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湖南省长沙市南雅中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试题（原卷及解析版）
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这是一份湖南省长沙市南雅中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试题（原卷及解析版），文件包含湖南省长沙市南雅中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试题原卷版docx、湖南省长沙市南雅中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1.下列运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
2.将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
3.已知，则（ ）
A.B.C.D.
4.世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任一大于的偶数都可写成两个奇素数之和这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的成果是年我国数学家陈景润证明了“”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”我们知道素数又叫质数，是指在大于的自然数中，除了和它本身以外，不能被其他自然数整除的数请问同学们，如果我们从不大于的自然数中任取两个不同的数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？（ ）
A.B.C.D.
5.如果，且．则下列说法中不可能成立的是（ ）
A.为正数，为负数B.为正数，为负数
C.为正数，为负数D.为正数，为负数
6.在线段上有P、Q两点，，求的长（ ）
A.1B.23C.1或23D.12
7.一条抛物线顶点为，且与轴的两个交点的横坐标为一正一负，则、、中为正数的（ ）
A.只有B.只有C.只有D.只有和
8.反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象只能是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒若按照这样的方法拼成的第个图形需要根小木棒，则的值为（ ）
A.B.C.D.
10.如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，，则和面积之比为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）
11.按一定规律排列的数据依次为，，，，…按此规律排列，则第30个数是________．
12.对于实数，，定义符号，其意义为：当时，；当时，例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为______ ．
13.火车匀速通过长米的铁桥用了秒，如果它的速度加快倍，通过米长的铁桥就只用了秒，求这列火车的长度为______ ．
14.直线过点，直线：过点，且把分成面积相等的两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，则直线的方程为________．
15.已知：，且，求________．
16.正方形边长等于，通过它的中心引一条直线，已知正方形的四个顶点到这条直线的距离的平方之和恒为定值，则这个定值为________．
17.如图，已知直角三角形ABO中，AO=1，将△ABO绕点O点旋转至△A'B'O位置，且A'在OB的中点，B'在反比例函数上，则k的值为________．
18.在中，，点是内的一点，使得，且，则________．
三、解答题（本大题共7小题，其中19~24题每小题8分，25题10分，共58分）
19 解方程：．
20.如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC=31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC=42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，AC⊥CD，CD=BE，BC=DE．结果精确到0.1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）
21.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得，连接BE．
（1）证明：；
（2）延长BE至F，使，连接CF，求证：．
22.通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散学生注意力指标数随时间分钟变化的函数图象如图所示越大表示学生注意力越集中当时，图象是抛物线的一部分，当和时，图象是线段．
（1）当时，求注意力指标数与时间的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于．
23.若一元二次方程的两个根都大于2，求实数a的取值范围．
24.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
（1）求证：；
（2）连接，过点C作⊥，交的延长线于点，延长，交于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
25.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE=OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S=S1+S2，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC=∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1.下列运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
2.将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
3.已知，则（ ）
A.B.C.D.
4.世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出：任一大于的偶数都可写成两个奇素数之和这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的成果是年我国数学家陈景润证明了“”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为“陈氏定理”我们知道素数又叫质数，是指在大于的自然数中，除了和它本身以外，不能被其他自然数整除的数请问同学们，如果我们从不大于的自然数中任取两个不同的数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？（ ）
A.B.C.D.
5.如果，且．则下列说法中不可能成立的是（ ）
A.为正数，为负数B.为正数，为负数
C.为正数，为负数D.为正数，为负数
6.在线段上有P、Q两点，，求的长（ ）
A.1B.23C.1或23D.12
7.一条抛物线顶点为，且与轴的两个交点的横坐标为一正一负，则、、中为正数的（ ）
A.只有B.只有C.只有D.只有和
8.反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象只能是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒若按照这样的方法拼成的第个图形需要根小木棒，则的值为（ ）
A.B.C.D.
10.如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，，则和面积之比为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）
11.按一定规律排列的数据依次为，，，，…按此规律排列，则第30个数是________．
12.对于实数，，定义符号，其意义为：当时，；当时，例如：，若关于的函数，则该函数的最大值为______ ．
13.火车匀速通过长米的铁桥用了秒，如果它的速度加快倍，通过米长的铁桥就只用了秒，求这列火车的长度为______ ．
14.直线过点，直线：过点，且把分成面积相等的两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，则直线的方程为________．
15.已知：，且，求________．
16.正方形边长等于，通过它的中心引一条直线，已知正方形的四个顶点到这条直线的距离的平方之和恒为定值，则这个定值为________．
17.如图，已知直角三角形ABO中，AO=1，将△ABO绕点O点旋转至△A'B'O位置，且A'在OB的中点，B'在反比例函数上，则k的值为________．
18.在中，，点是内的一点，使得，且，则________．
三、解答题（本大题共7小题，其中19~24题每小题8分，25题10分，共58分）
19 解方程：．
20.如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC=31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC=42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，AC⊥CD，CD=BE，BC=DE．结果精确到0.1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）
21.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得，连接BE．
（1）证明：；
（2）延长BE至F，使，连接CF，求证：．
22.通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散学生注意力指标数随时间分钟变化的函数图象如图所示越大表示学生注意力越集中当时，图象是抛物线的一部分，当和时，图象是线段．
（1）当时，求注意力指标数与时间的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于．
23.若一元二次方程的两个根都大于2，求实数a的取值范围．
24.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
（1）求证：；
（2）连接，过点C作⊥，交的延长线于点，延长，交于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
25.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求点B，点C的坐标；
（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE=OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S=S1+S2，当S取最大值时，求m的值；
（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC=∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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