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2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三（上）入学数学试卷
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这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三（上）入学数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三（上）入学数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{x|y}，B＝{y|y}，则A∩B＝（ ）
A．∅ B．R C．（﹣∞，2] D．[0，2]
2．（5分）若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
3．（5分）已知x＞1，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
4．（5分）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P（A）＞0，P（B）＞0，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若P（A）+P（B）＝1，则A，B对立
C．若A，B独立，则P（A|B）＝P（A）
D．若A，B互斥，则P（A|B）+P（B|A）＝1
5．（5分）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）与图中曲线对应的函数可能是（ ）
A．y＝|sinx| B．y＝sin|x| C．y＝﹣|sinx| D．y＝﹣sin|x|
7．（5分）已知正方形ABCD的对角线长为2，EF是它的内切圆一条弦，点P为正方形ABCD四条边上的一个动点，当弦EF的长度最大时，不可能为（ ）
A．0 B． C． D．
8．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：
①点A、B都在f（x）的图象上；
②点A、B关于原点对称，则对称点对（A、B）是函数的一个“兄弟点对”（点对（A、B）与（B、A）可看作一个“兄弟点对”）．
已知函数f（x），则f（x）的“兄弟点对”的个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
（多选）9．（5分）a，b是两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．a⊥α，b∥β，α∥β⇒a⊥b B．a⊥b，a⊥α，α∥β⇒b∥β
C．a⊥b，a∥α，α∥β⇒b⊥β D．a⊥α，a∥b，α∥β⇒b⊥β
（多选）10．（5分）为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩X～N（70，100），其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说明正确的是（ ）
参考数据：随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974．
A．该校学生体育成绩的方差为10
B．该校学生体育成绩的期望为70
C．该校学生体育成绩的及格率不到85%
D．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当
（多选）11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：x为整数时，f（x）＝2021；x不为整数时，f（x）＝0，则（ ）
A．f（x）是奇函数 B．f（x）是偶函数
C．∀x∈R，f（f（x））＝2021 D．f（x）的最小正周期为1
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中，ω＞0，|φ|），f（）＝0，f（x）≤||恒成立，且f（x）区间上单调，则下列说法正确的是（ ）
A．存在φ，使得f（x）是偶函数
B．f（0）
C．ω是奇数
D．ω的最大值为3
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若等比数列{an}的前n项和为Sn，a3，则公比q＝ ．
14．（5分）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗．陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为h1，h2，r，且h1＝h2＝r，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2，则 ．
15．（5分）设a∈Z，且0≤a＜13，若512021+a能被13整除，则a＝ ．
16．（5分）已知曲线y＝ex+a与y＝（x﹣1）2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分.）
17．（10分）设数列{an}满足a1＝3，an+1﹣an＝2•3n（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝n•an，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．（12分）在△ABC中，．
（1）若A＝150°，求cosB；
（2）D为AB边上一点，且BD＝2AD＝2CD，求△ABC的面积．
19．（12分）如图，FA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，EC∥FA，FA＝3，EC＝1，AB＝2，AC＝4，BD⊥AC交AC于点D．
（Ⅰ）证明：FD⊥BE；
（Ⅱ）求直线BC与平面BEF所成角的正弦值．
20．（12分）自2020年1月以来，习惯肺炎病毒肆虐全球，为严防新型冠状病毒疫情扩散，有效切断病毒传播途径，坚决遏制疫情蔓延势头，确保人民群众生命安全和身体健康，多地相继做出了封城决定．某地在1月23日至29日累计确诊人数如下表：
日期（1月）
23日
24日
25日
26日
27日
28日
29日
人数（人）
6
11
21
34
66
101
196
由上述表格得到如散点图（1月23日为封城第一天）．
（1）根据散点图判断y＝a+bx与y＝c•dx（c，d均为大于0的常数）哪一个适宜作为累计确诊人数y与封城后的天数x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；并根据上表中的数据求出回归方程；
（2）随着更多的医护人员投入疫情的研究，2月20日武汉影像科医生提出存在大量核酸检测呈阴性（阳性则确诊），但观其CT肺片具有明显病变，这一提议引起了广泛的关注，2月20日武汉疾控中心接收了1000份血液样本，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性样本的概率为0.7，核酸试剂能把阳性样本检测出阳性结果的概率是0.99（核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况，但不会把阴性检测呈阳性），求这1000份样本中检测呈阳性的份数的期望．
参考数据：
100.54
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
其中，参考公式：对于一组数据（u1，w1），（u2，w2），⋯，（un，wn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
21．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点到F点的距离为．
（1）求抛物线的方程及点A坐标；
（2）设斜率为k的直线l过点B（2，0）且与抛物线交于不同的两点M、N，若且，求斜率k的取值范围．
22．（12分）已知f（x）＝sinx+ax3﹣x．
（1）当时，求证：函数f（x）在R上单调递增；
（2）若f（x）只有一个零点，求a的取值范围．
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{x|y}，B＝{y|y}，则A∩B＝（ ）
A．∅ B．R C．（﹣∞，2] D．[0，2]
【解答】解：由题意知，
根据函数的定义域求出集合A＝{x|x≤2}，
根据函数的值域求出集合B＝{y|y≥0}，
根据交集的定义求出A∩B＝{x|0≤x≤2}，
故选：D．
2．（5分）若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【解答】解：∵数的实部与虚部相等，
∴，解得a＝﹣3．
故选：A．
3．（5分）已知x＞1，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【解答】解：因为x＞1，所以x﹣1＞0，
则2（x﹣1）2，
当且仅当2（x﹣1），即x＝1时取等号，此时取得最小值2+2．
故选：C．
4．（5分）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P（A）＞0，P（B）＞0，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若P（A）+P（B）＝1，则A，B对立
C．若A，B独立，则P（A|B）＝P（A）
D．若A，B互斥，则P（A|B）+P（B|A）＝1
【解答】解：对于A，P（B|A）+P（|A）1，故A错误；
对于B，若A，B对立，则P（A）+P（B）＝1，
反之不成立，例如a，b，c，d四个球，选中每个球的概率一样．
P（A）为选中a、b两个球的概率：0.5，P（B）为选中b，c两个球的概率：0.5．
P（A）+P（B）＝1，但A，B不是对立事件，因为当选中b时，A，B均成立，故B错误；
对于C，根据独立事件定义知：若A，B独立，则P（A|B）＝P（A），故C正确；
对于D，若A，B互斥，则P（A|B）+P（B|A）＝0，故D错误．
故选：C．
5．（5分）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，
共有C•A12种不同的方案，
甲乙两人安排在同一个舱内共有A2种不同的方案，
故甲乙两人安排在同一个舱内的概率为，
故选：A．
6．（5分）与图中曲线对应的函数可能是（ ）
A．y＝|sinx| B．y＝sin|x| C．y＝﹣|sinx| D．y＝﹣sin|x|
【解答】解：由图象可知当x时，函数值y＝﹣1＜0，故排除选项AB，
当x时，函数值y＝1＞0，故排除选项C．
故选：D．
7．（5分）已知正方形ABCD的对角线长为2，EF是它的内切圆一条弦，点P为正方形ABCD四条边上的一个动点，当弦EF的长度最大时，不可能为（ ）
A．0 B． C． D．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（，），B（，），C（，），D（，），
设E（cosθ，sinθ），由弦EF的长度最大时，弦EF为直径，则F（cosθ，sinθ），
再设P（x，y），则（cosθ﹣x，sinθ﹣y），（cosθ﹣x，sinθ﹣y），
则x2cos2θ．
当点P在线段AB上移动时，y，x，则∈[0，]；
当点P在线段BC上移动时，x，y，则∈[0，]；
当点P在线段CD上移动时，y，x，则∈[0，]；
当点P在线段AD上移动时，x，y，则∈[0，]．
综上可知：∈[0，]，结合选项可知，不可能为．
故选：D．
8．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：
①点A、B都在f（x）的图象上；
②点A、B关于原点对称，则对称点对（A、B）是函数的一个“兄弟点对”（点对（A、B）与（B、A）可看作一个“兄弟点对”）．
已知函数f（x），则f（x）的“兄弟点对”的个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【解答】解：设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），于是，cosx＝﹣ln（﹣x），只需判断方程根的个数，即y＝cosx与y＝﹣ln（﹣x）图象的交点个数，函数图象如下：所以f（x）的“兄弟点对”的个数为1个．
由图知，所以f（x）的“兄弟点对”的个数为1个．
故选：A．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
（多选）9．（5分）a，b是两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．a⊥α，b∥β，α∥β⇒a⊥b B．a⊥b，a⊥α，α∥β⇒b∥β
C．a⊥b，a∥α，α∥β⇒b⊥β D．a⊥α，a∥b，α∥β⇒b⊥β
【解答】解：对于A：由a⊥α、α∥β，可得a⊥β，又b∥β，所以a⊥b，故A正确；
对于B：由a⊥α、α∥β，可得a⊥β，又a⊥b，则b∥β或b⊂β，故B错误；
对于C：由a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β，又a⊥b，则b∥β或b⊂β或b与β相交（不垂直）或b⊥β，故C错误；
对于D：由a⊥α、α∥β，可得a⊥β，又a∥b，所以b⊥β，故D正确；
故选：AD．
（多选）10．（5分）为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩X～N（70，100），其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说明正确的是（ ）
参考数据：随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974．
A．该校学生体育成绩的方差为10
B．该校学生体育成绩的期望为70
C．该校学生体育成绩的及格率不到85%
D．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当
【解答】解：由题意可知：X∽N（70，100），
则期望μ＝70，标准差σ＝10，方差为100，故A错误，B正确，
选项C：P（X＞70）＝0.5，P（60≤X≤80）＝P（μ﹣σ＜μ+σ）＝0.6826，
所以P（60≤X≤70），
所以P（X≥60）＝P（60≤X≤70）+P（X＞70）＝0.3413+0.5＝0.8413＜85%，故C正确，
选项D：优秀的概率为：P（X≥90）＝P（X≥70）﹣P（70≤X≤90）＝0.5，
不及格的概率为：P（X＜60）＝P（X≤70）﹣P（60≤X≤70）＝0.50.1587，两者不同，故D错误，
故选：BC．
（多选）11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：x为整数时，f（x）＝2021；x不为整数时，f（x）＝0，则（ ）
A．f（x）是奇函数 B．f（x）是偶函数
C．∀x∈R，f（f（x））＝2021 D．f（x）的最小正周期为1
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，对于f（x），有f（1）＝2021，f（﹣1）＝2021，
f（﹣x）＝﹣f（x）不恒成立，则f（x）不是奇函数，A错误，
对于B，对于f（x），若x为整数，则﹣x也是整数，则有f（x）＝f（﹣x）＝2021，
若x不为整数，则﹣x也不为整数，则有f（x）＝f（﹣x）＝0，
综合可得f（x）＝f（﹣x），f（x）是偶函数，B正确，
对于C，若x为整数，f（x）＝2021，x不为整数时，f（x）＝0，
总之f（x）是整数，则f（f（x））＝2021，C正确，
对于D，若x为整数，则x+1也是整数，
若x不为整数，则x+1也不为整数，总之有f（x+1）＝f（x），f（x）的周期为1，
若t（0＜t＜1）也是f（x）的周期，
而x和x+nt可能一个为整数，另一个不是整数，则有f（x）≠f（x+nt），
故f（x）的最小正周期为1，D正确，
故选：BCD．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中，ω＞0，|φ|），f（）＝0，f（x）≤||恒成立，且f（x）区间上单调，则下列说法正确的是（ ）
A．存在φ，使得f（x）是偶函数
B．f（0）
C．ω是奇数
D．ω的最大值为3
【解答】解：f（x）区间上单调，
故，解得；
所以0＜ω≤8；
由于f（）＝0，可得，
解得φ（k1∈Z）；
由于f（）＝±1，
可得，可得φ（k2∈Z）；
所以，整理得，
若ω＝1时，φ；若ω＝3，5时，φ无解，当ω＝7时，φ，且f（x）区间上不单调，
所以T，ω＝2k+1（k∈Z），
①故选项A错误．
②由于x为函数的对称轴，所以f（0）＝f（）故选项B正确．
③由于ω＝1+2k，故选项C正确．
④当f（x）区间上单调递增时，，整理得ω≤3；
所以0＜ω≤3．即最大值为3，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若等比数列{an}的前n项和为Sn，a3，则公比q＝ 1或 ．
【解答】解：∵
∴a1+a2+a3则a1+a2＝3
∴化简得2q2﹣q﹣1＝0
解得q＝1或
故答案为：1或
14．（5分）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗．陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为h1，h2，r，且h1＝h2＝r，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2，则 ．
【解答】解：由题意，圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，
根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为，
所以．
故答案为：．
15．（5分）设a∈Z，且0≤a＜13，若512021+a能被13整除，则a＝ 1 ．
【解答】解：512021＝(52﹣1)2021,
因为52能被13整除，
所以只需﹣1+a能被13整除即可，
又0≤a＜13，
所以a＝1．
故答案为：1．
16．（5分）已知曲线y＝ex+a与y＝（x﹣1）2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为 （﹣∞，2ln2﹣3） ．
【解答】解：y＝（x﹣1）2的导数y′＝2（x﹣1），y＝ex+a的导数为y′＝ex+a，
设与曲线y＝ex+a相切的切点为（m，n），y＝（x﹣1）2相切的切点为（s，t），
则有公共切线斜率为2（s﹣1）＝em+a，
又t＝（s﹣1）2，n＝em+a，
即有2（s﹣1）
即为s﹣m1，
即有m（s＞1），
则有em+a＝2（s﹣1），即为a＝ln2（s﹣1）（s＞1），
令f（s）＝ln2（s﹣1）（s＞1），
则f′（s），
当s＞3时，f′（s）＜0，f（s）递减，
当1＜s＜3时，f′（s）＞0，f（s）递增．
即有s＝3处f（s）取得极大值，也为最大值，且为2ln2﹣3，
由恰好存在两条公切线，即s有两解，
可得a的范围是a＜2ln2﹣3．
故答案为：（﹣∞，2ln2﹣3）．
四、解答题（本题共6小题，共70分.）
17．（10分）设数列{an}满足a1＝3，an+1﹣an＝2•3n（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝n•an，求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）∵an+1﹣an＝2•3n，∴an﹣an﹣1＝2•3n﹣1（n∈N*），又a1＝3，
∴an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+•••+（an﹣an﹣1）＝3+2（3+32+•••+3n﹣1）
＝3+2•3n，
当n＝1时，a1＝3满足上式．
∴数列{an}的通项公式为：an＝3n；
（2）bn＝n•3n，
∴Sn＝1•3+2•32+3•33+•••+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n①
∴3Sn＝1•32+2•33+•••+（n﹣1）•3n+n•3n+1②
①﹣②得：﹣2Sn＝3+32+33+•••+3n﹣n•3n+1
n•3n+1＝（n）•3n+1，
∴Sn．
18．（12分）在△ABC中，．
（1）若A＝150°，求cosB；
（2）D为AB边上一点，且BD＝2AD＝2CD，求△ABC的面积．
【解答】解法一：（1）在△ABC中，由正弦定理及题设得，
故，
解得，
又0°＜B＜30°，
所以．
（2）设AD＝CD＝x，则BD＝2x．
在△ABC中，由余弦定理得，BC2′＝AB2+AC2﹣2AB•ACcosA，
即7＝9x2+1﹣6xcosA，①
在等腰△ACD中，有，②
联立①②，解得x＝1或x＝﹣1（舍去），
所以△ACD为等边三角形，
所以A＝60°，
所以．
解法二：（1）同解法一．
（2）设AD＝x，则CD＝x，BD＝2x，
因为∠ADC＝π﹣∠BDC，
所以cos∠ADC＝﹣cos∠BDC，
由余弦定理得，
得，
所以x2＝1，解得x＝1或x＝﹣1（舍去），
所以△ACD为等边三角形，所以A＝60°，
所以．
19．（12分）如图，FA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，EC∥FA，FA＝3，EC＝1，AB＝2，AC＝4，BD⊥AC交AC于点D．
（Ⅰ）证明：FD⊥BE；
（Ⅱ）求直线BC与平面BEF所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明1：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，．
因为BD⊥AC交AC于点D，所以AD＝1，CD＝3．
因为FA⊥平面ABC，EC∥FA，EC＝1，AC＝4，
所以△FAD∽△DCE，所以FD⊥DE．
又因为BD⊥AC，FA⊥平面ABC，所以BD⊥平面FDE，BD⊥FD，
所以FD⊥平面BDE，所以FD⊥BE．
证明2：如图，以D为原点，分别以DB，DC为x，y轴，建立空间直角坐标系，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，．因为BD⊥AC，所以
，
，
所以，所以DF⊥BE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，，
．
设平面BEF的法向量为，
所以即令，y，所以．
设直线BC与平面BEF所成角为θ，则．
20．（12分）自2020年1月以来，习惯肺炎病毒肆虐全球，为严防新型冠状病毒疫情扩散，有效切断病毒传播途径，坚决遏制疫情蔓延势头，确保人民群众生命安全和身体健康，多地相继做出了封城决定．某地在1月23日至29日累计确诊人数如下表：
日期（1月）
23日
24日
25日
26日
27日
28日
29日
人数（人）
6
11
21
34
66
101
196
由上述表格得到如散点图（1月23日为封城第一天）．
（1）根据散点图判断y＝a+bx与y＝c•dx（c，d均为大于0的常数）哪一个适宜作为累计确诊人数y与封城后的天数x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；并根据上表中的数据求出回归方程；
（2）随着更多的医护人员投入疫情的研究，2月20日武汉影像科医生提出存在大量核酸检测呈阴性（阳性则确诊），但观其CT肺片具有明显病变，这一提议引起了广泛的关注，2月20日武汉疾控中心接收了1000份血液样本，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性样本的概率为0.7，核酸试剂能把阳性样本检测出阳性结果的概率是0.99（核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况，但不会把阴性检测呈阳性），求这1000份样本中检测呈阳性的份数的期望．
参考数据：
100.54
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
其中，参考公式：对于一组数据（u1，w1），（u2，w2），⋯，（un，wn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
【解答】解：（1）由散点图可选择y＝c•dx，
由y＝c•dx两边同时取对数可得，lgy＝lgc+lgd•x，
设lgy＝w，
则w＝lgc+xlgd，
计算4，1.54，，
lgd0.25，
lgc1.54﹣0.25×4＝0.54，
故w＝0.54+0.25x，
故y关于x的回归方程为y＝3.47×100.25x．
（2）设这1000份样本中检测出呈阳性的份数为X，
则每份检测出阳性的概率P＝0.7×0.99＝0.693，
由题意可知，X～B（1000，0.693），
故E（X）＝1000×0.693＝693（人），
故这1000份样本中检测呈阳性的份数的期望为693．
21．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点到F点的距离为．
（1）求抛物线的方程及点A坐标；
（2）设斜率为k的直线l过点B（2，0）且与抛物线交于不同的两点M、N，若且，求斜率k的取值范围．
【解答】解：（1）由抛物线定义可知：，得p＝2，∴抛物线方程为x2＝4y，
将点坐标代入抛物线方程得：∴点A坐标为，
（2）直线l的方程为y＝k（x﹣2），设M、N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
联立消去y，整理得：x2﹣4kx+8k＝0，
由Δ＞0⇒16k2﹣32k＞0⇒k＜0或k＞2．且x1+x2＝4k，x1x2＝8k，
又即（x1﹣2，y1）＝λ（x2﹣2，y2）∴，
∵，∴，
又，
令，∴，
又：k＜0或k＞2．∴k的取值范围是．
22．（12分）已知f（x）＝sinx+ax3﹣x．
（1）当时，求证：函数f（x）在R上单调递增；
（2）若f（x）只有一个零点，求a的取值范围．
【解答】（1）证明：当时，f（x）＝sinxx3﹣x，f′（x）＝cosxx2﹣1，
f″（x）＝x﹣sinx，f′′′（x）＝1﹣cosx≥0，
所以f″（x）＝x﹣sinx在R上单调递增，且f″（0）＝0，
所以当x＜0时，f″（x）＜0，当x＞0时，f″（x）＞0，
所以f′（x）＝cosxx2﹣1在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，且f′（0）＝0，
所以f′（x）≥f′（0）＝0，所以f（x）＝sinxx3﹣x在R上单调递增；
（2）解：因为f（﹣x）＝﹣sinx﹣ax3+x＝﹣（sinx+ax3﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，f（0）＝0，
若f（x）只有一个零点，则只需f（x）在（0，+∞）上无零点，
由（1）知，当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，故sinx﹣xx3，
令f（x）＞（a）x3≥0，则a时，f（x）无零点，符合题意；
当a≤0时，f′（x）＝cosx+3ax2﹣1≤cosx﹣1≤0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递减，则f（x）＜f（0）＝0，f（x）无零点，符合题意；
当0＜a时，f′（x）＝cosx+3ax2﹣1，f″（x）＝﹣sinx+6ax，f′′′（x）＝﹣cosx+6a，
所以f′′′（x）在（0，π）上单调递增，且f′′′（0）＝6a﹣1＜0，f′′′（π）＝6a＞0，
故存在唯一x0∈（0，π），使得f′′′（x0）＝0，
所以f″（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，π）上单调递增，
当x∈（0，x0）时，f″（x）＜f″（0）＝0，可得f′（x）单调递减，
所以f′（x）＜f′（0）＝0，可得f（x）在（0，x0）上单调递减，
所以f（x0）＜f（0）＝0，
取x＝kπ，k∈N*时，令f（x）＝ax3﹣x＝x（ax2﹣1）＞0，
可得x，即k，且k∈N*时，f（x）＞0，
由零点存在定理，f（x）在（x0，+∞）上至少存在一个零点，不符合题意．
综上所述，a的取值范围为（﹣∞，0]∪[，+∞）．
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2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三（上）入学数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{x|y}，B＝{y|y}，则A∩B＝（ ）
A．∅ B．R C．（﹣∞，2] D．[0，2]
2．（5分）若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
3．（5分）已知x＞1，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
4．（5分）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P（A）＞0，P（B）＞0，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若P（A）+P（B）＝1，则A，B对立
C．若A，B独立，则P（A|B）＝P（A）
D．若A，B互斥，则P（A|B）+P（B|A）＝1
5．（5分）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）与图中曲线对应的函数可能是（ ）
A．y＝|sinx| B．y＝sin|x| C．y＝﹣|sinx| D．y＝﹣sin|x|
7．（5分）已知正方形ABCD的对角线长为2，EF是它的内切圆一条弦，点P为正方形ABCD四条边上的一个动点，当弦EF的长度最大时，不可能为（ ）
A．0 B． C． D．
8．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：
①点A、B都在f（x）的图象上；
②点A、B关于原点对称，则对称点对（A、B）是函数的一个“兄弟点对”（点对（A、B）与（B、A）可看作一个“兄弟点对”）．
已知函数f（x），则f（x）的“兄弟点对”的个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
（多选）9．（5分）a，b是两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．a⊥α，b∥β，α∥β⇒a⊥b B．a⊥b，a⊥α，α∥β⇒b∥β
C．a⊥b，a∥α，α∥β⇒b⊥β D．a⊥α，a∥b，α∥β⇒b⊥β
（多选）10．（5分）为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩X～N（70，100），其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说明正确的是（ ）
参考数据：随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974．
A．该校学生体育成绩的方差为10
B．该校学生体育成绩的期望为70
C．该校学生体育成绩的及格率不到85%
D．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当
（多选）11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：x为整数时，f（x）＝2021；x不为整数时，f（x）＝0，则（ ）
A．f（x）是奇函数 B．f（x）是偶函数
C．∀x∈R，f（f（x））＝2021 D．f（x）的最小正周期为1
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中，ω＞0，|φ|），f（）＝0，f（x）≤||恒成立，且f（x）区间上单调，则下列说法正确的是（ ）
A．存在φ，使得f（x）是偶函数
B．f（0）
C．ω是奇数
D．ω的最大值为3
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若等比数列{an}的前n项和为Sn，a3，则公比q＝ ．
14．（5分）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗．陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为h1，h2，r，且h1＝h2＝r，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2，则 ．
15．（5分）设a∈Z，且0≤a＜13，若512021+a能被13整除，则a＝ ．
16．（5分）已知曲线y＝ex+a与y＝（x﹣1）2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分.）
17．（10分）设数列{an}满足a1＝3，an+1﹣an＝2•3n（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝n•an，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．（12分）在△ABC中，．
（1）若A＝150°，求cosB；
（2）D为AB边上一点，且BD＝2AD＝2CD，求△ABC的面积．
19．（12分）如图，FA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，EC∥FA，FA＝3，EC＝1，AB＝2，AC＝4，BD⊥AC交AC于点D．
（Ⅰ）证明：FD⊥BE；
（Ⅱ）求直线BC与平面BEF所成角的正弦值．
20．（12分）自2020年1月以来，习惯肺炎病毒肆虐全球，为严防新型冠状病毒疫情扩散，有效切断病毒传播途径，坚决遏制疫情蔓延势头，确保人民群众生命安全和身体健康，多地相继做出了封城决定．某地在1月23日至29日累计确诊人数如下表：
日期（1月）
23日
24日
25日
26日
27日
28日
29日
人数（人）
6
11
21
34
66
101
196
由上述表格得到如散点图（1月23日为封城第一天）．
（1）根据散点图判断y＝a+bx与y＝c•dx（c，d均为大于0的常数）哪一个适宜作为累计确诊人数y与封城后的天数x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；并根据上表中的数据求出回归方程；
（2）随着更多的医护人员投入疫情的研究，2月20日武汉影像科医生提出存在大量核酸检测呈阴性（阳性则确诊），但观其CT肺片具有明显病变，这一提议引起了广泛的关注，2月20日武汉疾控中心接收了1000份血液样本，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性样本的概率为0.7，核酸试剂能把阳性样本检测出阳性结果的概率是0.99（核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况，但不会把阴性检测呈阳性），求这1000份样本中检测呈阳性的份数的期望．
参考数据：
100.54
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
其中，参考公式：对于一组数据（u1，w1），（u2，w2），⋯，（un，wn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
21．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点到F点的距离为．
（1）求抛物线的方程及点A坐标；
（2）设斜率为k的直线l过点B（2，0）且与抛物线交于不同的两点M、N，若且，求斜率k的取值范围．
22．（12分）已知f（x）＝sinx+ax3﹣x．
（1）当时，求证：函数f（x）在R上单调递增；
（2）若f（x）只有一个零点，求a的取值范围．
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）已知集合A＝{x|y}，B＝{y|y}，则A∩B＝（ ）
A．∅ B．R C．（﹣∞，2] D．[0，2]
【解答】解：由题意知，
根据函数的定义域求出集合A＝{x|x≤2}，
根据函数的值域求出集合B＝{y|y≥0}，
根据交集的定义求出A∩B＝{x|0≤x≤2}，
故选：D．
2．（5分）若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【解答】解：∵数的实部与虚部相等，
∴，解得a＝﹣3．
故选：A．
3．（5分）已知x＞1，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【解答】解：因为x＞1，所以x﹣1＞0，
则2（x﹣1）2，
当且仅当2（x﹣1），即x＝1时取等号，此时取得最小值2+2．
故选：C．
4．（5分）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P（A）＞0，P（B）＞0，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若P（A）+P（B）＝1，则A，B对立
C．若A，B独立，则P（A|B）＝P（A）
D．若A，B互斥，则P（A|B）+P（B|A）＝1
【解答】解：对于A，P（B|A）+P（|A）1，故A错误；
对于B，若A，B对立，则P（A）+P（B）＝1，
反之不成立，例如a，b，c，d四个球，选中每个球的概率一样．
P（A）为选中a、b两个球的概率：0.5，P（B）为选中b，c两个球的概率：0.5．
P（A）+P（B）＝1，但A，B不是对立事件，因为当选中b时，A，B均成立，故B错误；
对于C，根据独立事件定义知：若A，B独立，则P（A|B）＝P（A），故C正确；
对于D，若A，B互斥，则P（A|B）+P（B|A）＝0，故D错误．
故选：C．
5．（5分）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，
共有C•A12种不同的方案，
甲乙两人安排在同一个舱内共有A2种不同的方案，
故甲乙两人安排在同一个舱内的概率为，
故选：A．
6．（5分）与图中曲线对应的函数可能是（ ）
A．y＝|sinx| B．y＝sin|x| C．y＝﹣|sinx| D．y＝﹣sin|x|
【解答】解：由图象可知当x时，函数值y＝﹣1＜0，故排除选项AB，
当x时，函数值y＝1＞0，故排除选项C．
故选：D．
7．（5分）已知正方形ABCD的对角线长为2，EF是它的内切圆一条弦，点P为正方形ABCD四条边上的一个动点，当弦EF的长度最大时，不可能为（ ）
A．0 B． C． D．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（，），B（，），C（，），D（，），
设E（cosθ，sinθ），由弦EF的长度最大时，弦EF为直径，则F（cosθ，sinθ），
再设P（x，y），则（cosθ﹣x，sinθ﹣y），（cosθ﹣x，sinθ﹣y），
则x2cos2θ．
当点P在线段AB上移动时，y，x，则∈[0，]；
当点P在线段BC上移动时，x，y，则∈[0，]；
当点P在线段CD上移动时，y，x，则∈[0，]；
当点P在线段AD上移动时，x，y，则∈[0，]．
综上可知：∈[0，]，结合选项可知，不可能为．
故选：D．
8．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：
①点A、B都在f（x）的图象上；
②点A、B关于原点对称，则对称点对（A、B）是函数的一个“兄弟点对”（点对（A、B）与（B、A）可看作一个“兄弟点对”）．
已知函数f（x），则f（x）的“兄弟点对”的个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【解答】解：设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），于是，cosx＝﹣ln（﹣x），只需判断方程根的个数，即y＝cosx与y＝﹣ln（﹣x）图象的交点个数，函数图象如下：所以f（x）的“兄弟点对”的个数为1个．
由图知，所以f（x）的“兄弟点对”的个数为1个．
故选：A．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
（多选）9．（5分）a，b是两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．a⊥α，b∥β，α∥β⇒a⊥b B．a⊥b，a⊥α，α∥β⇒b∥β
C．a⊥b，a∥α，α∥β⇒b⊥β D．a⊥α，a∥b，α∥β⇒b⊥β
【解答】解：对于A：由a⊥α、α∥β，可得a⊥β，又b∥β，所以a⊥b，故A正确；
对于B：由a⊥α、α∥β，可得a⊥β，又a⊥b，则b∥β或b⊂β，故B错误；
对于C：由a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β，又a⊥b，则b∥β或b⊂β或b与β相交（不垂直）或b⊥β，故C错误；
对于D：由a⊥α、α∥β，可得a⊥β，又a∥b，所以b⊥β，故D正确；
故选：AD．
（多选）10．（5分）为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩X～N（70，100），其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说明正确的是（ ）
参考数据：随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974．
A．该校学生体育成绩的方差为10
B．该校学生体育成绩的期望为70
C．该校学生体育成绩的及格率不到85%
D．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当
【解答】解：由题意可知：X∽N（70，100），
则期望μ＝70，标准差σ＝10，方差为100，故A错误，B正确，
选项C：P（X＞70）＝0.5，P（60≤X≤80）＝P（μ﹣σ＜μ+σ）＝0.6826，
所以P（60≤X≤70），
所以P（X≥60）＝P（60≤X≤70）+P（X＞70）＝0.3413+0.5＝0.8413＜85%，故C正确，
选项D：优秀的概率为：P（X≥90）＝P（X≥70）﹣P（70≤X≤90）＝0.5，
不及格的概率为：P（X＜60）＝P（X≤70）﹣P（60≤X≤70）＝0.50.1587，两者不同，故D错误，
故选：BC．
（多选）11．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：x为整数时，f（x）＝2021；x不为整数时，f（x）＝0，则（ ）
A．f（x）是奇函数 B．f（x）是偶函数
C．∀x∈R，f（f（x））＝2021 D．f（x）的最小正周期为1
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，对于f（x），有f（1）＝2021，f（﹣1）＝2021，
f（﹣x）＝﹣f（x）不恒成立，则f（x）不是奇函数，A错误，
对于B，对于f（x），若x为整数，则﹣x也是整数，则有f（x）＝f（﹣x）＝2021，
若x不为整数，则﹣x也不为整数，则有f（x）＝f（﹣x）＝0，
综合可得f（x）＝f（﹣x），f（x）是偶函数，B正确，
对于C，若x为整数，f（x）＝2021，x不为整数时，f（x）＝0，
总之f（x）是整数，则f（f（x））＝2021，C正确，
对于D，若x为整数，则x+1也是整数，
若x不为整数，则x+1也不为整数，总之有f（x+1）＝f（x），f（x）的周期为1，
若t（0＜t＜1）也是f（x）的周期，
而x和x+nt可能一个为整数，另一个不是整数，则有f（x）≠f（x+nt），
故f（x）的最小正周期为1，D正确，
故选：BCD．
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中，ω＞0，|φ|），f（）＝0，f（x）≤||恒成立，且f（x）区间上单调，则下列说法正确的是（ ）
A．存在φ，使得f（x）是偶函数
B．f（0）
C．ω是奇数
D．ω的最大值为3
【解答】解：f（x）区间上单调，
故，解得；
所以0＜ω≤8；
由于f（）＝0，可得，
解得φ（k1∈Z）；
由于f（）＝±1，
可得，可得φ（k2∈Z）；
所以，整理得，
若ω＝1时，φ；若ω＝3，5时，φ无解，当ω＝7时，φ，且f（x）区间上不单调，
所以T，ω＝2k+1（k∈Z），
①故选项A错误．
②由于x为函数的对称轴，所以f（0）＝f（）故选项B正确．
③由于ω＝1+2k，故选项C正确．
④当f（x）区间上单调递增时，，整理得ω≤3；
所以0＜ω≤3．即最大值为3，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若等比数列{an}的前n项和为Sn，a3，则公比q＝ 1或 ．
【解答】解：∵
∴a1+a2+a3则a1+a2＝3
∴化简得2q2﹣q﹣1＝0
解得q＝1或
故答案为：1或
14．（5分）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗．陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为h1，h2，r，且h1＝h2＝r，设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2，则 ．
【解答】解：由题意，圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，
根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为，
所以．
故答案为：．
15．（5分）设a∈Z，且0≤a＜13，若512021+a能被13整除，则a＝ 1 ．
【解答】解：512021＝(52﹣1)2021,
因为52能被13整除，
所以只需﹣1+a能被13整除即可，
又0≤a＜13，
所以a＝1．
故答案为：1．
16．（5分）已知曲线y＝ex+a与y＝（x﹣1）2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为 （﹣∞，2ln2﹣3） ．
【解答】解：y＝（x﹣1）2的导数y′＝2（x﹣1），y＝ex+a的导数为y′＝ex+a，
设与曲线y＝ex+a相切的切点为（m，n），y＝（x﹣1）2相切的切点为（s，t），
则有公共切线斜率为2（s﹣1）＝em+a，
又t＝（s﹣1）2，n＝em+a，
即有2（s﹣1）
即为s﹣m1，
即有m（s＞1），
则有em+a＝2（s﹣1），即为a＝ln2（s﹣1）（s＞1），
令f（s）＝ln2（s﹣1）（s＞1），
则f′（s），
当s＞3时，f′（s）＜0，f（s）递减，
当1＜s＜3时，f′（s）＞0，f（s）递增．
即有s＝3处f（s）取得极大值，也为最大值，且为2ln2﹣3，
由恰好存在两条公切线，即s有两解，
可得a的范围是a＜2ln2﹣3．
故答案为：（﹣∞，2ln2﹣3）．
四、解答题（本题共6小题，共70分.）
17．（10分）设数列{an}满足a1＝3，an+1﹣an＝2•3n（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝n•an，求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）∵an+1﹣an＝2•3n，∴an﹣an﹣1＝2•3n﹣1（n∈N*），又a1＝3，
∴an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+•••+（an﹣an﹣1）＝3+2（3+32+•••+3n﹣1）
＝3+2•3n，
当n＝1时，a1＝3满足上式．
∴数列{an}的通项公式为：an＝3n；
（2）bn＝n•3n，
∴Sn＝1•3+2•32+3•33+•••+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n①
∴3Sn＝1•32+2•33+•••+（n﹣1）•3n+n•3n+1②
①﹣②得：﹣2Sn＝3+32+33+•••+3n﹣n•3n+1
n•3n+1＝（n）•3n+1，
∴Sn．
18．（12分）在△ABC中，．
（1）若A＝150°，求cosB；
（2）D为AB边上一点，且BD＝2AD＝2CD，求△ABC的面积．
【解答】解法一：（1）在△ABC中，由正弦定理及题设得，
故，
解得，
又0°＜B＜30°，
所以．
（2）设AD＝CD＝x，则BD＝2x．
在△ABC中，由余弦定理得，BC2′＝AB2+AC2﹣2AB•ACcosA，
即7＝9x2+1﹣6xcosA，①
在等腰△ACD中，有，②
联立①②，解得x＝1或x＝﹣1（舍去），
所以△ACD为等边三角形，
所以A＝60°，
所以．
解法二：（1）同解法一．
（2）设AD＝x，则CD＝x，BD＝2x，
因为∠ADC＝π﹣∠BDC，
所以cos∠ADC＝﹣cos∠BDC，
由余弦定理得，
得，
所以x2＝1，解得x＝1或x＝﹣1（舍去），
所以△ACD为等边三角形，所以A＝60°，
所以．
19．（12分）如图，FA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，EC∥FA，FA＝3，EC＝1，AB＝2，AC＝4，BD⊥AC交AC于点D．
（Ⅰ）证明：FD⊥BE；
（Ⅱ）求直线BC与平面BEF所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明1：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，．
因为BD⊥AC交AC于点D，所以AD＝1，CD＝3．
因为FA⊥平面ABC，EC∥FA，EC＝1，AC＝4，
所以△FAD∽△DCE，所以FD⊥DE．
又因为BD⊥AC，FA⊥平面ABC，所以BD⊥平面FDE，BD⊥FD，
所以FD⊥平面BDE，所以FD⊥BE．
证明2：如图，以D为原点，分别以DB，DC为x，y轴，建立空间直角坐标系，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，．因为BD⊥AC，所以
，
，
所以，所以DF⊥BE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，，
．
设平面BEF的法向量为，
所以即令，y，所以．
设直线BC与平面BEF所成角为θ，则．
20．（12分）自2020年1月以来，习惯肺炎病毒肆虐全球，为严防新型冠状病毒疫情扩散，有效切断病毒传播途径，坚决遏制疫情蔓延势头，确保人民群众生命安全和身体健康，多地相继做出了封城决定．某地在1月23日至29日累计确诊人数如下表：
日期（1月）
23日
24日
25日
26日
27日
28日
29日
人数（人）
6
11
21
34
66
101
196
由上述表格得到如散点图（1月23日为封城第一天）．
（1）根据散点图判断y＝a+bx与y＝c•dx（c，d均为大于0的常数）哪一个适宜作为累计确诊人数y与封城后的天数x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；并根据上表中的数据求出回归方程；
（2）随着更多的医护人员投入疫情的研究，2月20日武汉影像科医生提出存在大量核酸检测呈阴性（阳性则确诊），但观其CT肺片具有明显病变，这一提议引起了广泛的关注，2月20日武汉疾控中心接收了1000份血液样本，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性样本的概率为0.7，核酸试剂能把阳性样本检测出阳性结果的概率是0.99（核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况，但不会把阴性检测呈阳性），求这1000份样本中检测呈阳性的份数的期望．
参考数据：
100.54
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
其中，参考公式：对于一组数据（u1，w1），（u2，w2），⋯，（un，wn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
【解答】解：（1）由散点图可选择y＝c•dx，
由y＝c•dx两边同时取对数可得，lgy＝lgc+lgd•x，
设lgy＝w，
则w＝lgc+xlgd，
计算4，1.54，，
lgd0.25，
lgc1.54﹣0.25×4＝0.54，
故w＝0.54+0.25x，
故y关于x的回归方程为y＝3.47×100.25x．
（2）设这1000份样本中检测出呈阳性的份数为X，
则每份检测出阳性的概率P＝0.7×0.99＝0.693，
由题意可知，X～B（1000，0.693），
故E（X）＝1000×0.693＝693（人），
故这1000份样本中检测呈阳性的份数的期望为693．
21．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点到F点的距离为．
（1）求抛物线的方程及点A坐标；
（2）设斜率为k的直线l过点B（2，0）且与抛物线交于不同的两点M、N，若且，求斜率k的取值范围．
【解答】解：（1）由抛物线定义可知：，得p＝2，∴抛物线方程为x2＝4y，
将点坐标代入抛物线方程得：∴点A坐标为，
（2）直线l的方程为y＝k（x﹣2），设M、N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
联立消去y，整理得：x2﹣4kx+8k＝0，
由Δ＞0⇒16k2﹣32k＞0⇒k＜0或k＞2．且x1+x2＝4k，x1x2＝8k，
又即（x1﹣2，y1）＝λ（x2﹣2，y2）∴，
∵，∴，
又，
令，∴，
又：k＜0或k＞2．∴k的取值范围是．
22．（12分）已知f（x）＝sinx+ax3﹣x．
（1）当时，求证：函数f（x）在R上单调递增；
（2）若f（x）只有一个零点，求a的取值范围．
【解答】（1）证明：当时，f（x）＝sinxx3﹣x，f′（x）＝cosxx2﹣1，
f″（x）＝x﹣sinx，f′′′（x）＝1﹣cosx≥0，
所以f″（x）＝x﹣sinx在R上单调递增，且f″（0）＝0，
所以当x＜0时，f″（x）＜0，当x＞0时，f″（x）＞0，
所以f′（x）＝cosxx2﹣1在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，且f′（0）＝0，
所以f′（x）≥f′（0）＝0，所以f（x）＝sinxx3﹣x在R上单调递增；
（2）解：因为f（﹣x）＝﹣sinx﹣ax3+x＝﹣（sinx+ax3﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，f（0）＝0，
若f（x）只有一个零点，则只需f（x）在（0，+∞）上无零点，
由（1）知，当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，故sinx﹣xx3，
令f（x）＞（a）x3≥0，则a时，f（x）无零点，符合题意；
当a≤0时，f′（x）＝cosx+3ax2﹣1≤cosx﹣1≤0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递减，则f（x）＜f（0）＝0，f（x）无零点，符合题意；
当0＜a时，f′（x）＝cosx+3ax2﹣1，f″（x）＝﹣sinx+6ax，f′′′（x）＝﹣cosx+6a，
所以f′′′（x）在（0，π）上单调递增，且f′′′（0）＝6a﹣1＜0，f′′′（π）＝6a＞0，
故存在唯一x0∈（0，π），使得f′′′（x0）＝0，
所以f″（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，π）上单调递增，
当x∈（0，x0）时，f″（x）＜f″（0）＝0，可得f′（x）单调递减，
所以f′（x）＜f′（0）＝0，可得f（x）在（0，x0）上单调递减，
所以f（x0）＜f（0）＝0，
取x＝kπ，k∈N*时，令f（x）＝ax3﹣x＝x（ax2﹣1）＞0，
可得x，即k，且k∈N*时，f（x）＞0，
由零点存在定理，f（x）在（x0，+∞）上至少存在一个零点，不符合题意．
综上所述，a的取值范围为（﹣∞，0]∪[，+∞）．
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