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广东省广州市第二中学2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷（含答案）
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这是一份广东省广州市第二中学2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷（含答案），共35页。试卷主要包含了下列事件调查等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州二中九年级（上）开学数学试卷
(附答案与解析)
一.选择题（每小题3分，10小题，共30分）
1．（3分）下列立体图形的表面展开图中，可以是轴对称图形，也可以是中心对称图形的是（ ）
A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．圆台
2．（3分）下列事件调查：
①某品牌轮胎的使用寿命；
②高铁站检查入站成年人乘客的健康码；
③审核稿件中的错别字；
④估计鱼塘中养鱼的数量．
适合用抽样调查的事件有（ ）
A．一件 B．两件 C．三件 D．四件
3．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．春雨绵绵 B．春光明媚 C．春去夏来 D．春耕秋收
5．（3分）根据分数的基本性质，分式可以整理为（ ）
A． B． C．﹣1 D．
6．（3分）下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前10天完成任务，设原计划每天植树x万棵，则列方程为（ ）
A．﹣＝10 B．﹣＝10
C．﹣＝10 D．﹣＝10
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝x+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，延长DC到点F（0＜CF＜4），在线段CB上截取点P，使得CP＝CF，连接BF、DP，再将△DCP沿直线DP折叠得到△DEP．下列结论：
①若延长DP，则DP⊥FB；
②若连接CE，则CE∥FB；
③连接PF，当E、P、F三点共线时，CF＝4﹣4；
④连接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，则CF＝4﹣4；
其中正确有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题3分，6小题，共18分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：a2﹣3a＝ ．
13．（3分）有甲、乙两组数据，如表所示：
甲
12
12
13
14
14
乙
11
12
13
14
15
两组数据的方差分别是S甲2、S乙2，则S甲2 S乙2（填“＜”、“＝”或“＞”）．
14．（3分）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 ．
16．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线交点，M是OD中点，E、F为对角线AC上的两动点，连接ME、BF，若AB＝4，EF＝，∠ADC＝120°，则ME+BF的最小值为 ．
三、解答题（9小题，共72分）
17．（4分）计算：﹣15+|3﹣|﹣（）﹣1+（）0．
18．（4分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，点E在AD上，且DE＝DC．求证：△BDE≌△ADC．
19．（6分）如图，边长为单位1的小正方形构成的网格图，△ABC各顶点都在格点上，直线a经过格点．
（1）在网格图中画出△ABC关于直线a对称的△A′B′C′，点A、点B、点C的对称点分别为点A′、点B′、点C′；
（2）在网格图中建立平面直角坐标系，要求点A（0，1），B（2，4），然后写出△A′B′C′各顶点的坐标：A′（ ， ），B′（ ， ），C′（ ， ）．
20．（6分）某学校在今年母亲节期间开展了“孝顺父母，从家务做起”活动，活动结束后随机调查了八年级部分学生一周在家做家务的时间，并将结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生总数为 人，被调查学生做家务时间的中位数是 小时，众数是 小时；
（2）请补全条形统计图；
（3）若全校八年级共有学生1200人，估计八年级一周在家做家务的时间为5小时的学生有多少人？
21．（8分）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
22．（10分）如图，已知点A（﹣3，0），直线l1：y1＝﹣x+3与x轴交于点B，点C（﹣1，m）在直线l1上．
（1）直线AC的解析式为y2＝kx+b，求出k、b的值；
（2）根据（1）的图象在横线上填写自变量在第二象限内的取值范围：当 时，y1＞y2，当 时，y1＝y2，当 时，y1＜y2；
（3）点M在直线l1上，MN∥x轴，交直线AC于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
23．（10分）甲乙两队规划了一条南北向徒步训练路线，甲队自南向北行进，乙队反之，他们分别以不同的速度匀速前进，因装备问题，乙队推迟了10分钟出发．两队相遇、交换信息、休整了十分钟，之后继续按照原方向、各自原速度行进，都到达终点时停止计时，在整个过程中，甲、乙两队的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示．
（1）徒步训练路线的长度是 米，乙的速度是 米/分；
（2）乙到达终点后，甲还需 分钟到达终点B地；
（3）直接写出整个过程中y与x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围．
24．（12分）如图1，已知A（﹣6，0），B（0，8），∠BAO的角平分线交y轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）在角平分线AC上是否存在两点M、N，使得∠MBN＝90°且BM＝BN，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P在x轴上，问：在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）已知△ABC，
（1）如图1，若△ABC为等边三角形，以AB、BC、CA为底边，向△ABC外侧方向分别作顶角为120°的等腰三角形：△ABD、△BCE、△CAF，连接DE、EF、FD，求证：△DEF是等边三角形；
（2）如图2，若将（1）中“△ABC为等边三角形”改为“△ABC为直角三角形”，其它条件不变，则（1）的结论：“△DEF是等边三角形”是否仍然成立，并说明理由；
（3）若△ABC为直角三角形，以AB、BC、CA为底边，向△ABC内侧方向分别作顶角为120°的等腰三角形；△ABD、△BCE、△CAF，连接DE、EF、FD，画出图形，并说明结论：“△DEF是等边三角形”是否成立．
2022-2023学年广东省广州二中九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，10小题，共30分）
1．（3分）下列立体图形的表面展开图中，可以是轴对称图形，也可以是中心对称图形的是（ ）
A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．圆台
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．正方体的表面展开图可能是轴对称图形或中心对称图形，故本选项不合题意；
B．圆锥的表面展开图可能是轴对称图形，不可能是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．圆柱的表面展开图可以是轴对称图形，也可以是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．圆台的表面展开图可能是轴对称图形，不可能是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列事件调查：
①某品牌轮胎的使用寿命；
②高铁站检查入站成年人乘客的健康码；
③审核稿件中的错别字；
④估计鱼塘中养鱼的数量．
适合用抽样调查的事件有（ ）
A．一件 B．两件 C．三件 D．四件
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，即可解答．
【解答】解：①某品牌轮胎的使用寿命，适合用抽样调查，
②高铁站检查入站成年人乘客的健康码，适合用普查，
③审核稿件中的错别字，适合用普查，
④估计鱼塘中养鱼的数量，适合用抽样调查，
所以，上列事件调查，适合用抽样调查的事件有两件，
故选：B．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
3．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式，不符合题意；
B、的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、＝4不是最简二次根式，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
4．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．春雨绵绵 B．春光明媚 C．春去夏来 D．春耕秋收
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【解答】解：A、春雨绵绵，是随机事件，故A不符合题意；
B、春光明媚，是随机事件，故B不符合题意；
C、春去夏来，是必然事件，故C符合题意；
D、春耕秋收，是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
5．（3分）根据分数的基本性质，分式可以整理为（ ）
A． B． C．﹣1 D．
【分析】根据分式的基本性质是解决本题的关键．
【解答】解：＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
6．（3分）下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线的性质，以及猪脚模型，铅笔模型，进行计算即可解答．
【解答】解：A、如图：
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠1+∠3，
∵a∥b，
∴∠ACD＝∠2，
∴∠2＝∠1+∠3，
故A不符合题意；
B、如图：延长AD交BF于点C，
∵a∥b，
∴∠1＝∠ACF，
∵∠ACF＝∠3+∠2，
∴∠1＝∠3+∠2，
故B符合题意；
C、如图：过点A作AB∥a，
∴∠2+∠CAB＝180°，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠1+∠BAD＝180°，
∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°，
故C不符合题意；
D、如图：延长DA交直线b于点C，
∵a∥b，
∴∠2＝∠DCB，
∵∠3＝∠1+∠DCB，
∴∠3＝∠1+∠2，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
解①得x＜2，
解②得x≥﹣3，
利用数轴表示为：
．
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
8．（3分）某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前10天完成任务，设原计划每天植树x万棵，则列方程为（ ）
A．﹣＝10 B．﹣＝10
C．﹣＝10 D．﹣＝10
【分析】根据“提前10天完成任务”即可列出方程．
【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，
∵提前10天完成任务，
∴﹣＝10，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属于基础题型．
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝x+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据正比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：A、由函数y＝kx的图象，得k＜0，由y＝x+k的图象，得k＜0，故符合题意；
B、由函数y＝kx的图象，得k＜0，由y＝x+k的图象，得k＞0，k值相矛盾，故不符合题意；
C、由函数y＝kx的图象，得k＞0，由y＝x+k的图象不正确，故不符合题意；
D、由函数y＝kx的图象，得k＞0，由y＝x+k的图象不正确，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象，要掌握一次函数的性质才能灵活解题．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，延长DC到点F（0＜CF＜4），在线段CB上截取点P，使得CP＝CF，连接BF、DP，再将△DCP沿直线DP折叠得到△DEP．下列结论：
①若延长DP，则DP⊥FB；
②若连接CE，则CE∥FB；
③连接PF，当E、P、F三点共线时，CF＝4﹣4；
④连接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，则CF＝4﹣4；
其中正确有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①②正确．利用全等三角形的性质，轴对称的性质判断即可；
③错误．如图2中，当E，P，F共线时，∠DPC＝∠DPE＝67.5°．在CD上取一点J，使得CJ＝CP，则∠CJP＝∠CPJ＝45°，推出∠JDP＝∠JDP＝22.5°，推出DJ＝JP，设CJ＝CP＝x，则DJ＝JP＝x，构建方程求出x，即可判断；
④错误．利用③中CF的值，推出△AEF不是等腰三角形，可得结论．
【解答】解：①如图1中，延长DP交BF于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCP＝∠BCF＝90°，
在△DCP和△BCF中，
，
∴△DCP≌△BCF（SAS），
∴∠CDP＝∠CBF，
∵∠CPD＝∠BPH，
∴∠DCP＝∠BHP＝90°，
∴DP⊥BF，故①正确．
②∵C，E关于DP对称，
∴DP⊥EC，
∵BF⊥DP，
∴EC∥BF，故②正确．
③如图2中，当E，P，F共线时，∠DPC＝∠DPE＝67.5°．
在CD上取一点J，使得CJ＝CP，则∠CJP＝∠CPJ＝45°，
∴∠JDP＝∠JDP＝22.5°，
∴DJ＝JP，
设CJ＝CP＝x，则DJ＝JP＝x，
∴x+x＝4，
∴x＝4﹣4，
∴CF＝4﹣4，故③错误，
④如图3中，连接CE，BD．
由③可知，当CF＝4﹣4时，∠CDP＝∠EDP＝22.5°，
∴∠CDE＝45°，
∴点E在DB上，
∵A，C关于BD对称，
∴EA＝EC，
∵∠ECF＞∠EFC，
∴EF＞EC，
∴EF＞EA，
∴此时△AEF不是等腰三角形，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每小题3分，6小题，共18分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：代数式有意义，则x﹣2≥0且x+1≠0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
12．（3分）分解因式：a2﹣3a＝ a（a﹣3） ．
【分析】直接提取公因式a即可．
【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．
【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．
13．（3分）有甲、乙两组数据，如表所示：
甲
12
12
13
14
14
乙
11
12
13
14
15
两组数据的方差分别是S甲2、S乙2，则S甲2 ＜ S乙2（填“＜”、“＝”或“＞”）．
【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：＝×（12+12+13+14+14）＝13，
＝×（11+12+13+14+15）＝13，
s甲2＝×[（12﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）2]＝0.8，
s乙2＝×[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，
∵0.8＜2，
∴s甲2＜s乙2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
14．（3分）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 菱形 ．
【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．
【解答】解：如图，AC＝BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线
根据三角形的中位线的性质知，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，
∵AC＝BD
∴EF＝FG＝HG＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为菱形．
【点评】本题利用了：1、三角形中位线的性质；2、四边相等的四边形是菱形．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 ．
【分析】设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥x轴于B，根据三角形面积求出A点的坐标即可得出k的值．
【解答】解：设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B，
∵16个边长为1的正方形面积为16，
∴△AOB的面积为8﹣4+1＝5，
∵OB＝4，
∴AB＝5×2÷4＝，
∴A（，4），
即4＝k，
解得k＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形的面积，一次函数的性质等知识，利用三角形的面积求出A点坐标是解题的关键．
16．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线交点，M是OD中点，E、F为对角线AC上的两动点，连接ME、BF，若AB＝4，EF＝，∠ADC＝120°，则ME+BF的最小值为 2 ．
【分析】取CD中点N，连接MN、BN，证明四边形NMEF是平行四边形，所以NF＝EM，因此ME+BF＝NF+BF≥NB，即ME+BF的最小值为NB．
【解答】解：取CD中点N，连接MN、BN.
∵AB＝4，∠ADC＝120°，
∴AC＝4，
∵点O是菱形ABCD对角线交点，
∴OC＝2，
∵M是OD中点，N是CD中点，
∴MN＝OC＝，MN∥OC，
∵EF＝＝MN，
∴四边形NMEF是平行四边形，
∴NF＝EM，
∴ME+BF＝NF+BF≥NB，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ODC＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BN⊥CD，BD＝BC＝CD＝4，
∴∠DBN＝30°，
∴DN＝＝2，
∴BN＝2，
即ME+BF的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练运用菱形的性质是解题的关键．
三、解答题（9小题，共72分）
17．（4分）计算：﹣15+|3﹣|﹣（）﹣1+（）0．
【分析】利用乘方运算法则、绝对值定义、负整数指数幂运算法则，零指数幂运算法则计算即可．
【解答】解：﹣15+|3﹣|﹣（）﹣1+（）0
＝﹣1+﹣3﹣3+1
＝3﹣6．
【点评】本题考查了实数的运算，做题关键是掌握乘方运算法则、绝对值定义、负整数指数幂运算法则，零指数幂运算法则．
18．（4分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，点E在AD上，且DE＝DC．求证：△BDE≌△ADC．
【分析】由AD⊥BC可得∠ADB＝∠ADC＝90°，又∠ABC＝45°易得∠ABC＝∠BAD，可得AD＝BD，由SAS定理可得△BDE≌△ADC．
【解答】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝∠BAD，
∴AD＝BD，
在△BDE和△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．
19．（6分）如图，边长为单位1的小正方形构成的网格图，△ABC各顶点都在格点上，直线a经过格点．
（1）在网格图中画出△ABC关于直线a对称的△A′B′C′，点A、点B、点C的对称点分别为点A′、点B′、点C′；
（2）在网格图中建立平面直角坐标系，要求点A（0，1），B（2，4），然后写出△A′B′C′各顶点的坐标：A′（ 1 ， 0 ），B′（ 4 ， 2 ），C′（ 6 ， 0 ）．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据点的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）建立平面直角坐标系如图所示．
由图可得，点A'（1，0），B'（4，2），C'（6，0）．
故答案为：1；0；4；2；6；0．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（6分）某学校在今年母亲节期间开展了“孝顺父母，从家务做起”活动，活动结束后随机调查了八年级部分学生一周在家做家务的时间，并将结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生总数为 50 人，被调查学生做家务时间的中位数是 4 小时，众数是 5 小时；
（2）请补全条形统计图；
（3）若全校八年级共有学生1200人，估计八年级一周在家做家务的时间为5小时的学生有多少人？
【分析】（1）根据统计图可知，做家务达3小时的共10人，占总人数的20%，由此可得出总人数；求出做家务时间4小时与6小时男生的人数，再根据中位数与众数的定义即可得出结论；根据所求结果补全条形统计图即可；
（2）求出做家务时间为4、6小时的人数；
（3）求出总人数与做家务时间为5小时的学生人数的百分比的积即可．
【解答】解：（1）∵本次调查的学生总数为（6+4）÷20%＝50（人），
∵做家务4小时的人数是32%，
∴50×32%＝16（人），
∴男生人数为16﹣8＝8（人）；
∴做家务6小时的人数为50﹣6﹣4﹣8﹣8﹣8﹣12﹣3＝1（人），
∴做家务3小时的是10人，4小时的是16人，5小时的是20人，6小时的是4人，
∴中位数是4小时，众数是5小时．
故答案为：50，4，5；
（2）补全图形如图所示．
（3）1200×＝480（人），
答：估计八年级一周在家做家务的时间为5小时的学生有480人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABE＝∠ADF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）连接AC，
四边形AECF是菱形．
理由：∵正方形ABCD，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，
∴OB+BE＝OD+DF，
即OE＝OF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，已知点A（﹣3，0），直线l1：y1＝﹣x+3与x轴交于点B，点C（﹣1，m）在直线l1上．
（1）直线AC的解析式为y2＝kx+b，求出k、b的值；
（2）根据（1）的图象在横线上填写自变量在第二象限内的取值范围：当 ﹣3＜x＜﹣1 时，y1＞y2，当 x＝﹣1 时，y1＝y2，当 ﹣1＜x＜0 时，y1＜y2；
（3）点M在直线l1上，MN∥x轴，交直线AC于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【分析】（1）求出C点坐标，由待定系数法可求出答案；
（2）由图象可得出答案；
（3）设点M（m，﹣m+3），得出N（，﹣m+3），可表示出MN的长度，根据MN＝AB，列出关于m的方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点C（﹣1，m）在直线l1上，
∴1+3＝m，
∴m＝4，
∴C（﹣1，4），
∵A（﹣3，0），
∴，
解得，
即k＝2，b＝6；
（2）∵C（﹣1，4），
∴当﹣3＜x＜﹣1时，y1＞y2，
当x＝﹣1时，y1＝y2，
当﹣1＜x＜0时，y1＜y2；
故答案为：﹣3＜x＜﹣1，x＝﹣1，﹣1＜x＜0；
（3）由（1）可知直线AC的解析式为y＝2x+6，
设点M（m，﹣m+3），
∵MN∥x轴，交直线l2于点N，
∴点N坐标为（，﹣m+3），
∴MN＝|m﹣|＝||，
∵MN＝AB，
∴||＝，
解得m＝1或m＝﹣3，
∴点M坐标为（1，2）或（﹣3，6）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数交点问题，待定系数法求解析式，掌握用坐标表示线段长度的方法是解题的关键．
23．（10分）甲乙两队规划了一条南北向徒步训练路线，甲队自南向北行进，乙队反之，他们分别以不同的速度匀速前进，因装备问题，乙队推迟了10分钟出发．两队相遇、交换信息、休整了十分钟，之后继续按照原方向、各自原速度行进，都到达终点时停止计时，在整个过程中，甲、乙两队的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示．
（1）徒步训练路线的长度是 5700 米，乙的速度是 60 米/分；
（2）乙到达终点后，甲还需 分钟到达终点B地；
（3）直接写出整个过程中y与x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围．
【分析】（1）由图象直接可得路线的长度，求出甲的速度及二人速度和，即可得乙的速度；
（2）算出甲，乙行完全程所需时间，即可得答案；
（3）分5段，分别求出函数关系式即可．
【解答】解：（1）从图象可得，徒步训练路线的长度是5700米；
甲的速度为：＝45（米/分），
则乙的速度为：﹣45＝60（米/分），
故答案为：5700，60；
（2）甲行完全程所需时间为＝（分钟），
乙行完全程所需时间为＝95（分钟），
而乙比甲晚出发10分钟，
∴乙到达终点后，甲还需﹣10﹣95＝（分钟），
故答案为：；
（3）当0≤x≤10时，y＝5700﹣45x；
当10＜x≤60时，y＝5250﹣（60+45）（x﹣10）＝﹣105x+6300；
当60＜x≤70时，y＝0；
当70＜x≤115时．y＝（45+60）（x﹣70）＝105x﹣7350；
当115＜x≤时，y＝（45+60）×（115﹣70）+45（x﹣115）＝45x﹣450，
∴y＝．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象获取有用的信息．
24．（12分）如图1，已知A（﹣6，0），B（0，8），∠BAO的角平分线交y轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）在角平分线AC上是否存在两点M、N，使得∠MBN＝90°且BM＝BN，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P在x轴上，问：在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点C作CH⊥AB于H，设OC＝t，利用面积法构建方程求解即可；
（2）设线AC的表达式为：y＝kx+b，把A（6，0），C（0，﹣3），代入可得直线AC的表达式为：y＝x+3，设点M（m，m+3）、N（n，n+3），过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NE⊥x轴于点E，利用全等三角形的性质构建方程，求出m，n即可；
（3）分四种情形：以AB为边有3种情形，以AB为对角线一种情形，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣6，0），B（0，8），
∴OA＝6，OB＝8，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
过点C作CH⊥AB于H，设OC＝t，
∵BC平分∠ABO，∠AOB＝90°，
∴CH＝OC＝t，
∵S△ABO＝S△ABC+S△BCO，
∴OA•OB＝AB•CH+OC•OB，
∴6×8＝10t+6t，
∴t＝3，
∴OC＝3，
∴C（0，3）；
（2）设线AC的表达式为：y＝kx+b，
∵A（6，0），C（0，﹣3），
∴直线AC的表达式为：y＝x+3，
设点M（m，m+3）、N（n，n+3），
过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NE⊥x轴于点E，
∵△BMN为等腰直角三角形，故BM＝BN，
∵∠NBE+∠MBF＝90°，∠MBF+∠BMF＝90°，
∴∠NBE＝∠BMF，
∵∠BFM＝∠NEB＝90°，BM＝BN，
∴△FMB≌△EBN（AAS），
∴EN＝BF，MF＝BE，
即n＝8﹣m﹣3，﹣m＝8﹣n﹣3，
解得：m＝﹣2，n＝6，
故点M的坐标为（﹣2，2）、点N（6，6）；
由于M，N的位置可能互换，故点N的坐标为（﹣2，2）、点M（6，6）；
综上所述，点M的坐标为（﹣2，2）或（6，6）；
（3）当AB＝AP时，P1（4，0），P2（﹣16，0）
可得Q1（10，8），Q2（﹣10，8），
当BA＝BP时，P4（6，0），可得Q4（0，﹣8）
当AB是对角线时，AP＝BP，
∴BP2＝AP2，
设P（p，0）
∴（p+6）2＝82+p2，解得p＝，
∴P（0，），
∵A（﹣6，0），B（0，8），
∴Q（﹣，8）；
综上所述，点Q的坐标为（10，8）或（﹣10，8）或（0，﹣8）或（﹣，8）．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质等知识，熟练掌握一次函数的性质及菱形的性质是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
25．（12分）已知△ABC，
（1）如图1，若△ABC为等边三角形，以AB、BC、CA为底边，向△ABC外侧方向分别作顶角为120°的等腰三角形：△ABD、△BCE、△CAF，连接DE、EF、FD，求证：△DEF是等边三角形；
（2）如图2，若将（1）中“△ABC为等边三角形”改为“△ABC为直角三角形”，其它条件不变，则（1）的结论：“△DEF是等边三角形”是否仍然成立，并说明理由；
（3）若△ABC为直角三角形，以AB、BC、CA为底边，向△ABC内侧方向分别作顶角为120°的等腰三角形；△ABD、△BCE、△CAF，连接DE、EF、FD，画出图形，并说明结论：“△DEF是等边三角形”是否成立．
【分析】（1）由全等三角形的性质可得BE＝BD＝EC＝AD＝AF＝CF，由“SAS”可证△DAF≌△EBD，可得DE＝DF，可得结论；
（2）由“SAS”可证△DEB≌△DHA，△ECF≌△HAF，可得DE＝DH，∠BDE＝∠ADH，EF＝FH，∠EFC＝∠AFH，由“SSS”可证△DEF≌△DHF（SSS），可得∠EDF＝∠HDF＝60°，∠EFD＝∠HFD＝60°，可得结论；
（3）由“SAS”可证△DEB≌△DHA，△ECF≌△HAF，可得DE＝DH，∠BDE＝∠ADH，EF＝FH，∠EFC＝∠AFH，由“SSS”可证△DEF≌△DHF（SSS），可得∠EDF＝∠HDF＝60°，∠EFD＝∠HFD＝60°，可得结论．
【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCE、△CAF都是顶角为120°的等腰三角形，
∴AD＝BD，BE＝EC，AF＝CF，∠ADB＝∠BEC＝∠ACF＝120°，
∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABD＝∠BAD＝30°＝∠FAC＝∠FCA，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴△ADB≌△CEB（ASA）
∴BE＝BD，EC＝AD，
∴BE＝BD＝EC＝AD，
同理可证：AF＝CF＝AD＝BD，
∵∠EBD＝∠EBC+∠ABC+∠ABD＝120°，∠DAF＝∠DAB+∠FAC+∠BAC＝120°，
∴∠EBD＝∠DAF，
又∵BE＝AD，BD＝AF，
∴△DAF≌△EBD（SAS），
∴DE＝DF，
同理可证：EF＝DF，
∴DE＝DF＝EF，
∴△DEF是等边三角形；
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
如图2，在CA的延长线上截取AH＝BE，连接DH，FH，
∵△ABD、△BCE、△CAF都是顶角为120°的等腰三角形，
∴AD＝BD，BE＝EC，AF＝CF，∠ADB＝∠BEC＝∠ACF＝120°，
∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABD＝∠BAD＝30°＝∠FAC＝∠FCA，
∵∠DAC+∠ACB+∠ECB+∠BEC+∠DBE+∠ADB＝540°，
∴∠DBE+∠DAC＝180°，
∵∠DAH+∠DAC＝180°，
∴∠DBE＝∠DAH，
又∵AD＝DE，BE＝AH，
∴△DEB≌△DHA（SAS），
∴DE＝DH，∠BDE＝∠ADH，
∴∠EDH＝∠EDA+∠ADH＝∠EDA+∠BDE＝120°，
∵∠ECF＝∠ACB+∠BCE+∠ACF＝150°，∠FAH＝180°﹣∠CAF＝150°，
∴∠ECF＝∠HAF，
又∵AF＝CF，AH＝BE＝CE，
∴△ECF≌△HAF（SAS），
∴EF＝FH，∠EFC＝∠AFH，
∴∠EFH＝∠EFA+∠AFH＝∠EFA+∠EFC＝120°，
∵EF＝FH，DE＝DH，DF＝DF，
∴△DEF≌△DHF（SSS），
∴∠EDF＝∠HDF＝60°，∠EFD＝∠HFD＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
（3）解：结论仍然成立，理由如下：
如图，在AC上截取AH＝BE，连接DH，FH，
∵△ABD、△BCE、△CAF都是顶角为120°的等腰三角形，
∴AD＝BD，BE＝EC，AF＝CF，∠ADB＝∠BEC＝∠ACF＝120°，
∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABD＝∠BAD＝30°＝∠FAC＝∠FCA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠CBD+∠CAD＝30°，
∵∠CBD+∠DBE＝30°，
∴∠CAD＝∠DBE，
又∵BD＝AD，BE＝AH，
∴△BDE≌△ADH（SAS），
∴∠ADH＝∠BDE，DH＝DE，
∴∠EDH＝∠BDA＝120°，
∵∠ECF＝90°﹣∠BCE﹣∠FCA＝30°＝∠CAF，AF＝CF，CE＝BE＝AH，
∴△ECF≌△HAF（SAS），
∴EF＝FH，∠AFH＝∠EFC，
∴∠EFH＝∠AFC＝120°，
∵EF＝FH，DE＝DH，DF＝DF，
∴△DEF≌△DHF（SSS），
∴∠EDF＝∠HDF＝60°，∠EFD＝∠HFD＝60°，
∴△EDF是等边三角形．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2022-2023学年广东省广州二中九年级（上）开学数学试卷
(附答案与解析)
一.选择题（每小题3分，10小题，共30分）
1．（3分）下列立体图形的表面展开图中，可以是轴对称图形，也可以是中心对称图形的是（ ）
A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．圆台
2．（3分）下列事件调查：
①某品牌轮胎的使用寿命；
②高铁站检查入站成年人乘客的健康码；
③审核稿件中的错别字；
④估计鱼塘中养鱼的数量．
适合用抽样调查的事件有（ ）
A．一件 B．两件 C．三件 D．四件
3．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．春雨绵绵 B．春光明媚 C．春去夏来 D．春耕秋收
5．（3分）根据分数的基本性质，分式可以整理为（ ）
A． B． C．﹣1 D．
6．（3分）下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前10天完成任务，设原计划每天植树x万棵，则列方程为（ ）
A．﹣＝10 B．﹣＝10
C．﹣＝10 D．﹣＝10
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝x+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，延长DC到点F（0＜CF＜4），在线段CB上截取点P，使得CP＝CF，连接BF、DP，再将△DCP沿直线DP折叠得到△DEP．下列结论：
①若延长DP，则DP⊥FB；
②若连接CE，则CE∥FB；
③连接PF，当E、P、F三点共线时，CF＝4﹣4；
④连接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，则CF＝4﹣4；
其中正确有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题3分，6小题，共18分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：a2﹣3a＝ ．
13．（3分）有甲、乙两组数据，如表所示：
甲
12
12
13
14
14
乙
11
12
13
14
15
两组数据的方差分别是S甲2、S乙2，则S甲2 S乙2（填“＜”、“＝”或“＞”）．
14．（3分）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 ．
16．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线交点，M是OD中点，E、F为对角线AC上的两动点，连接ME、BF，若AB＝4，EF＝，∠ADC＝120°，则ME+BF的最小值为 ．
三、解答题（9小题，共72分）
17．（4分）计算：﹣15+|3﹣|﹣（）﹣1+（）0．
18．（4分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，点E在AD上，且DE＝DC．求证：△BDE≌△ADC．
19．（6分）如图，边长为单位1的小正方形构成的网格图，△ABC各顶点都在格点上，直线a经过格点．
（1）在网格图中画出△ABC关于直线a对称的△A′B′C′，点A、点B、点C的对称点分别为点A′、点B′、点C′；
（2）在网格图中建立平面直角坐标系，要求点A（0，1），B（2，4），然后写出△A′B′C′各顶点的坐标：A′（ ， ），B′（ ， ），C′（ ， ）．
20．（6分）某学校在今年母亲节期间开展了“孝顺父母，从家务做起”活动，活动结束后随机调查了八年级部分学生一周在家做家务的时间，并将结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生总数为 人，被调查学生做家务时间的中位数是 小时，众数是 小时；
（2）请补全条形统计图；
（3）若全校八年级共有学生1200人，估计八年级一周在家做家务的时间为5小时的学生有多少人？
21．（8分）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
22．（10分）如图，已知点A（﹣3，0），直线l1：y1＝﹣x+3与x轴交于点B，点C（﹣1，m）在直线l1上．
（1）直线AC的解析式为y2＝kx+b，求出k、b的值；
（2）根据（1）的图象在横线上填写自变量在第二象限内的取值范围：当 时，y1＞y2，当 时，y1＝y2，当 时，y1＜y2；
（3）点M在直线l1上，MN∥x轴，交直线AC于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
23．（10分）甲乙两队规划了一条南北向徒步训练路线，甲队自南向北行进，乙队反之，他们分别以不同的速度匀速前进，因装备问题，乙队推迟了10分钟出发．两队相遇、交换信息、休整了十分钟，之后继续按照原方向、各自原速度行进，都到达终点时停止计时，在整个过程中，甲、乙两队的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示．
（1）徒步训练路线的长度是 米，乙的速度是 米/分；
（2）乙到达终点后，甲还需 分钟到达终点B地；
（3）直接写出整个过程中y与x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围．
24．（12分）如图1，已知A（﹣6，0），B（0，8），∠BAO的角平分线交y轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）在角平分线AC上是否存在两点M、N，使得∠MBN＝90°且BM＝BN，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P在x轴上，问：在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）已知△ABC，
（1）如图1，若△ABC为等边三角形，以AB、BC、CA为底边，向△ABC外侧方向分别作顶角为120°的等腰三角形：△ABD、△BCE、△CAF，连接DE、EF、FD，求证：△DEF是等边三角形；
（2）如图2，若将（1）中“△ABC为等边三角形”改为“△ABC为直角三角形”，其它条件不变，则（1）的结论：“△DEF是等边三角形”是否仍然成立，并说明理由；
（3）若△ABC为直角三角形，以AB、BC、CA为底边，向△ABC内侧方向分别作顶角为120°的等腰三角形；△ABD、△BCE、△CAF，连接DE、EF、FD，画出图形，并说明结论：“△DEF是等边三角形”是否成立．
2022-2023学年广东省广州二中九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，10小题，共30分）
1．（3分）下列立体图形的表面展开图中，可以是轴对称图形，也可以是中心对称图形的是（ ）
A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．圆台
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．正方体的表面展开图可能是轴对称图形或中心对称图形，故本选项不合题意；
B．圆锥的表面展开图可能是轴对称图形，不可能是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．圆柱的表面展开图可以是轴对称图形，也可以是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．圆台的表面展开图可能是轴对称图形，不可能是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列事件调查：
①某品牌轮胎的使用寿命；
②高铁站检查入站成年人乘客的健康码；
③审核稿件中的错别字；
④估计鱼塘中养鱼的数量．
适合用抽样调查的事件有（ ）
A．一件 B．两件 C．三件 D．四件
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，即可解答．
【解答】解：①某品牌轮胎的使用寿命，适合用抽样调查，
②高铁站检查入站成年人乘客的健康码，适合用普查，
③审核稿件中的错别字，适合用普查，
④估计鱼塘中养鱼的数量，适合用抽样调查，
所以，上列事件调查，适合用抽样调查的事件有两件，
故选：B．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
3．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式，不符合题意；
B、的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、＝4不是最简二次根式，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
4．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．春雨绵绵 B．春光明媚 C．春去夏来 D．春耕秋收
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【解答】解：A、春雨绵绵，是随机事件，故A不符合题意；
B、春光明媚，是随机事件，故B不符合题意；
C、春去夏来，是必然事件，故C符合题意；
D、春耕秋收，是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
5．（3分）根据分数的基本性质，分式可以整理为（ ）
A． B． C．﹣1 D．
【分析】根据分式的基本性质是解决本题的关键．
【解答】解：＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
6．（3分）下列各图中，当a∥b时，符合∠1＝∠2+∠3关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线的性质，以及猪脚模型，铅笔模型，进行计算即可解答．
【解答】解：A、如图：
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠1+∠3，
∵a∥b，
∴∠ACD＝∠2，
∴∠2＝∠1+∠3，
故A不符合题意；
B、如图：延长AD交BF于点C，
∵a∥b，
∴∠1＝∠ACF，
∵∠ACF＝∠3+∠2，
∴∠1＝∠3+∠2，
故B符合题意；
C、如图：过点A作AB∥a，
∴∠2+∠CAB＝180°，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠1+∠BAD＝180°，
∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°，
故C不符合题意；
D、如图：延长DA交直线b于点C，
∵a∥b，
∴∠2＝∠DCB，
∵∠3＝∠1+∠DCB，
∴∠3＝∠1+∠2，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
解①得x＜2，
解②得x≥﹣3，
利用数轴表示为：
．
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
8．（3分）某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前10天完成任务，设原计划每天植树x万棵，则列方程为（ ）
A．﹣＝10 B．﹣＝10
C．﹣＝10 D．﹣＝10
【分析】根据“提前10天完成任务”即可列出方程．
【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，
∵提前10天完成任务，
∴﹣＝10，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属于基础题型．
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝x+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据正比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：A、由函数y＝kx的图象，得k＜0，由y＝x+k的图象，得k＜0，故符合题意；
B、由函数y＝kx的图象，得k＜0，由y＝x+k的图象，得k＞0，k值相矛盾，故不符合题意；
C、由函数y＝kx的图象，得k＞0，由y＝x+k的图象不正确，故不符合题意；
D、由函数y＝kx的图象，得k＞0，由y＝x+k的图象不正确，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象，要掌握一次函数的性质才能灵活解题．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，延长DC到点F（0＜CF＜4），在线段CB上截取点P，使得CP＝CF，连接BF、DP，再将△DCP沿直线DP折叠得到△DEP．下列结论：
①若延长DP，则DP⊥FB；
②若连接CE，则CE∥FB；
③连接PF，当E、P、F三点共线时，CF＝4﹣4；
④连接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，则CF＝4﹣4；
其中正确有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①②正确．利用全等三角形的性质，轴对称的性质判断即可；
③错误．如图2中，当E，P，F共线时，∠DPC＝∠DPE＝67.5°．在CD上取一点J，使得CJ＝CP，则∠CJP＝∠CPJ＝45°，推出∠JDP＝∠JDP＝22.5°，推出DJ＝JP，设CJ＝CP＝x，则DJ＝JP＝x，构建方程求出x，即可判断；
④错误．利用③中CF的值，推出△AEF不是等腰三角形，可得结论．
【解答】解：①如图1中，延长DP交BF于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCP＝∠BCF＝90°，
在△DCP和△BCF中，
，
∴△DCP≌△BCF（SAS），
∴∠CDP＝∠CBF，
∵∠CPD＝∠BPH，
∴∠DCP＝∠BHP＝90°，
∴DP⊥BF，故①正确．
②∵C，E关于DP对称，
∴DP⊥EC，
∵BF⊥DP，
∴EC∥BF，故②正确．
③如图2中，当E，P，F共线时，∠DPC＝∠DPE＝67.5°．
在CD上取一点J，使得CJ＝CP，则∠CJP＝∠CPJ＝45°，
∴∠JDP＝∠JDP＝22.5°，
∴DJ＝JP，
设CJ＝CP＝x，则DJ＝JP＝x，
∴x+x＝4，
∴x＝4﹣4，
∴CF＝4﹣4，故③错误，
④如图3中，连接CE，BD．
由③可知，当CF＝4﹣4时，∠CDP＝∠EDP＝22.5°，
∴∠CDE＝45°，
∴点E在DB上，
∵A，C关于BD对称，
∴EA＝EC，
∵∠ECF＞∠EFC，
∴EF＞EC，
∴EF＞EA，
∴此时△AEF不是等腰三角形，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每小题3分，6小题，共18分）
11．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：代数式有意义，则x﹣2≥0且x+1≠0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
12．（3分）分解因式：a2﹣3a＝ a（a﹣3） ．
【分析】直接提取公因式a即可．
【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．
【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．
13．（3分）有甲、乙两组数据，如表所示：
甲
12
12
13
14
14
乙
11
12
13
14
15
两组数据的方差分别是S甲2、S乙2，则S甲2 ＜ S乙2（填“＜”、“＝”或“＞”）．
【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：＝×（12+12+13+14+14）＝13，
＝×（11+12+13+14+15）＝13，
s甲2＝×[（12﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）2]＝0.8，
s乙2＝×[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，
∵0.8＜2，
∴s甲2＜s乙2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
14．（3分）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 菱形 ．
【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．
【解答】解：如图，AC＝BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线
根据三角形的中位线的性质知，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，
∵AC＝BD
∴EF＝FG＝HG＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为菱形．
【点评】本题利用了：1、三角形中位线的性质；2、四边相等的四边形是菱形．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是 ．
【分析】设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥x轴于B，根据三角形面积求出A点的坐标即可得出k的值．
【解答】解：设直线l：y＝kx与正方形的上边缘交点为A，作AB⊥y轴于B，
∵16个边长为1的正方形面积为16，
∴△AOB的面积为8﹣4+1＝5，
∵OB＝4，
∴AB＝5×2÷4＝，
∴A（，4），
即4＝k，
解得k＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形的面积，一次函数的性质等知识，利用三角形的面积求出A点坐标是解题的关键．
16．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线交点，M是OD中点，E、F为对角线AC上的两动点，连接ME、BF，若AB＝4，EF＝，∠ADC＝120°，则ME+BF的最小值为 2 ．
【分析】取CD中点N，连接MN、BN，证明四边形NMEF是平行四边形，所以NF＝EM，因此ME+BF＝NF+BF≥NB，即ME+BF的最小值为NB．
【解答】解：取CD中点N，连接MN、BN.
∵AB＝4，∠ADC＝120°，
∴AC＝4，
∵点O是菱形ABCD对角线交点，
∴OC＝2，
∵M是OD中点，N是CD中点，
∴MN＝OC＝，MN∥OC，
∵EF＝＝MN，
∴四边形NMEF是平行四边形，
∴NF＝EM，
∴ME+BF＝NF+BF≥NB，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ODC＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BN⊥CD，BD＝BC＝CD＝4，
∴∠DBN＝30°，
∴DN＝＝2，
∴BN＝2，
即ME+BF的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，熟练运用菱形的性质是解题的关键．
三、解答题（9小题，共72分）
17．（4分）计算：﹣15+|3﹣|﹣（）﹣1+（）0．
【分析】利用乘方运算法则、绝对值定义、负整数指数幂运算法则，零指数幂运算法则计算即可．
【解答】解：﹣15+|3﹣|﹣（）﹣1+（）0
＝﹣1+﹣3﹣3+1
＝3﹣6．
【点评】本题考查了实数的运算，做题关键是掌握乘方运算法则、绝对值定义、负整数指数幂运算法则，零指数幂运算法则．
18．（4分）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，点E在AD上，且DE＝DC．求证：△BDE≌△ADC．
【分析】由AD⊥BC可得∠ADB＝∠ADC＝90°，又∠ABC＝45°易得∠ABC＝∠BAD，可得AD＝BD，由SAS定理可得△BDE≌△ADC．
【解答】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠ABC＝∠BAD，
∴AD＝BD，
在△BDE和△ADC中，
，
∴△BDE≌△ADC（SAS）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．
19．（6分）如图，边长为单位1的小正方形构成的网格图，△ABC各顶点都在格点上，直线a经过格点．
（1）在网格图中画出△ABC关于直线a对称的△A′B′C′，点A、点B、点C的对称点分别为点A′、点B′、点C′；
（2）在网格图中建立平面直角坐标系，要求点A（0，1），B（2，4），然后写出△A′B′C′各顶点的坐标：A′（ 1 ， 0 ），B′（ 4 ， 2 ），C′（ 6 ， 0 ）．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据点的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
（2）建立平面直角坐标系如图所示．
由图可得，点A'（1，0），B'（4，2），C'（6，0）．
故答案为：1；0；4；2；6；0．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（6分）某学校在今年母亲节期间开展了“孝顺父母，从家务做起”活动，活动结束后随机调查了八年级部分学生一周在家做家务的时间，并将结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生总数为 50 人，被调查学生做家务时间的中位数是 4 小时，众数是 5 小时；
（2）请补全条形统计图；
（3）若全校八年级共有学生1200人，估计八年级一周在家做家务的时间为5小时的学生有多少人？
【分析】（1）根据统计图可知，做家务达3小时的共10人，占总人数的20%，由此可得出总人数；求出做家务时间4小时与6小时男生的人数，再根据中位数与众数的定义即可得出结论；根据所求结果补全条形统计图即可；
（2）求出做家务时间为4、6小时的人数；
（3）求出总人数与做家务时间为5小时的学生人数的百分比的积即可．
【解答】解：（1）∵本次调查的学生总数为（6+4）÷20%＝50（人），
∵做家务4小时的人数是32%，
∴50×32%＝16（人），
∴男生人数为16﹣8＝8（人）；
∴做家务6小时的人数为50﹣6﹣4﹣8﹣8﹣8﹣12﹣3＝1（人），
∴做家务3小时的是10人，4小时的是16人，5小时的是20人，6小时的是4人，
∴中位数是4小时，众数是5小时．
故答案为：50，4，5；
（2）补全图形如图所示．
（3）1200×＝480（人），
答：估计八年级一周在家做家务的时间为5小时的学生有480人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABE＝∠ADF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）连接AC，
四边形AECF是菱形．
理由：∵正方形ABCD，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，
∴OB+BE＝OD+DF，
即OE＝OF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，已知点A（﹣3，0），直线l1：y1＝﹣x+3与x轴交于点B，点C（﹣1，m）在直线l1上．
（1）直线AC的解析式为y2＝kx+b，求出k、b的值；
（2）根据（1）的图象在横线上填写自变量在第二象限内的取值范围：当 ﹣3＜x＜﹣1 时，y1＞y2，当 x＝﹣1 时，y1＝y2，当 ﹣1＜x＜0 时，y1＜y2；
（3）点M在直线l1上，MN∥x轴，交直线AC于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【分析】（1）求出C点坐标，由待定系数法可求出答案；
（2）由图象可得出答案；
（3）设点M（m，﹣m+3），得出N（，﹣m+3），可表示出MN的长度，根据MN＝AB，列出关于m的方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点C（﹣1，m）在直线l1上，
∴1+3＝m，
∴m＝4，
∴C（﹣1，4），
∵A（﹣3，0），
∴，
解得，
即k＝2，b＝6；
（2）∵C（﹣1，4），
∴当﹣3＜x＜﹣1时，y1＞y2，
当x＝﹣1时，y1＝y2，
当﹣1＜x＜0时，y1＜y2；
故答案为：﹣3＜x＜﹣1，x＝﹣1，﹣1＜x＜0；
（3）由（1）可知直线AC的解析式为y＝2x+6，
设点M（m，﹣m+3），
∵MN∥x轴，交直线l2于点N，
∴点N坐标为（，﹣m+3），
∴MN＝|m﹣|＝||，
∵MN＝AB，
∴||＝，
解得m＝1或m＝﹣3，
∴点M坐标为（1，2）或（﹣3，6）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数交点问题，待定系数法求解析式，掌握用坐标表示线段长度的方法是解题的关键．
23．（10分）甲乙两队规划了一条南北向徒步训练路线，甲队自南向北行进，乙队反之，他们分别以不同的速度匀速前进，因装备问题，乙队推迟了10分钟出发．两队相遇、交换信息、休整了十分钟，之后继续按照原方向、各自原速度行进，都到达终点时停止计时，在整个过程中，甲、乙两队的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示．
（1）徒步训练路线的长度是 5700 米，乙的速度是 60 米/分；
（2）乙到达终点后，甲还需 分钟到达终点B地；
（3）直接写出整个过程中y与x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围．
【分析】（1）由图象直接可得路线的长度，求出甲的速度及二人速度和，即可得乙的速度；
（2）算出甲，乙行完全程所需时间，即可得答案；
（3）分5段，分别求出函数关系式即可．
【解答】解：（1）从图象可得，徒步训练路线的长度是5700米；
甲的速度为：＝45（米/分），
则乙的速度为：﹣45＝60（米/分），
故答案为：5700，60；
（2）甲行完全程所需时间为＝（分钟），
乙行完全程所需时间为＝95（分钟），
而乙比甲晚出发10分钟，
∴乙到达终点后，甲还需﹣10﹣95＝（分钟），
故答案为：；
（3）当0≤x≤10时，y＝5700﹣45x；
当10＜x≤60时，y＝5250﹣（60+45）（x﹣10）＝﹣105x+6300；
当60＜x≤70时，y＝0；
当70＜x≤115时．y＝（45+60）（x﹣70）＝105x﹣7350；
当115＜x≤时，y＝（45+60）×（115﹣70）+45（x﹣115）＝45x﹣450，
∴y＝．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象获取有用的信息．
24．（12分）如图1，已知A（﹣6，0），B（0，8），∠BAO的角平分线交y轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）在角平分线AC上是否存在两点M、N，使得∠MBN＝90°且BM＝BN，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P在x轴上，问：在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点C作CH⊥AB于H，设OC＝t，利用面积法构建方程求解即可；
（2）设线AC的表达式为：y＝kx+b，把A（6，0），C（0，﹣3），代入可得直线AC的表达式为：y＝x+3，设点M（m，m+3）、N（n，n+3），过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NE⊥x轴于点E，利用全等三角形的性质构建方程，求出m，n即可；
（3）分四种情形：以AB为边有3种情形，以AB为对角线一种情形，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣6，0），B（0，8），
∴OA＝6，OB＝8，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
过点C作CH⊥AB于H，设OC＝t，
∵BC平分∠ABO，∠AOB＝90°，
∴CH＝OC＝t，
∵S△ABO＝S△ABC+S△BCO，
∴OA•OB＝AB•CH+OC•OB，
∴6×8＝10t+6t，
∴t＝3，
∴OC＝3，
∴C（0，3）；
（2）设线AC的表达式为：y＝kx+b，
∵A（6，0），C（0，﹣3），
∴直线AC的表达式为：y＝x+3，
设点M（m，m+3）、N（n，n+3），
过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NE⊥x轴于点E，
∵△BMN为等腰直角三角形，故BM＝BN，
∵∠NBE+∠MBF＝90°，∠MBF+∠BMF＝90°，
∴∠NBE＝∠BMF，
∵∠BFM＝∠NEB＝90°，BM＝BN，
∴△FMB≌△EBN（AAS），
∴EN＝BF，MF＝BE，
即n＝8﹣m﹣3，﹣m＝8﹣n﹣3，
解得：m＝﹣2，n＝6，
故点M的坐标为（﹣2，2）、点N（6，6）；
由于M，N的位置可能互换，故点N的坐标为（﹣2，2）、点M（6，6）；
综上所述，点M的坐标为（﹣2，2）或（6，6）；
（3）当AB＝AP时，P1（4，0），P2（﹣16，0）
可得Q1（10，8），Q2（﹣10，8），
当BA＝BP时，P4（6，0），可得Q4（0，﹣8）
当AB是对角线时，AP＝BP，
∴BP2＝AP2，
设P（p，0）
∴（p+6）2＝82+p2，解得p＝，
∴P（0，），
∵A（﹣6，0），B（0，8），
∴Q（﹣，8）；
综上所述，点Q的坐标为（10，8）或（﹣10，8）或（0，﹣8）或（﹣，8）．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质等知识，熟练掌握一次函数的性质及菱形的性质是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
25．（12分）已知△ABC，
（1）如图1，若△ABC为等边三角形，以AB、BC、CA为底边，向△ABC外侧方向分别作顶角为120°的等腰三角形：△ABD、△BCE、△CAF，连接DE、EF、FD，求证：△DEF是等边三角形；
（2）如图2，若将（1）中“△ABC为等边三角形”改为“△ABC为直角三角形”，其它条件不变，则（1）的结论：“△DEF是等边三角形”是否仍然成立，并说明理由；
（3）若△ABC为直角三角形，以AB、BC、CA为底边，向△ABC内侧方向分别作顶角为120°的等腰三角形；△ABD、△BCE、△CAF，连接DE、EF、FD，画出图形，并说明结论：“△DEF是等边三角形”是否成立．
【分析】（1）由全等三角形的性质可得BE＝BD＝EC＝AD＝AF＝CF，由“SAS”可证△DAF≌△EBD，可得DE＝DF，可得结论；
（2）由“SAS”可证△DEB≌△DHA，△ECF≌△HAF，可得DE＝DH，∠BDE＝∠ADH，EF＝FH，∠EFC＝∠AFH，由“SSS”可证△DEF≌△DHF（SSS），可得∠EDF＝∠HDF＝60°，∠EFD＝∠HFD＝60°，可得结论；
（3）由“SAS”可证△DEB≌△DHA，△ECF≌△HAF，可得DE＝DH，∠BDE＝∠ADH，EF＝FH，∠EFC＝∠AFH，由“SSS”可证△DEF≌△DHF（SSS），可得∠EDF＝∠HDF＝60°，∠EFD＝∠HFD＝60°，可得结论．
【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCE、△CAF都是顶角为120°的等腰三角形，
∴AD＝BD，BE＝EC，AF＝CF，∠ADB＝∠BEC＝∠ACF＝120°，
∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABD＝∠BAD＝30°＝∠FAC＝∠FCA，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴△ADB≌△CEB（ASA）
∴BE＝BD，EC＝AD，
∴BE＝BD＝EC＝AD，
同理可证：AF＝CF＝AD＝BD，
∵∠EBD＝∠EBC+∠ABC+∠ABD＝120°，∠DAF＝∠DAB+∠FAC+∠BAC＝120°，
∴∠EBD＝∠DAF，
又∵BE＝AD，BD＝AF，
∴△DAF≌△EBD（SAS），
∴DE＝DF，
同理可证：EF＝DF，
∴DE＝DF＝EF，
∴△DEF是等边三角形；
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
如图2，在CA的延长线上截取AH＝BE，连接DH，FH，
∵△ABD、△BCE、△CAF都是顶角为120°的等腰三角形，
∴AD＝BD，BE＝EC，AF＝CF，∠ADB＝∠BEC＝∠ACF＝120°，
∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABD＝∠BAD＝30°＝∠FAC＝∠FCA，
∵∠DAC+∠ACB+∠ECB+∠BEC+∠DBE+∠ADB＝540°，
∴∠DBE+∠DAC＝180°，
∵∠DAH+∠DAC＝180°，
∴∠DBE＝∠DAH，
又∵AD＝DE，BE＝AH，
∴△DEB≌△DHA（SAS），
∴DE＝DH，∠BDE＝∠ADH，
∴∠EDH＝∠EDA+∠ADH＝∠EDA+∠BDE＝120°，
∵∠ECF＝∠ACB+∠BCE+∠ACF＝150°，∠FAH＝180°﹣∠CAF＝150°，
∴∠ECF＝∠HAF，
又∵AF＝CF，AH＝BE＝CE，
∴△ECF≌△HAF（SAS），
∴EF＝FH，∠EFC＝∠AFH，
∴∠EFH＝∠EFA+∠AFH＝∠EFA+∠EFC＝120°，
∵EF＝FH，DE＝DH，DF＝DF，
∴△DEF≌△DHF（SSS），
∴∠EDF＝∠HDF＝60°，∠EFD＝∠HFD＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
（3）解：结论仍然成立，理由如下：
如图，在AC上截取AH＝BE，连接DH，FH，
∵△ABD、△BCE、△CAF都是顶角为120°的等腰三角形，
∴AD＝BD，BE＝EC，AF＝CF，∠ADB＝∠BEC＝∠ACF＝120°，
∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABD＝∠BAD＝30°＝∠FAC＝∠FCA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠CBD+∠CAD＝30°，
∵∠CBD+∠DBE＝30°，
∴∠CAD＝∠DBE，
又∵BD＝AD，BE＝AH，
∴△BDE≌△ADH（SAS），
∴∠ADH＝∠BDE，DH＝DE，
∴∠EDH＝∠BDA＝120°，
∵∠ECF＝90°﹣∠BCE﹣∠FCA＝30°＝∠CAF，AF＝CF，CE＝BE＝AH，
∴△ECF≌△HAF（SAS），
∴EF＝FH，∠AFH＝∠EFC，
∴∠EFH＝∠AFC＝120°，
∵EF＝FH，DE＝DH，DF＝DF，
∴△DEF≌△DHF（SSS），
∴∠EDF＝∠HDF＝60°，∠EFD＝∠HFD＝60°，
∴△EDF是等边三角形．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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