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    2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三(上)入学数学试卷
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    2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三(上)入学数学试卷

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    这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三(上)入学数学试卷,共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三(上)入学数学试卷
    一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
    1.(5分)已知集合A={x|y},B={y|y},则A∩B=(  )
    A.∅ B.R C.(﹣∞,2] D.[0,2]
    2.(5分)若复数的实部与虚部相等,则实数a的值为(  )
    A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
    3.(5分)已知x>1,则的最小值为(  )
    A.4 B. C. D.
    4.(5分)已知,分别为随机事件A,B的对立事件,P(A)>0,P(B)>0,则下列说法正确的是(  )
    A.
    B.若P(A)+P(B)=1,则A,B对立
    C.若A,B独立,则P(A|B)=P(A)
    D.若A,B互斥,则P(A|B)+P(B|A)=1
    5.(5分)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲,乙,丙,丁4名航天员开展实验,其中天和核心舱安排2人,问天实验舱与梦天实验舱各安排1人,则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为(  )

    A. B. C. D.
    6.(5分)与图中曲线对应的函数可能是(  )

    A.y=|sinx| B.y=sin|x| C.y=﹣|sinx| D.y=﹣sin|x|
    7.(5分)已知正方形ABCD的对角线长为2,EF是它的内切圆一条弦,点P为正方形ABCD四条边上的一个动点,当弦EF的长度最大时,不可能为(  )
    A.0 B. C. D.
    8.(5分)若直角坐标平面内A、B两点满足条件:
    ①点A、B都在f(x)的图象上;
    ②点A、B关于原点对称,则对称点对(A、B)是函数的一个“兄弟点对”(点对(A、B)与(B、A)可看作一个“兄弟点对”).
    已知函数f(x),则f(x)的“兄弟点对”的个数为(  )
    A.1 B.3 C.4 D.5
    二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
    (多选)9.(5分)a,b是两条不同的直线,α,β是空间两个不同的平面,如下有四个命题,其中正确的命题是(  )
    A.a⊥α,b∥β,α∥β⇒a⊥b B.a⊥b,a⊥α,α∥β⇒b∥β
    C.a⊥b,a∥α,α∥β⇒b⊥β D.a⊥α,a∥b,α∥β⇒b⊥β
    (多选)10.(5分)为了解目前淮安市高一学生身体素质状况,对某校高一学生进行了体能抽测,得到学生的体育成绩X~N(70,100),其中60分及以上为及格,90分及以上为优秀.则下列说明正确的是(  )
    参考数据:随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974.
    A.该校学生体育成绩的方差为10
    B.该校学生体育成绩的期望为70
    C.该校学生体育成绩的及格率不到85%
    D.该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当
    (多选)11.(5分)定义在R上的函数f(x)满足:x为整数时,f(x)=2021;x不为整数时,f(x)=0,则(  )
    A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数
    C.∀x∈R,f(f(x))=2021 D.f(x)的最小正周期为1
    (多选)12.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中,ω>0,|φ|),f()=0,f(x)≤||恒成立,且f(x)区间上单调,则下列说法正确的是(  )
    A.存在φ,使得f(x)是偶函数
    B.f(0)
    C.ω是奇数
    D.ω的最大值为3
    三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
    13.(5分)若等比数列{an}的前n项和为Sn,a3,则公比q=   .
    14.(5分)陀螺是中国民间的娱乐工具之一,也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所示,由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成,若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为h1,h2,r,且h1=h2=r,设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2,则   .

    15.(5分)设a∈Z,且0≤a<13,若512021+a能被13整除,则a=   .
    16.(5分)已知曲线y=ex+a与y=(x﹣1)2恰好存在两条公切线,则实数a的取值范围为   .
    四、解答题(本题共6小题,共70分.)
    17.(10分)设数列{an}满足a1=3,an+1﹣an=2•3n(n∈N*).
    (1)求数列{an}的通项公式;
    (2)令bn=n•an,求数列{bn}的前n项和Sn.
    18.(12分)在△ABC中,.
    (1)若A=150°,求cosB;
    (2)D为AB边上一点,且BD=2AD=2CD,求△ABC的面积.
    19.(12分)如图,FA⊥平面ABC,∠ABC=90°,EC∥FA,FA=3,EC=1,AB=2,AC=4,BD⊥AC交AC于点D.
    (Ⅰ)证明:FD⊥BE;
    (Ⅱ)求直线BC与平面BEF所成角的正弦值.

    20.(12分)自2020年1月以来,习惯肺炎病毒肆虐全球,为严防新型冠状病毒疫情扩散,有效切断病毒传播途径,坚决遏制疫情蔓延势头,确保人民群众生命安全和身体健康,多地相继做出了封城决定.某地在1月23日至29日累计确诊人数如下表:
    日期(1月)
    23日
    24日
    25日
    26日
    27日
    28日
    29日
    人数(人)
    6
    11
    21
    34
    66
    101
    196
    由上述表格得到如散点图(1月23日为封城第一天).
    (1)根据散点图判断y=a+bx与y=c•dx(c,d均为大于0的常数)哪一个适宜作为累计确诊人数y与封城后的天数x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);并根据上表中的数据求出回归方程;
    (2)随着更多的医护人员投入疫情的研究,2月20日武汉影像科医生提出存在大量核酸检测呈阴性(阳性则确诊),但观其CT肺片具有明显病变,这一提议引起了广泛的关注,2月20日武汉疾控中心接收了1000份血液样本,假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的,且每份样本是阳性样本的概率为0.7,核酸试剂能把阳性样本检测出阳性结果的概率是0.99(核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况,但不会把阴性检测呈阳性),求这1000份样本中检测呈阳性的份数的期望.
    参考数据:




    100.54
    62.14
    1.54
    2535
    50.12
    3.47
    其中,参考公式:对于一组数据(u1,w1),(u2,w2),⋯,(un,wn),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.

    21.(12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点到F点的距离为.
    (1)求抛物线的方程及点A坐标;
    (2)设斜率为k的直线l过点B(2,0)且与抛物线交于不同的两点M、N,若且,求斜率k的取值范围.
    22.(12分)已知f(x)=sinx+ax3﹣x.
    (1)当时,求证:函数f(x)在R上单调递增;
    (2)若f(x)只有一个零点,求a的取值范围.

    2022-2023学年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学高三(上)入学数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
    1.(5分)已知集合A={x|y},B={y|y},则A∩B=(  )
    A.∅ B.R C.(﹣∞,2] D.[0,2]
    【解答】解:由题意知,
    根据函数的定义域求出集合A={x|x≤2},
    根据函数的值域求出集合B={y|y≥0},
    根据交集的定义求出A∩B={x|0≤x≤2},
    故选:D.
    2.(5分)若复数的实部与虚部相等,则实数a的值为(  )
    A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
    【解答】解:∵数的实部与虚部相等,
    ∴,解得a=﹣3.
    故选:A.
    3.(5分)已知x>1,则的最小值为(  )
    A.4 B. C. D.
    【解答】解:因为x>1,所以x﹣1>0,
    则2(x﹣1)2,
    当且仅当2(x﹣1),即x=1时取等号,此时取得最小值2+2.
    故选:C.
    4.(5分)已知,分别为随机事件A,B的对立事件,P(A)>0,P(B)>0,则下列说法正确的是(  )
    A.
    B.若P(A)+P(B)=1,则A,B对立
    C.若A,B独立,则P(A|B)=P(A)
    D.若A,B互斥,则P(A|B)+P(B|A)=1
    【解答】解:对于A,P(B|A)+P(|A)1,故A错误;
    对于B,若A,B对立,则P(A)+P(B)=1,
    反之不成立,例如a,b,c,d四个球,选中每个球的概率一样.
    P(A)为选中a、b两个球的概率:0.5,P(B)为选中b,c两个球的概率:0.5.
    P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件,因为当选中b时,A,B均成立,故B错误;
    对于C,根据独立事件定义知:若A,B独立,则P(A|B)=P(A),故C正确;
    对于D,若A,B互斥,则P(A|B)+P(B|A)=0,故D错误.
    故选:C.
    5.(5分)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲,乙,丙,丁4名航天员开展实验,其中天和核心舱安排2人,问天实验舱与梦天实验舱各安排1人,则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为(  )

    A. B. C. D.
    【解答】解:安排甲,乙,丙,丁4名航天员开展实验,
    共有C•A12种不同的方案,
    甲乙两人安排在同一个舱内共有A2种不同的方案,
    故甲乙两人安排在同一个舱内的概率为,
    故选:A.
    6.(5分)与图中曲线对应的函数可能是(  )

    A.y=|sinx| B.y=sin|x| C.y=﹣|sinx| D.y=﹣sin|x|
    【解答】解:由图象可知当x时,函数值y=﹣1<0,故排除选项AB,
    当x时,函数值y=1>0,故排除选项C.
    故选:D.
    7.(5分)已知正方形ABCD的对角线长为2,EF是它的内切圆一条弦,点P为正方形ABCD四条边上的一个动点,当弦EF的长度最大时,不可能为(  )
    A.0 B. C. D.
    【解答】解:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(,),B(,),C(,),D(,),
    设E(cosθ,sinθ),由弦EF的长度最大时,弦EF为直径,则F(cosθ,sinθ),
    再设P(x,y),则(cosθ﹣x,sinθ﹣y),(cosθ﹣x,sinθ﹣y),
    则x2cos2θ.
    当点P在线段AB上移动时,y,x,则∈[0,];
    当点P在线段BC上移动时,x,y,则∈[0,];
    当点P在线段CD上移动时,y,x,则∈[0,];
    当点P在线段AD上移动时,x,y,则∈[0,].
    综上可知:∈[0,],结合选项可知,不可能为.
    故选:D.

    8.(5分)若直角坐标平面内A、B两点满足条件:
    ①点A、B都在f(x)的图象上;
    ②点A、B关于原点对称,则对称点对(A、B)是函数的一个“兄弟点对”(点对(A、B)与(B、A)可看作一个“兄弟点对”).
    已知函数f(x),则f(x)的“兄弟点对”的个数为(  )
    A.1 B.3 C.4 D.5
    【解答】解:设P(x,y)(x<0),则点P关于原点的对称点为(﹣x,﹣y),于是,cosx=﹣ln(﹣x),只需判断方程根的个数,即y=cosx与y=﹣ln(﹣x)图象的交点个数,函数图象如下:所以f(x)的“兄弟点对”的个数为1个.

    由图知,所以f(x)的“兄弟点对”的个数为1个.
    故选:A.
    二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
    (多选)9.(5分)a,b是两条不同的直线,α,β是空间两个不同的平面,如下有四个命题,其中正确的命题是(  )
    A.a⊥α,b∥β,α∥β⇒a⊥b B.a⊥b,a⊥α,α∥β⇒b∥β
    C.a⊥b,a∥α,α∥β⇒b⊥β D.a⊥α,a∥b,α∥β⇒b⊥β
    【解答】解:对于A:由a⊥α、α∥β,可得a⊥β,又b∥β,所以a⊥b,故A正确;
    对于B:由a⊥α、α∥β,可得a⊥β,又a⊥b,则b∥β或b⊂β,故B错误;
    对于C:由a∥α,α∥β,则a∥β或a⊂β,又a⊥b,则b∥β或b⊂β或b与β相交(不垂直)或b⊥β,故C错误;
    对于D:由a⊥α、α∥β,可得a⊥β,又a∥b,所以b⊥β,故D正确;
    故选:AD.
    (多选)10.(5分)为了解目前淮安市高一学生身体素质状况,对某校高一学生进行了体能抽测,得到学生的体育成绩X~N(70,100),其中60分及以上为及格,90分及以上为优秀.则下列说明正确的是(  )
    参考数据:随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974.
    A.该校学生体育成绩的方差为10
    B.该校学生体育成绩的期望为70
    C.该校学生体育成绩的及格率不到85%
    D.该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当
    【解答】解:由题意可知:X∽N(70,100),
    则期望μ=70,标准差σ=10,方差为100,故A错误,B正确,
    选项C:P(X>70)=0.5,P(60≤X≤80)=P(μ﹣σ<μ+σ)=0.6826,
    所以P(60≤X≤70),
    所以P(X≥60)=P(60≤X≤70)+P(X>70)=0.3413+0.5=0.8413<85%,故C正确,
    选项D:优秀的概率为:P(X≥90)=P(X≥70)﹣P(70≤X≤90)=0.5,
    不及格的概率为:P(X<60)=P(X≤70)﹣P(60≤X≤70)=0.50.1587,两者不同,故D错误,
    故选:BC.
    (多选)11.(5分)定义在R上的函数f(x)满足:x为整数时,f(x)=2021;x不为整数时,f(x)=0,则(  )
    A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数
    C.∀x∈R,f(f(x))=2021 D.f(x)的最小正周期为1
    【解答】解:根据题意,依次分析选项:
    对于A,对于f(x),有f(1)=2021,f(﹣1)=2021,
    f(﹣x)=﹣f(x)不恒成立,则f(x)不是奇函数,A错误,
    对于B,对于f(x),若x为整数,则﹣x也是整数,则有f(x)=f(﹣x)=2021,
    若x不为整数,则﹣x也不为整数,则有f(x)=f(﹣x)=0,
    综合可得f(x)=f(﹣x),f(x)是偶函数,B正确,
    对于C,若x为整数,f(x)=2021,x不为整数时,f(x)=0,
    总之f(x)是整数,则f(f(x))=2021,C正确,
    对于D,若x为整数,则x+1也是整数,
    若x不为整数,则x+1也不为整数,总之有f(x+1)=f(x),f(x)的周期为1,
    若t(0<t<1)也是f(x)的周期,
    而x和x+nt可能一个为整数,另一个不是整数,则有f(x)≠f(x+nt),
    故f(x)的最小正周期为1,D正确,
    故选:BCD.
    (多选)12.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中,ω>0,|φ|),f()=0,f(x)≤||恒成立,且f(x)区间上单调,则下列说法正确的是(  )
    A.存在φ,使得f(x)是偶函数
    B.f(0)
    C.ω是奇数
    D.ω的最大值为3
    【解答】解:f(x)区间上单调,
    故,解得;
    所以0<ω≤8;
    由于f()=0,可得,
    解得φ(k1∈Z);
    由于f()=±1,
    可得,可得φ(k2∈Z);
    所以,整理得,
    若ω=1时,φ;若ω=3,5时,φ无解,当ω=7时,φ,且f(x)区间上不单调,
    所以T,ω=2k+1(k∈Z),
    ①故选项A错误.
    ②由于x为函数的对称轴,所以f(0)=f()故选项B正确.
    ③由于ω=1+2k,故选项C正确.
    ④当f(x)区间上单调递增时,,整理得ω≤3;
    所以0<ω≤3.即最大值为3,故D正确.
    故选:BCD.
    三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
    13.(5分)若等比数列{an}的前n项和为Sn,a3,则公比q= 1或 .
    【解答】解:∵
    ∴a1+a2+a3则a1+a2=3
    ∴化简得2q2﹣q﹣1=0
    解得q=1或
    故答案为:1或
    14.(5分)陀螺是中国民间的娱乐工具之一,也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所示,由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成,若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为h1,h2,r,且h1=h2=r,设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为S1和S2,则  .

    【解答】解:由题意,圆锥的母线长为,则圆锥的侧面积为,
    根据圆柱的侧面积公式,可得圆柱的侧面积为,
    所以.
    故答案为:.
    15.(5分)设a∈Z,且0≤a<13,若512021+a能被13整除,则a= 1 .
    【解答】解:512021=(52﹣1)2021,
    因为52能被13整除,
    所以只需﹣1+a能被13整除即可,
    又0≤a<13,
    所以a=1.
    故答案为:1.
    16.(5分)已知曲线y=ex+a与y=(x﹣1)2恰好存在两条公切线,则实数a的取值范围为 (﹣∞,2ln2﹣3) .
    【解答】解:y=(x﹣1)2的导数y′=2(x﹣1),y=ex+a的导数为y′=ex+a,
    设与曲线y=ex+a相切的切点为(m,n),y=(x﹣1)2相切的切点为(s,t),
    则有公共切线斜率为2(s﹣1)=em+a,
    又t=(s﹣1)2,n=em+a,
    即有2(s﹣1)
    即为s﹣m1,
    即有m(s>1),
    则有em+a=2(s﹣1),即为a=ln2(s﹣1)(s>1),
    令f(s)=ln2(s﹣1)(s>1),
    则f′(s),
    当s>3时,f′(s)<0,f(s)递减,
    当1<s<3时,f′(s)>0,f(s)递增.
    即有s=3处f(s)取得极大值,也为最大值,且为2ln2﹣3,
    由恰好存在两条公切线,即s有两解,
    可得a的范围是a<2ln2﹣3.
    故答案为:(﹣∞,2ln2﹣3).
    四、解答题(本题共6小题,共70分.)
    17.(10分)设数列{an}满足a1=3,an+1﹣an=2•3n(n∈N*).
    (1)求数列{an}的通项公式;
    (2)令bn=n•an,求数列{bn}的前n项和Sn.
    【解答】解:(1)∵an+1﹣an=2•3n,∴an﹣an﹣1=2•3n﹣1(n∈N*),又a1=3,
    ∴an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+•••+(an﹣an﹣1)=3+2(3+32+•••+3n﹣1)
    =3+2•3n,
    当n=1时,a1=3满足上式.
    ∴数列{an}的通项公式为:an=3n;
    (2)bn=n•3n,
    ∴Sn=1•3+2•32+3•33+•••+(n﹣1)•3n﹣1+n•3n①
    ∴3Sn=1•32+2•33+•••+(n﹣1)•3n+n•3n+1②
    ①﹣②得:﹣2Sn=3+32+33+•••+3n﹣n•3n+1
    n•3n+1=(n)•3n+1,
    ∴Sn.
    18.(12分)在△ABC中,.
    (1)若A=150°,求cosB;
    (2)D为AB边上一点,且BD=2AD=2CD,求△ABC的面积.
    【解答】解法一:(1)在△ABC中,由正弦定理及题设得,
    故,
    解得,
    又0°<B<30°,
    所以.
    (2)设AD=CD=x,则BD=2x.
    在△ABC中,由余弦定理得,BC2′=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA,
    即7=9x2+1﹣6xcosA,①
    在等腰△ACD中,有,②
    联立①②,解得x=1或x=﹣1(舍去),
    所以△ACD为等边三角形,
    所以A=60°,
    所以.
    解法二:(1)同解法一.
    (2)设AD=x,则CD=x,BD=2x,
    因为∠ADC=π﹣∠BDC,
    所以cos∠ADC=﹣cos∠BDC,
    由余弦定理得,
    得,
    所以x2=1,解得x=1或x=﹣1(舍去),
    所以△ACD为等边三角形,所以A=60°,
    所以.
    19.(12分)如图,FA⊥平面ABC,∠ABC=90°,EC∥FA,FA=3,EC=1,AB=2,AC=4,BD⊥AC交AC于点D.
    (Ⅰ)证明:FD⊥BE;
    (Ⅱ)求直线BC与平面BEF所成角的正弦值.

    【解答】解:(Ⅰ)证明1:在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,AC=4,.
    因为BD⊥AC交AC于点D,所以AD=1,CD=3.
    因为FA⊥平面ABC,EC∥FA,EC=1,AC=4,
    所以△FAD∽△DCE,所以FD⊥DE.
    又因为BD⊥AC,FA⊥平面ABC,所以BD⊥平面FDE,BD⊥FD,
    所以FD⊥平面BDE,所以FD⊥BE.
    证明2:如图,以D为原点,分别以DB,DC为x,y轴,建立空间直角坐标系,
    在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,AC=4,.因为BD⊥AC,所以


    所以,所以DF⊥BE.
    (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,,

    设平面BEF的法向量为,
    所以即令,y,所以.

    设直线BC与平面BEF所成角为θ,则.
    20.(12分)自2020年1月以来,习惯肺炎病毒肆虐全球,为严防新型冠状病毒疫情扩散,有效切断病毒传播途径,坚决遏制疫情蔓延势头,确保人民群众生命安全和身体健康,多地相继做出了封城决定.某地在1月23日至29日累计确诊人数如下表:
    日期(1月)
    23日
    24日
    25日
    26日
    27日
    28日
    29日
    人数(人)
    6
    11
    21
    34
    66
    101
    196
    由上述表格得到如散点图(1月23日为封城第一天).
    (1)根据散点图判断y=a+bx与y=c•dx(c,d均为大于0的常数)哪一个适宜作为累计确诊人数y与封城后的天数x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);并根据上表中的数据求出回归方程;
    (2)随着更多的医护人员投入疫情的研究,2月20日武汉影像科医生提出存在大量核酸检测呈阴性(阳性则确诊),但观其CT肺片具有明显病变,这一提议引起了广泛的关注,2月20日武汉疾控中心接收了1000份血液样本,假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的,且每份样本是阳性样本的概率为0.7,核酸试剂能把阳性样本检测出阳性结果的概率是0.99(核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况,但不会把阴性检测呈阳性),求这1000份样本中检测呈阳性的份数的期望.
    参考数据:




    100.54
    62.14
    1.54
    2535
    50.12
    3.47
    其中,参考公式:对于一组数据(u1,w1),(u2,w2),⋯,(un,wn),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.

    【解答】解:(1)由散点图可选择y=c•dx,
    由y=c•dx两边同时取对数可得,lgy=lgc+lgd•x,
    设lgy=w,
    则w=lgc+xlgd,
    计算4,1.54,,
    lgd0.25,
    lgc1.54﹣0.25×4=0.54,
    故w=0.54+0.25x,
    故y关于x的回归方程为y=3.47×100.25x.
    (2)设这1000份样本中检测出呈阳性的份数为X,
    则每份检测出阳性的概率P=0.7×0.99=0.693,
    由题意可知,X~B(1000,0.693),
    故E(X)=1000×0.693=693(人),
    故这1000份样本中检测呈阳性的份数的期望为693.
    21.(12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点到F点的距离为.
    (1)求抛物线的方程及点A坐标;
    (2)设斜率为k的直线l过点B(2,0)且与抛物线交于不同的两点M、N,若且,求斜率k的取值范围.
    【解答】解:(1)由抛物线定义可知:,得p=2,∴抛物线方程为x2=4y,
    将点坐标代入抛物线方程得:∴点A坐标为,
    (2)直线l的方程为y=k(x﹣2),设M、N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
    联立消去y,整理得:x2﹣4kx+8k=0,
    由Δ>0⇒16k2﹣32k>0⇒k<0或k>2.且x1+x2=4k,x1x2=8k,
    又即(x1﹣2,y1)=λ(x2﹣2,y2)∴,
    ∵,∴,
    又,
    令,∴,
    又:k<0或k>2.∴k的取值范围是.
    22.(12分)已知f(x)=sinx+ax3﹣x.
    (1)当时,求证:函数f(x)在R上单调递增;
    (2)若f(x)只有一个零点,求a的取值范围.
    【解答】(1)证明:当时,f(x)=sinxx3﹣x,f′(x)=cosxx2﹣1,
    f″(x)=x﹣sinx,f′′′(x)=1﹣cosx≥0,
    所以f″(x)=x﹣sinx在R上单调递增,且f″(0)=0,
    所以当x<0时,f″(x)<0,当x>0时,f″(x)>0,
    所以f′(x)=cosxx2﹣1在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,且f′(0)=0,
    所以f′(x)≥f′(0)=0,所以f(x)=sinxx3﹣x在R上单调递增;
    (2)解:因为f(﹣x)=﹣sinx﹣ax3+x=﹣(sinx+ax3﹣x)=﹣f(x),
    所以f(x)为奇函数,f(0)=0,
    若f(x)只有一个零点,则只需f(x)在(0,+∞)上无零点,
    由(1)知,当x>0时,f(x)>f(0)=0,故sinx﹣xx3,
    令f(x)>(a)x3≥0,则a时,f(x)无零点,符合题意;
    当a≤0时,f′(x)=cosx+3ax2﹣1≤cosx﹣1≤0,
    故f(x)在(0,+∞)上单调递减,则f(x)<f(0)=0,f(x)无零点,符合题意;
    当0<a时,f′(x)=cosx+3ax2﹣1,f″(x)=﹣sinx+6ax,f′′′(x)=﹣cosx+6a,
    所以f′′′(x)在(0,π)上单调递增,且f′′′(0)=6a﹣1<0,f′′′(π)=6a>0,
    故存在唯一x0∈(0,π),使得f′′′(x0)=0,
    所以f″(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,π)上单调递增,
    当x∈(0,x0)时,f″(x)<f″(0)=0,可得f′(x)单调递减,
    所以f′(x)<f′(0)=0,可得f(x)在(0,x0)上单调递减,
    所以f(x0)<f(0)=0,
    取x=kπ,k∈N*时,令f(x)=ax3﹣x=x(ax2﹣1)>0,
    可得x,即k,且k∈N*时,f(x)>0,
    由零点存在定理,f(x)在(x0,+∞)上至少存在一个零点,不符合题意.
    综上所述,a的取值范围为(﹣∞,0]∪[,+∞).
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2023/8/2 21:02:07;用户:高中数学朱老师;邮箱:orFmNt90mRiXzEYJeDrg1uSD0ofc@weixin.jyeoo.com;学号:37103942
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