CHD，
∴EP＝AG＝6，PA＝BG＝3，BG＝CH＝3，GC＝DH＝4，
∴PH＝PA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16，
∴图中实线所围成的图形的面积＝梯形EPHD的面积﹣△EPE的面积﹣△ABG的面积﹣△BGC的面积﹣△CHD的面积
＝×（6+4）×16﹣2××3×6﹣2××3×4
＝50．
故答案为：50；

[深入探究]证明：如图3，过D作DM⊥AF于M，过E作EN⊥AF于N，

由“K字”模型得：△ABF≌△DAM（AAS），
∴AF＝DM，
同理：AF＝EN，
∴EN＝DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF，
∴∠GMD＝∠GNE＝90°，
在△DMG与△ENG中
，
∴△DMG≌△ENG（AAS），
∴DG＝EG，
即点G是DE的中点；
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、“K字”模型的应用以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握“K字”模型的应用是解题的关键，属于中考常考题型．
23．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．

（1）如图（1），当t＝　或　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．
解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP＝BC＝cm，
此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+＝，
移动的时间为：÷3＝秒，
②当点P在BA上时，如图①﹣2
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD＝BC，即点P为BA中点，
此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+＝cm，
移动的时间为：÷3＝秒，
故答案为：或；
（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；
①当点P在AC上，如图②﹣1所示：
此时，AP＝4，AQ＝5，
∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）＝cm/s，
②当点P在AB上，如图②﹣2所示：
此时，AP＝4，AQ＝5，
即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，
∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）＝cm/s，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，
点Q的运动速为cm/s或cm/s．




【点评】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键．