22.1 二次函数习题课 课时练习- 2022-2023学年九年级人教版数学上册(含答案)

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22.1 二次函数习题课（附解析）
一、单选题(共10个小题)
1．若两个图形重叠后．重叠部分的面积可以用表达式表示为y＝﹣（x﹣2）2+3，则要使重叠部分面积最大，x的值为（ 　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3
2．一元二次方程的两个根分别为和，则二次函数 的对称轴是（　 　）
A． B． C． D．
3．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的大致图象是 （     ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（     ）
A．y的最小值为1
B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2
C．当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小
D．它的图象可由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
5．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线是（     ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（　 　）

A． B． C． D．
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），经过（﹣2，0）和（4，0），则下列结论中：①abc＜0；②c+8a＝0；③9a﹣3b+c＜4a+2b+c；④am2+bm+a＞0（m≠1的实数）；⑤（a+c）2＞b2，其中正确的结论有（　　 ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．已知两点均在抛物线y＝a（x－h）2＋k（a≠0）上，点是该抛物线的顶点．若，则的取值范围是（      ）
A．－5＜＜1 B．－1＜ C．＞－5 D．＞－1
9．已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y=x2－4x+3关于x轴对称，则a，b，c的值分别是（    ）
A．－1，4，－3 B．－1，－4，－3 C．－1，4，3 D．－1，－4，3
10．如图，已知点A1，A2，，A2020在函数y=x2位于第二象限的图像上，点B1，B2，，B2020在函数y=x2位于第一象限的图像上，点C1，C2，，C2020在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2，⋯，C2019A2020C2020B2020都是正方形，则正方形C2019A2020C2020B2020的对角线长为（     ）

A．2020 B．2019 C．4040 D．4038
二、填空题(共10个小题)
11．二次函数的最大值为_______．
12．若二次函数的图象关于直线x=-1对称，则n的值为_____．
13．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
⋯
0
1
2
3
4
⋯
y
⋯
3
0
-1
0
3
⋯
则抛物线的解析式是______________．
14．将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为，则a+b+c＝_____．
15．抛物线经过点A（－1，2），对称轴是直线x＝0，则a＋b＋c＝________．
16．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y＝x2+x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为_____m时，竖直高度达到最大值．

17．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，x＝－1是对称轴，有下列判断：①abc＜0；②b－2a＝0；③4a－2b＋c＜0；④3a＋c＞0；⑤若（－3，y1），（1.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的序号是__________．

18．如图，已知A（1，1），B（3，9）是抛物线y＝上的两点，在y轴上有一动点P，当△PAB的周长最小时，则此时△PAB的面积为_________．

19．已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1＜x2，若x1+x2＝4，当x＝0时，y＞0，当x＝3时，y＜0，且m＜x2＜n（m，n为相邻整数），则m+n＝_______．
20．已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，如图所示，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的纵坐标与横坐标之和为______．

三、解答题(共3个小题)
21．如图，抛物线经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)求出抛物线的顶点坐标；
(3)若抛物线上有一点B，且，直接写出点B的坐标．







22．如图，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．

(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．
(3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．




















23．如图，抛物线y＝ax2＋3ax＋4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且S△ABC＝10，点P为第二象限内抛物线上的一点，连接BP．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，若∠BPD＝2∠BCO，求的值；
(3)如图2，设BP与AC的交点为Q，连接PC，是否存在点P，使S△PCQ＝S△BCQ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


22.1 二次函数习题课解析
1．
【答案】A
【详解】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+3，a＝﹣1＜0，
∴当x＝2时，y有最大值，
故选A．
2．
【答案】A
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为−3和−1，
∴ ＝−4．
∴二次函数的对称轴为x＝−＝．
故选：A．
3．
【答案】C
【详解】解：一次函数的图象经过二、三、四象限，
，，
二次函数的图象的开口向下，二次函数的对称轴，
对称轴应在轴的左侧．
故选：C．
4．
【答案】C
【详解】解：二次函数y=x2-4x+5=（x-2）2+1，a=1＞0，
∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2，顶点为（2，1），当x=2时，y有最小值1，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；
故选项A、B的说法正确，C的说法错误；
根据平移的规律，y= x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y=（x-2）2+1，
故选项D的说法正确，
故选：C．
5．
【答案】C
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是
∴所得抛物线解析式是．
故选：C．
6．
【答案】C
【详解】设A（m，m2），则B（m，m2），
∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，
∴C（2m，m2），D（m，m2），
∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，
.
故选C．
7．
【答案】B
【详解】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＞0，
∴abc＜0，
故本选项正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（﹣2，0）和（4，0），
∴对称轴为x＝＝1，4a﹣2b+c＝0，
∴﹣，
∴b＝﹣2a，
∴4a+4a+c＝0，
∴c+8a＝0；
故本选项正确；
③由图象可知，当x＝﹣3时，y＜0；x＝2时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＜4a+2b+c．
本选项正确；
④∵b＝﹣2a，
∴am2+bm+a＝am2﹣2am+a＝a（m﹣1）2，
∵a＜0，m≠1，
∴a（m﹣1）2＜0，
∴am2+bm+a＜0，
故本选项错误；
⑤当x＝1时，a+b+c＞0；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0；
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，即（a+c）2﹣b2＞0，
∴（a+c）2＞b2，
故本选项正确；
综上所述，正确的是①②③⑤．
故选：B．
8．
【答案】D
【详解】解：∵点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，y1＞y2＞y0，
∴抛物线有最小值，
∴抛物线开口向上，
∵A（-5，y1），B（3，y2），y1＞y2，
∴点A到对称轴的距离比点B到对称轴的距离大，
∵，
∴x0＞-1．
故选：D．
9．
【答案】A
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y=x2－4x+3关于x轴对称，
∴a，b，c的值均相反，即a=-1，b=4，c=-3．
故选A
10．
【答案】C
【详解】解：∵四边形OA1C1B1是正方形，
∴OB1与y轴的夹角为45°，
∴OB1的解析式为y=x，
联立，解得或，
∴点B1（1,1），
∴OB1=，
∵四边形OA1C1B1是正方形，
∴OC1=，
∵四边形C1A2C2B2是正方形，
∴C1B2与y轴的夹角是45°，
∴C1B2的解析式为y=x+2，
联立，解得或，
∴点B2（2,4），
∴C1B2=，
∵四边形C1A2C2B2是正方形，
∴C1C2==2，
∵四边形C2A3C3B3是正方形，
∴C2B3与y轴的夹角是45°，
∴C2B3的解析式为y=x+6，
联立，解得或，
∴点B3（3,9），
∴C2B3=，
∵四边形C1A2C2B2是正方形，
∴C2C3=，
……
依此类推，正方形C2019A2020C2020B2020的对角线长为C2019C2020=2020×2=4040．
故选：C．
11．
【答案】1
【详解】解：
∵a=-1＜0
∴当时有最大值
即：
故答案为：1．
12．
【答案】2
【详解】∵二次函数的图像关于直线对称，
∴，
解得，，
故答案为：2．
13．
【答案】
【详解】根据题意，得：

将代入到，得：
∴
∴
故答案为：．
14．
【答案】3
【详解】解：∵将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为，
∴可将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位得到抛物线y＝ax2+bx+c，
∵将抛物线向右平移1个单位长度得到抛物线，再向上平移2个单位得到抛物线，即，
∴a＝﹣5，b＝10，c＝﹣2，
∴a+b+c＝﹣5+10﹣2＝3，
故答案为：3．
15．
【答案】2
【分析】根据题意求得关于直线对称的点的坐标即可求解．
【详解】解：∵抛物线经过点A（－1，2），对称轴是直线x＝0，
∴关于直线对称的点的坐标为，
当时，
∴．
故答案为：．
16．
【答案】8
【详解】解：∵，，
∴当x=8时， y有最大值，最大值为4，
∴当她与跳台边缘的水平距离为8m时，竖直高度达到最大值．
故答案为：8．
17．
【答案】②④⑤
【详解】解：①∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵直线x=-1是对称轴，
∴a,b同号，b＜0，
∵c＞0，
∴abc＞0，①错误；
②∵直线x=-1是对称轴，
∴，即b-2a=0，②正确；
③x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，③错误；
④根据抛物线的对称性，得到x=-3与x=1时的函数值相等，
∴9a-3b+c＞0，
∵b-2a=0，
∴b=2a,
∴3a+c＞0，④正确；
⑤根据抛物线的对称性，得到x=-3与x=1时的函数值相等，
∴y1＞y2，⑤正确，
故答案为：②④⑤．
18．
【答案】6
【详解】解：如图，作出B关于y轴的对称点，则⊥y轴于点H，连接交y轴于P，

则点P就是使△PAB的周长最小时的位置．
∵抛物线y＝的对称轴是y轴，B、关于y轴对称，
∴点P在抛物线y＝上，且，
∴，
∴此时△PAB的周长最小，
∵B（3，9），
∴（﹣3，9），
∴＝6，点H的坐标是（0，9），
∵A（1，1），
∴点A到的距离为9－1＝8，
设直线A的直线方程为y＝kx+b，把点A和点的坐标代入后得到，
∴，
解得，
∴直线A的解析式为y＝﹣2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴P点的坐标为（0，3）,
∴PH＝OH－OP＝6，
此时，
即△PAB的面积为6，
故答案为：6．
19．
【答案】7
【详解】解：由题意得：该函数的对称轴为直线x＝（）＝2，
∵x＝0时，y＞0，
∴根据二次函数的对称性可得x＝4时，y＞0，
∵当x＝3时，y＜0，
∴3＜＜4，
∵m＜＜n（m，n为相邻整数），
∴m＝3，n＝4，
∴m+n＝7，
故答案为：7．
20．
【答案】
【详解】解：连接AC，与对称轴交于点P，则此时PB+PC＝AC，PB+PC取得最小值，
∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝2，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
，解得，
即直线AC的解析式为，
∵点P在二次函数的对称轴上的一动点，
∴点P的横坐标为﹣1，
∵点P在直线AC上，
∴点P的纵坐标，
∴点P的纵坐标与横坐标之和为：，
故答案为：．
．
21．
【答案】(1)；(2)顶点为；(3)或
【详解】（1）解：把，代入得
，
解得，
解析式为
（2），
顶点为
（3）
设点的坐标为，则
，
解得或，
顶点纵坐标为，（或中，无解）


解得，
点的坐标为或
22．
【答案】(1)A（-2，0），B（6，0），C（0，-6）
(2)当m=3时，△PBC的面积最大，最大值为
(3)存在，（4，-6）或或
【详解】（1）解：当x=0时，y=-6，
∴点C（0，-6），
当y=0时，，
解得：，
∴点A（-2，0），B（6，0）；
（2）解：如图，过点作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，

设直线BC的解析式为，
把点B（6，0），C（0，-6）代入，得：
，解得：
∴直线BC的解析式为：y=x-6，
∵点P（m，n），即点P（m，），
∴D（m，m-6），
∴，
∴，
∴当m=3时，△PBC的面积最大，最大值为；
（3）解：存在，
如图，当四边形ACFE为平行四边形时，，

∴轴，
∵抛物线的对称轴为直线，点C（0，-6），
∴点F（4，-6）；
如图，当四边形ACEF为平行四边形时，则，

过点F作FG⊥AE于点G，
∴，
∴FG=OC=6，
当y=6时，，
解得：，
∴点F的坐标为或；
综上所述，点F的坐标为（4，-6）或或．
23．
【答案】(1)；(2)；(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）令y＝ax2＋3ax＋4中x=0，得y=4，
∴，∴，
∵，
∴，∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴由对称性知，，
把代入抛物线的解析式得，
∴，
∴该抛物线的解析式为；
（2）设与轴交于点，
∵轴，∴，
∴，∵，
∴，
∴，∴．
设，则，
∴在中，，∴，∴，
设直线的解析式为y=kx+b，
将和代入y=kx+b得，
，
∴直线的解析式为，
联立，消得，，
∴，∵，∴，即，
∴，，
∴；

（3）不存在；
理由如下：过点作轴交直线于点，
∵，
∴，
∴，．
设，则，
设直线的解析式为y=ax+b，
把（-4，0）和（0，4）代入，解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，∴，即，
∵，∴此方程无实数根，
∴符合条件的点不存在．