长沙市雅礼洋湖实验中学2022-2023学年高二上学期入学考试数学试题（原卷及解析版）

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总分：150分 时量：120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式求出集合，利用交集的定义得到结果.
【详解】∵，，
∴.
故选：D.
2. 如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算求得正确答案.
【详解】.
故选：C
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得结果.
【详解】由已知可得，因此，.
故选：C.
4. 命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，利用参数分离的方法求出使命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”为真命题的的取值范围，的取值范围构成的集合应为正确选项的真子集，从而推出正确结果．
【详解】命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”为真命题
根据选项满足是的必要不充分条件只有，故答案选B．
【点睛】本题主要考查了简单的不等式恒成立问题以及求一个命题的必要不充分条件．
5. 已知函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，排除C、D选项，根据时，，可排除B项，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得定义域为，关于原点对称，
可得，
所以函数为奇函数，所以排除C、D选项，
当时，，可排除B.
故选：A.
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对数指数混合类型的比大小常见方法是找中间量，例如本题可以找到中间量，即可得出答案.
【详解】因为，，所以．
故选：B.
7. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为.若三棱锥的体积的最大值为，则球的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出，再确定当三点共线时，三棱锥的体积最大时体积最大，最大时的高是，而.则根据体积公式即可求出.
【详解】如图，所在圆即为的外接圆.
设圆的半径为，则，解得.
因为为等边三角形，所以.
由正弦定理可得，解得.
所以.
如图，当三点共线时，三棱锥的体积最大，最大值为，此时平面，三棱锥的高最大，且有，解得.
在中，，解得.
故选:C.
8. 分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，则与事件M相互独立的是（ ）
A. 3枚硬币都正面朝上B. 有正面朝上的，也有反面朝上的
C. 恰好有1枚反面朝上D. 至多有2枚正面朝上
【答案】B
【解析】
【分析】由已知运用列举法列出样本空间，事件M、选项A、B、C、D的事件，再利用古典概率公式和检验事件独立性的概率公式逐一检验可得选项.
【详解】解：样本空间为{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正）．（正，反，反），（反，正，正）（反，正，反）（反，反，正）．（反，反，反）}，
而事件{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正），（反，正，正）}，设“有正面朝上的，也有反面朝上的”，
对于A选项：设事件{（正，正，正）}．
∴，，，
∴，事件A与M不相互独立，故A不正确；
对于B选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正）}．
∴，，，
∴，事件B与M相互独立，故B正确；
对于C选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}．
∴，，，
∴，事件C与M不相互独立，故C不正确；
对于D选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}．
∴，，，
∴，事件D与M不相互独立，故D不正确；
故选：B.
二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 若a､b､c为实数，则下列命题不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的性质，结合各项的条件判断各不等式的正误即可.
【详解】A：若，则，故不成立；
B：，在中两边同时乘以，得，若两边同时乘以b，得，故，成立；
C：在两边同时除以，可得，不成立；
D：令，，则有，，，不成立.
故选：ACD.
10. 已知平面向量，，则正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则在方向上的投影向量是
C. 若与的夹角为锐角，则的取值范围为
D. 若，的夹角为，则
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A：根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
对于B：根据向量垂直的坐标表示求出，再根据投影向量的定义计算可得；
对于C：依题意可得且与不同向，即可得到不等式组，解得即可；
对于D：根据夹角公式得到方程，代入检验即可；
【详解】解：因为，，
对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，所以，
所以，所以，，所以在方向上的投影向量是，故B正确；
对于C：，若与的夹角为锐角，则且与不同向，
即且，解得且，故C错误；
对于D：若，的夹角为，则，（）
整理得，显然当时，上式不成立，故D错误；
故选：AB
11. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A. 个球都是红球的概率为B. 个球中恰有个红球的概率为
C. 至少有个红球的概率为D. 个球不都是红球的概率为
【答案】AB
【解析】
【分析】利用独立事件的概率乘法公式、对立事件的概率公式计算出每个选项中事件的概率，由此可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，个球都是红球的概率为，A选项正确；
对于B选项，个球中恰有个红球的概率为，B选项正确；
对于C选项，至少有个红球的概率为，C选项错误；
对于D选项，个球不都是红球概率为，D选项错误.
故选：AB.
12. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 线段上存在点，使平面
C. 线段上存在点，使平面平面
D. 设直线与平面所成角为，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解
【详解】易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确．
对于B, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系, 则，, ，，，
所以 ，，，
设（），则
所以，
平面即
解之得
当为线段上靠近的四等分点时，平面.故B正确
对于C，设平面的法向量
则，取
得
设平面 的法向量 ,
则
取 , 得 ,
平面平面
设 , 即 ,
解得 ，，不合题意
线段上不存在点, 使平面//平面，故C错误．
对于D，平面的法向量为
则
因为
所以
所以的最大值为．故D正确．
故选：ABD
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由图象知，三角函数的周期，结合函数图象及，写出单调递增区间.
【详解】由图象知：， ，
∴的单调递增区间为，
故答案为：
【点睛】思路点睛：
1、看图定周期、特殊函数值：，.
2、结合图象，由周期、对称轴写出增区间.
14. ，，且恒成立，则的最大值为__．
【答案】4
【解析】
【分析】将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．
【详解】解：由于恒成立，且
即恒成立
只要的最小值即可
，，故，因此
故答案：4．
15. 根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬．将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：
①平均数；
②平均数且极差小于或等于3；
③平均数且标准差；
④众数等于5且极差小于或等于4．
则4组样本中一定符合入冬指标的共有________．（填序号）
【答案】②④
【解析】
【分析】举反例判断①③；采用反证法判断②；利用众数、极差的定义判断④．
【详解】解：对于①，举反例：0，0，0，4，11，其平均数，但不符合题意，故①错误；
对于②，假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3，
得到此数据中最小值为，此时数据的平均数必然大于7，
与矛盾，故假设错误，此组数据全部小于10，符合题意，故②正确；
对于③，举反例：1，1，1，1，11，平均数，且标准差，
但不符合入冬指标，故③错误；
对于④，众数为5，极差小于等于4，故最大数不超过9，故④正确．
故答案为：②④
16. 某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台如图所示，其中，为两条公路，，，为公路上的两个景点，测得，，为了获得最佳观景效果，要求对的视角现需要从观景台到，建造两条观光路线，，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为米，每平方造价为元，则该景区预算需投入___万元可完成改造
【答案】
【解析】
【分析】先用余弦定理求出MN，设，用正弦定理表示出,利用三角函数求出最大值，即可得到预算投入.
【详解】在中，由余弦定理得：
，
解得（千米）；
设，，，
在中，由正弦定理，得，
，
，，
又因为，
所以
所以，
即观光线路长的最大值为，
该景区预算需投入元万元．
故答案为：265.
四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知圆柱高为4，母线与侧面展开图的对角线成角，求该圆柱的体积.
【答案】
【解析】
【分析】利用母线与侧面展开图的对角线成角，求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式可求出结果.
【详解】设圆柱的底面半径为，则侧面展开图是一个长为，宽为的矩形，
依题意，即，
所以该圆柱的体积为：.
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得，求得，即可求解；
（2）由余弦定理可得，结合，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
因为，则，所以，
因为，所以.
（2）因为，，
由余弦定理可得，整理得，
又，解得，
所以.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
19. 已知函数.
（1）求最小正周期和最小值；
（2）若，求的值．
【答案】（1），最小值
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式以及辅助角公式化简，进而可求最小值和周期，（2）由二倍角公式以及诱导公式即可求解.
【小问1详解】
由题意得，
的最小正周期为．
令,则（）时，有最小值．
【小问2详解】
由得，
所以，
所以．
20. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）求；
（2）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率．
【答案】（1）；（2）74；（3）．
【解析】
【分析】（1）利用小矩形的面积之和等于即可求解.
（2）根据频率分布直方图，由小矩形底边中点横坐标与小矩形面积乘积之和即可求解.
（3）根据频率分布直方图得出频率比，从中任选2人列出基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】解：（1）根据频率分布直方图得：
（2）根据频率分布直方图得：
，
（3）由于，和的频率之比为：1∶2∶2，
故抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，
记的1人为，的2人为，，的2人为，
故随机抽取2人共有，，，，，，
，，，10种，
其中至少有1人每天阅读时间位于的包含7种，
故概率．
21. 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

（1）证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得到，再根据直角三角形的性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.
【小问1详解】
证明：连接并延长交于点，连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面
【小问2详解】
解：过点作，如图建立空间直角坐标系，
因为，，所以，
又，所以，则，，
所以，所以，，，，
所以，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，所以；
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以；
所以.
设二面角的大小为，则，
所以，即二面角的正弦值为.

22. 已知定义在上的偶函数和奇函数，且.
（1）求函数，的解析式；
（2）设函数，记 .探究是否存在正整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】(1)已知，结合函数的奇偶性可得，解方程组即可得函数解析式；（2）由函数奇偶性的性质可知为奇函数，图象关于对称，则的图象关于点中心对称，利用对称性可得，然后利用恒成立问题解即可.
【详解】（1），
函数为偶函数，为奇函数，
，
，.
（2）易知为奇函数，其函数图象关于中心对称，
函数的图象关于点中心对称，
即对任意的，成立.
，
.
两式相加，得

.
即.
.
，即.
.
，
恒成立.
令，.
则在上单调递增.
在上单调递增.
.
又已知，.
【点睛】本题考查由函数奇偶性求函数解析式，考查由函数对称性求值问题，考查恒成立问题的解法，属于中档题.