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广东省深圳市南山第二外国语学校集团2023-2024学年九年级上学期+开学考数学试卷
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这是一份广东省深圳市南山第二外国语学校集团2023-2024学年九年级上学期+开学考数学试卷，共17页。试卷主要包含了若分式的值为0，则x的值为，矩形不具有的性质是，如图A，B的坐标分别为等内容，欢迎下载使用。
南山第二外国语学校集团2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．－7 B．7 C．7或－7 D．49
3．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8a2b＝2a•4ab B．4my－2y＝2y（2m－1）
C．（m＋2n）（m－2n）＝m2－4n2 D．a2－b2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1
4．已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＋c＜b＋c B．a－3＞b－3
C．am＞bm D．a（c2＋1）＜b（c2＋1）
5．矩形不具有的性质是（ ）
A．四个角都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
6．如图，在▱ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC间的距离为（ ）
A．5 B．10 C． D．26
7．如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠B＝70°，∠ACD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．30°
8．如图A，B的坐标分别为（－2，1），（0，－1）．若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为（a，3），（3，b），则a＋b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造15分钟“文化阅读圈”，推动“书香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．1280＋1280（1＋x）＋1280（1＋x）2＝6080
B．6080（1＋x）＋6080（1－x）2＝1280
C．1280（1＋x）2＝6080
D．6080（1－x）2＝1280
10．菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A．3－ B．2－ C．－1 D．2－2
二．填空题（每题3分，共15分）
11．分解因式：4－4m＋m2＝ ．
12．关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根之和为 ．
13．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，CE是∠ACB的平分线，FG为△ACE的中位线，连DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝ ．
14．已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形CODP的边长及等腰三角形OAB、PEF的腰长都是定值且相等．如图2，载物台EF到水平底座AB的距离h1为60cm，此时∠AOB＝120°；如图3，当∠AOB＝90°时，载物台EF到水平底座AB的距离h2为 cm（结果精确到1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
15．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED＝90°，连接OE，DE＝6，OE＝8，则另一直角边AE的长为 ．
三．解答题（共55分）
16．（8分）（1）解不等式组：；
（2）解方程：x2－4x－7＝0．
17．（5分）先化简，再求值：，然后从－3，0，1，3中选一个合适的数作为x的值代入求值．
18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．
19．（6分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC上的一点，连接AD．
（1）尺规作图：在AD的右侧作等边三角形ADE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，作AC边上的点F，且CF＝BD，连接BF，EF，请在图中找到一个与∠FBD相等的角，即∠FBD＝________．
20．（8分）2023年5月8日是第76个“世界红十字日”，今年的主题是“生命教育，‘救’在身边”．目前，太原市许多公共场所已配置急救设备自动体外除颤器（AED），用来抢救心脏骤停患者．某高校先后两次购置AED设备，第一次总费用为88000元，第二次总费用为120000元．已知第二次比第一次多购置了2台，但每台价格是第一次每台价格的．
（1）该校第一次购置AED设备多少台？
（2）该校计划将所购置的AED设备用壁挂式、立式两种存储柜分散固定在校园内，已知一共需购买两种存储柜10个，其售价分别如图所示．若要使购买存储柜的总费用不超过7000元，最多可购买立式存储柜多少个？
21．（10分）教材再现：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE＋PF的值为 ．
知识应用：
（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM＝13，CN＝5，▱PEQF的周长是否为定值？若是，请求出▱PEQF的周长；若不是，请说明理由．
（3）如图3，当点P是等边△ABC 外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE＋PF－PD＝3，请直接写出△ABC的面积．
22．（10分）【问题提出】
（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离AC＝2，点B到直线l的距离BD＝4，A、B两点的水平距离CD＝8，点P是直线l上的一个动点，则AP＋BP的最小值是 ；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，求GE＋CF的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，某公园有一块形状为四边形ABCD的空地，管理人员规划修两条小路AC和BD（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在AD和BC上分别选取点M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，为了节约成本，要使得线段PM、PN与MN之和最小．
已测出∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，∠CPD＝75°，PC＝50m，PD＝40m，管理人员的想法能否实现，若能，请求出PM＋PN＋MN的最小值，若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A、B、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．－7 B．7 C．7或－7 D．49
【解答】解：分式的值为0，
则49－x2＝0且7－x≠0，
解得：x＝－7．
故选：A．
3．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8a2b＝2a•4ab B．4my－2y＝2y（2m－1）
C．（m＋2n）（m－2n）＝m2－4n2 D．a2－b2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1
【解答】解：A、8a2b＝2a•4ab，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、从左边到右边的变形，是因式分解，故此选项符合题意；
C、（m＋2n）（m－2n）＝m2－4n2，从左边到右边的变形是整式乘法，故此选项不符合题意；
D、a2－b2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1，右边不几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＋c＜b＋c B．a－3＞b－3
C．am＞bm D．a（c2＋1）＜b（c2＋1）
【解答】解：A、∵a＞b，
∴a＋c＞b＋c，
故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴a－3＞b－3，
故B符合题意；
C、∵a＞b，m＞0，
∴am＞bm，
故C不符合题意；
D、∵a＞b，
∴a（c2＋1）＞b（c2＋1），
故D不符合题意；
故选：B．
5．矩形不具有的性质是（ ）
A．四个角都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【解答】解：A、四个角都相等是矩形的基本性质，故A不符合题意；
B、对角线相等是矩形的基本性质，菱形不具有，故B不符合题意；
C、对角线互相垂直是菱形的基本性质，矩形不具有，符合题意；
D、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，菱形和矩形都具有，故D不符合题意．
故选：C．
6．如图，在▱ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC间的距离为（ ）
A．5 B．10 C． D．26
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝13，
在Rt△ADO中，由勾股定理得，
DO＝＝＝5，
∴BD＝2OD＝10，
∴AD与BC间的距离为10，
故选：B．
7．如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠B＝70°，∠ACD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．30°
【解答】解：∵EB＝EC，
∴∠BCE＝∠B＝70°，
∵AB＝BC，∠B＝70°，
∴∠ACB＝∠BAC＝×（180°－70°）＝55°，
∴∠ACD＝∠ECB－∠ACB＝70°－55°＝15°．
故选：B．
8．如图A，B的坐标分别为（－2，1），（0，－1）．若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为（a，3），（3，b），则a＋b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由A（－2，1）的对应点A1的坐标为（a，3）知，线段AB向上平移了2个单位，
由B（0，－1）的对应点B1的坐标为（3，b）知，线段AB向右平移了3个单位，
则a＝－2＋3＝1，b＝－1＋2＝1，
∴a＋b＝1＋1＝2，
故选：B．
9．为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造15分钟“文化阅读圈”，推动“书香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．1280＋1280（1＋x）＋1280（1＋x）2＝6080
B．6080（1＋x）＋6080（1－x）2＝1280
C．1280（1＋x）2＝6080
D．6080（1－x）2＝1280
【解答】解：∵某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，且进馆人次的月平均增长率为x，
∴第二个月进馆1280（1＋x）人次，第二个月进馆1280（1＋x）2人次．
根据题意得：1280＋1280（1＋x）＋1280（1＋x）2＝6080．
故选：A．
10．菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A．3－ B．2－ C．－1 D．2－2
【解答】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，
连接AC，BD相交于点O，BC与C'D'交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴∠CAB＝30°＝∠CAD，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵AB＝2，
∴DO＝1，AO＝DO＝，
∴AC＝2，
∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB'C'D'，
∴∠D'AB＝30°，AD＝AD'＝2，
∴A，D'，C三点共线，
∴CD'＝CA－AD'＝2－2，
又∵∠ACB＝30°，
∴D'E＝－1，
CE＝D'E＝3－，
∵重叠部分的面积＝△ABC的面积－△D'EC的面积，
∴重叠部分的面积＝×＝3－；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积＝3－，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．分解因式：4－4m＋m2＝ （2－m）2 ．
【解答】解：原式＝（2－m）2，
故答案为：（2－m）2．
12．关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根之和为 －2 ．
【解答】解：x2＋2x－1＝0，
x1＋x2＝－＝－＝－2，
故答案为：－2．
13．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，CE是∠ACB的平分线，FG为△ACE的中位线，连DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝ 126° ．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
设∠EBC＝∠ECB＝x，
∴∠AEC＝∠EBC＋∠ECB＝2x，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE＝x，
∵FG是△ACE的中位线，
∴FG∥AC，
∴∠EFG＝∠ACE＝x，
∵D为BC的中点，F为CE的中点，
∴DF∥AB，
∴∠EFD＝∠AEF＝2x，
∵∠DFG＝∠GFE＋∠EFD＝x＋2x＝3x，
∴3x＝108°，
∴x＝36°，
∴∠AED＝∠AEC＋∠CED＝2x＋90°－x＝90°＋x＝90°＋36°＝126°，
故答案为：126°．
14．已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形CODP的边长及等腰三角形OAB、PEF的腰长都是定值且相等．如图2，载物台EF到水平底座AB的距离h1为60cm，此时∠AOB＝120°；如图3，当∠AOB＝90°时，载物台EF到水平底座AB的距离h2为 85 cm（结果精确到1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
【解答】解：连接BD，如图3，
由题意可得，BD＝＝＝30（cm），
∵∠AOB＝120°，
∴∠DAB＝30°，
在Rt△DAB中，
AD＝＝30×2＝60（cm），
连接DF，如图4，
由题意可知，
在Rt△EDF中，
∠DEF＝45°，ED＝AD＝60cm，
∴FD＝ED•sin45°＝60×＝30，
∴h2＝2•FD＝2×≈85（cm）．
故答案为：85．
15．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED＝90°，连接OE，DE＝6，OE＝8，则另一直角边AE的长为 10 ．
【解答】解：过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，
∵∠AED＝90°，∴四边形EMON是矩形，∴∠MON＝90°，即∠MOD＋∠DON＝90°，
∵正方形ABCD的对角线交于点O，
∴∠AOD＝90°，即∠AOM＋∠MOD＝90°，OA＝OD，∴∠AOM＝∠DON，
在△AOM和△DON中，，∴△AOM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，则四边形MONE是正方形，
∵OE＝8，∴EN＝8，∴EM＝EN＝8，
∴AM＝DN＝EN－ED＝8－6＝2，∴AE＝AM＋EM＝2＋8＝10．故答案为：10．
三．解答题（共7小题）
16．（1）解不等式组：；
（2）解方程：x2－4x－7＝0．
【解答】解：（1），
由①得：x＜6，
由②得：x≥0，
∴不等式组的解集为0≤x＜6；
（2）x1＝2＋，x1＝2－．
17．先化简，再求值：
，然后从－3，0，1，3中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【解答】解：原式＝÷＝÷＝•＝，
∵x（x＋3）≠0，x－1≠0，∴x≠0，x≠－3，x≠1，∴x＝3，
∴原式＝＝．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE，
又∵DF∥BE，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DFBE是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BC＝＝＝10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝10，AB∥DC，
∴∠BAF＝∠DFA，
∵AF是∠DAB的平分线，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DF＝DA＝10，
∴DC＝DF＋CF＝10＋6＝16．
19．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC上的一点，连接AD．
（1）尺规作图：在AD的右侧作等边三角形ADE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，作AC边上的点F，且CF＝BD，连接BF，EF，请在图中找到一个与∠FBD相等的角，即∠FBD＝________．
【解答】（1）解：如图，△ADE即为所求．
（2）证明：连接CE．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝60°，
∵CF＝BD，∴CF＝CE，∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE＝BD，∠CFE＝∠ACB＝60°，∴EF∥DB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴∠FBD＝∠FED，
20．2023年5月8日是第76个“世界红十字日”，今年的主题是“生命教育，‘救’在身边”．目前，太原市许多公共场所已配置急救设备自动体外除颤器（AED），用来抢救心脏骤停患者．某高校先后两次购置AED设备，第一次总费用为88000元，第二次总费用为120000元．已知第二次比第一次多购置了2台，但每台价格是第一次每台价格的．
（1）该校第一次购置AED设备多少台？
（2）该校计划将所购置的AED设备用壁挂式、立式两种存储柜分散固定在校园内，已知一共需购买两种存储柜10个，其售价分别如图所示．若要使购买存储柜的总费用不超过7000元，最多可购买立式存储柜多少个？
【解答】解：（1）设该校第一次购置AED设备x台，则该校第二次购置AED设备（x＋2）台，
根据题意得：＝×，解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意．
答：该校第一次购置AED设备4台；
（2）设购买立式存储柜y个，则购买壁挂式存储柜（10－y）个，
根据题意得：500（10－y）＋1200y≤7000，解得：y≤，
又∵y为正整数，∴y的最大值为2．答：最多可购买立式存储柜2个．
21．教材再现：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE＋PF的值为 ．
知识应用：
（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM＝13，CN＝5，▱PEQF的周长是否为定值？若是，请求出▱PEQF的周长；若不是，请说明理由．
（3）如图3，当点P是等边△ABC 外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE＋PF－PD＝3，请直接写出△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图1，设AC与BD的交点为O，连接PO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝3×4＝12，OA＝OC＝OB＝OD，S△ABD＝S△BCD，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，
∴AC＝＝5，S△AOD＝S△ABO＝S△BOC＝S△COD，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝×12＝3，OA＝OD＝AC＝，
∴S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF＝OA（PE＋PF）＝××（PE＋PF）＝3，
解得：PE＋PF＝，故答案为：；
（2）▱PEQF的周长是定值，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DMN＝∠BNM，
连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形，∴MH＝AB，
由折叠的性质得：DM＝BM，∠DMN＝∠BMN，∴∠BNM＝∠BMN，
∴DM＝BM＝BN＝13，∴AD＝BC＝BN＋CN＝13＋5＝18，
∴AM＝AD－DM＝18－13＝5，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB＝＝＝12，∴MH＝12，
∵S△BMN＝S△PBM＋S△PBN，PE⊥BM，PF⊥BN，∴BN•MH＝BM•PE＋BN•PF，
∵BM＝BN，∴PE＋PF＝MH＝12，∴▱PEGF的周长＝2（PE＋PF）＝2×12＝24；
（3）如图3，连接AP，BP，CP，
∵S△ABC＝S△ABP＋S△BCP－S△ACP，∴AB2＝AB•PE＋BC•PF－AC•PD
∴AB＝PE＋PF－PD，
∵PE＋PF－PD＝3，∴AB＝2，∴S△ABC＝AB2＝3．
22．【问题提出】
（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离AC＝2，点B到直线l的距离BD＝4，A、B两点的水平距离CD＝8，点P是直线l上的一个动点，则AP＋BP的最小值是 10 ；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，求GE＋CF的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，某公园有一块形状为四边形ABCD的空地，管理人员规划修两条小路AC和BD（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在AD和BC上分别选取点M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，为了节约成本，要使得线段PM、PN与MN之和最小．
已测出∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，∠CPD＝75°，PC＝50m，PD＝40m，管理人员的想法能否实现，若能，请求出PM＋PN＋MN的最小值，若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于P，则AP＋BP的值最小，且AP＋BP的最小值＝A′B，
过A′作A′E⊥BD于E，则DE＝A′C＝AC＝2，A′E＝CD＝8，
∴BE＝2＋4＝6，∴A′B＝＝10，即AP＋BP的最小值是10；故答案为：10；
（2）如图，作G关于AB的对称点G′，在CD上截取CH＝1，连接EH，G′E，G′H，
则G′E＝GE，
∵CH＝EF＝1，CH∥EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH＝CF，
∴GE＋CF＝G′E＋EH≥G′H，
∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为AD的中点，
∴DG′＝AD＋AG′＝2＋1＝3，DH＝CD－CH＝4－1＝3，
由勾股定理得，∴，
即GE＋CF的最小值为；
（3）管理人员的想法能实现，
理由：作点P关于AD、BC的对称点E、F，连接PE，PF分别交AD、BC于点O、H，
则PE AP⊥AD，PF⊥BC，连接EF，与AD、BC的交点即为点M、N的位置，连接PM，PN，
此时PM＝EM，PN＝FN，EF的长就是PM＋PN＋MN的最小值，
过点E作EG⊥PF交FP的延长线于点G，
∵∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，PE⊥AD，PF⊥BC，∴∠CPH＝45°，∠DPO＝30°．
∵，∴PH＝PCsin∠BCP＝50（m），OD＝PD＝20（m），
∴，∴，
∵∠CPH＝45°，∠CPD＝75°，∠DPO＝30°，
∴∠EPG＝180°－∠CPH－∠CPD－∠DPO＝30°，
∵EG⊥PG，∴，∴，∴GF＝PG＋PF＝160（ m），
在Rt△GEF中，，
∴PM＋PN＋MN的最小值为．
南山第二外国语学校集团2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．－7 B．7 C．7或－7 D．49
3．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8a2b＝2a•4ab B．4my－2y＝2y（2m－1）
C．（m＋2n）（m－2n）＝m2－4n2 D．a2－b2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1
4．已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＋c＜b＋c B．a－3＞b－3
C．am＞bm D．a（c2＋1）＜b（c2＋1）
5．矩形不具有的性质是（ ）
A．四个角都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
6．如图，在▱ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC间的距离为（ ）
A．5 B．10 C． D．26
7．如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠B＝70°，∠ACD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．30°
8．如图A，B的坐标分别为（－2，1），（0，－1）．若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为（a，3），（3，b），则a＋b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造15分钟“文化阅读圈”，推动“书香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．1280＋1280（1＋x）＋1280（1＋x）2＝6080
B．6080（1＋x）＋6080（1－x）2＝1280
C．1280（1＋x）2＝6080
D．6080（1－x）2＝1280
10．菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A．3－ B．2－ C．－1 D．2－2
二．填空题（每题3分，共15分）
11．分解因式：4－4m＋m2＝ ．
12．关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根之和为 ．
13．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，CE是∠ACB的平分线，FG为△ACE的中位线，连DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝ ．
14．已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形CODP的边长及等腰三角形OAB、PEF的腰长都是定值且相等．如图2，载物台EF到水平底座AB的距离h1为60cm，此时∠AOB＝120°；如图3，当∠AOB＝90°时，载物台EF到水平底座AB的距离h2为 cm（结果精确到1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
15．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED＝90°，连接OE，DE＝6，OE＝8，则另一直角边AE的长为 ．
三．解答题（共55分）
16．（8分）（1）解不等式组：；
（2）解方程：x2－4x－7＝0．
17．（5分）先化简，再求值：，然后从－3，0，1，3中选一个合适的数作为x的值代入求值．
18．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．
19．（6分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC上的一点，连接AD．
（1）尺规作图：在AD的右侧作等边三角形ADE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，作AC边上的点F，且CF＝BD，连接BF，EF，请在图中找到一个与∠FBD相等的角，即∠FBD＝________．
20．（8分）2023年5月8日是第76个“世界红十字日”，今年的主题是“生命教育，‘救’在身边”．目前，太原市许多公共场所已配置急救设备自动体外除颤器（AED），用来抢救心脏骤停患者．某高校先后两次购置AED设备，第一次总费用为88000元，第二次总费用为120000元．已知第二次比第一次多购置了2台，但每台价格是第一次每台价格的．
（1）该校第一次购置AED设备多少台？
（2）该校计划将所购置的AED设备用壁挂式、立式两种存储柜分散固定在校园内，已知一共需购买两种存储柜10个，其售价分别如图所示．若要使购买存储柜的总费用不超过7000元，最多可购买立式存储柜多少个？
21．（10分）教材再现：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE＋PF的值为 ．
知识应用：
（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM＝13，CN＝5，▱PEQF的周长是否为定值？若是，请求出▱PEQF的周长；若不是，请说明理由．
（3）如图3，当点P是等边△ABC 外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE＋PF－PD＝3，请直接写出△ABC的面积．
22．（10分）【问题提出】
（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离AC＝2，点B到直线l的距离BD＝4，A、B两点的水平距离CD＝8，点P是直线l上的一个动点，则AP＋BP的最小值是 ；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，求GE＋CF的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，某公园有一块形状为四边形ABCD的空地，管理人员规划修两条小路AC和BD（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在AD和BC上分别选取点M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，为了节约成本，要使得线段PM、PN与MN之和最小．
已测出∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，∠CPD＝75°，PC＝50m，PD＝40m，管理人员的想法能否实现，若能，请求出PM＋PN＋MN的最小值，若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A、B、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．－7 B．7 C．7或－7 D．49
【解答】解：分式的值为0，
则49－x2＝0且7－x≠0，
解得：x＝－7．
故选：A．
3．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8a2b＝2a•4ab B．4my－2y＝2y（2m－1）
C．（m＋2n）（m－2n）＝m2－4n2 D．a2－b2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1
【解答】解：A、8a2b＝2a•4ab，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、从左边到右边的变形，是因式分解，故此选项符合题意；
C、（m＋2n）（m－2n）＝m2－4n2，从左边到右边的变形是整式乘法，故此选项不符合题意；
D、a2－b2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1，右边不几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a＋c＜b＋c B．a－3＞b－3
C．am＞bm D．a（c2＋1）＜b（c2＋1）
【解答】解：A、∵a＞b，
∴a＋c＞b＋c，
故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴a－3＞b－3，
故B符合题意；
C、∵a＞b，m＞0，
∴am＞bm，
故C不符合题意；
D、∵a＞b，
∴a（c2＋1）＞b（c2＋1），
故D不符合题意；
故选：B．
5．矩形不具有的性质是（ ）
A．四个角都相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【解答】解：A、四个角都相等是矩形的基本性质，故A不符合题意；
B、对角线相等是矩形的基本性质，菱形不具有，故B不符合题意；
C、对角线互相垂直是菱形的基本性质，矩形不具有，符合题意；
D、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，菱形和矩形都具有，故D不符合题意．
故选：C．
6．如图，在▱ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC间的距离为（ ）
A．5 B．10 C． D．26
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝13，
在Rt△ADO中，由勾股定理得，
DO＝＝＝5，
∴BD＝2OD＝10，
∴AD与BC间的距离为10，
故选：B．
7．如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠B＝70°，∠ACD的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．30°
【解答】解：∵EB＝EC，
∴∠BCE＝∠B＝70°，
∵AB＝BC，∠B＝70°，
∴∠ACB＝∠BAC＝×（180°－70°）＝55°，
∴∠ACD＝∠ECB－∠ACB＝70°－55°＝15°．
故选：B．
8．如图A，B的坐标分别为（－2，1），（0，－1）．若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为（a，3），（3，b），则a＋b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由A（－2，1）的对应点A1的坐标为（a，3）知，线段AB向上平移了2个单位，
由B（0，－1）的对应点B1的坐标为（3，b）知，线段AB向右平移了3个单位，
则a＝－2＋3＝1，b＝－1＋2＝1，
∴a＋b＝1＋1＝2，
故选：B．
9．为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造15分钟“文化阅读圈”，推动“书香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．1280＋1280（1＋x）＋1280（1＋x）2＝6080
B．6080（1＋x）＋6080（1－x）2＝1280
C．1280（1＋x）2＝6080
D．6080（1－x）2＝1280
【解答】解：∵某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，且进馆人次的月平均增长率为x，
∴第二个月进馆1280（1＋x）人次，第二个月进馆1280（1＋x）2人次．
根据题意得：1280＋1280（1＋x）＋1280（1＋x）2＝6080．
故选：A．
10．菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，将该菱形绕顶点A在平面内旋转30°，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ）
A．3－ B．2－ C．－1 D．2－2
【解答】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°，
连接AC，BD相交于点O，BC与C'D'交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴∠CAB＝30°＝∠CAD，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵AB＝2，
∴DO＝1，AO＝DO＝，
∴AC＝2，
∵菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB'C'D'，
∴∠D'AB＝30°，AD＝AD'＝2，
∴A，D'，C三点共线，
∴CD'＝CA－AD'＝2－2，
又∵∠ACB＝30°，
∴D'E＝－1，
CE＝D'E＝3－，
∵重叠部分的面积＝△ABC的面积－△D'EC的面积，
∴重叠部分的面积＝×＝3－；
②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转30°，同①方法可得重叠部分的面积＝3－，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．分解因式：4－4m＋m2＝ （2－m）2 ．
【解答】解：原式＝（2－m）2，
故答案为：（2－m）2．
12．关于x的一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根之和为 －2 ．
【解答】解：x2＋2x－1＝0，
x1＋x2＝－＝－＝－2，
故答案为：－2．
13．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，CE是∠ACB的平分线，FG为△ACE的中位线，连DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝ 126° ．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
设∠EBC＝∠ECB＝x，
∴∠AEC＝∠EBC＋∠ECB＝2x，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE＝x，
∵FG是△ACE的中位线，
∴FG∥AC，
∴∠EFG＝∠ACE＝x，
∵D为BC的中点，F为CE的中点，
∴DF∥AB，
∴∠EFD＝∠AEF＝2x，
∵∠DFG＝∠GFE＋∠EFD＝x＋2x＝3x，
∴3x＝108°，
∴x＝36°，
∴∠AED＝∠AEC＋∠CED＝2x＋90°－x＝90°＋x＝90°＋36°＝126°，
故答案为：126°．
14．已知一个液压升降机如图1所示，图2和图3是该液压升降机的平面示意图，菱形CODP的边长及等腰三角形OAB、PEF的腰长都是定值且相等．如图2，载物台EF到水平底座AB的距离h1为60cm，此时∠AOB＝120°；如图3，当∠AOB＝90°时，载物台EF到水平底座AB的距离h2为 85 cm（结果精确到1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
【解答】解：连接BD，如图3，
由题意可得，BD＝＝＝30（cm），
∵∠AOB＝120°，
∴∠DAB＝30°，
在Rt△DAB中，
AD＝＝30×2＝60（cm），
连接DF，如图4，
由题意可知，
在Rt△EDF中，
∠DEF＝45°，ED＝AD＝60cm，
∴FD＝ED•sin45°＝60×＝30，
∴h2＝2•FD＝2×≈85（cm）．
故答案为：85．
15．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED＝90°，连接OE，DE＝6，OE＝8，则另一直角边AE的长为 10 ．
【解答】解：过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，
∵∠AED＝90°，∴四边形EMON是矩形，∴∠MON＝90°，即∠MOD＋∠DON＝90°，
∵正方形ABCD的对角线交于点O，
∴∠AOD＝90°，即∠AOM＋∠MOD＝90°，OA＝OD，∴∠AOM＝∠DON，
在△AOM和△DON中，，∴△AOM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，则四边形MONE是正方形，
∵OE＝8，∴EN＝8，∴EM＝EN＝8，
∴AM＝DN＝EN－ED＝8－6＝2，∴AE＝AM＋EM＝2＋8＝10．故答案为：10．
三．解答题（共7小题）
16．（1）解不等式组：；
（2）解方程：x2－4x－7＝0．
【解答】解：（1），
由①得：x＜6，
由②得：x≥0，
∴不等式组的解集为0≤x＜6；
（2）x1＝2＋，x1＝2－．
17．先化简，再求值：
，然后从－3，0，1，3中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【解答】解：原式＝÷＝÷＝•＝，
∵x（x＋3）≠0，x－1≠0，∴x≠0，x≠－3，x≠1，∴x＝3，
∴原式＝＝．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形．
（2）若AF是∠DAB的平分线．若CF＝6，BF＝8，求DC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE，
又∵DF∥BE，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DFBE是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BC＝＝＝10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝10，AB∥DC，
∴∠BAF＝∠DFA，
∵AF是∠DAB的平分线，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DF＝DA＝10，
∴DC＝DF＋CF＝10＋6＝16．
19．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC上的一点，连接AD．
（1）尺规作图：在AD的右侧作等边三角形ADE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，作AC边上的点F，且CF＝BD，连接BF，EF，请在图中找到一个与∠FBD相等的角，即∠FBD＝________．
【解答】（1）解：如图，△ADE即为所求．
（2）证明：连接CE．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝60°，
∵CF＝BD，∴CF＝CE，∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE＝BD，∠CFE＝∠ACB＝60°，∴EF∥DB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴∠FBD＝∠FED，
20．2023年5月8日是第76个“世界红十字日”，今年的主题是“生命教育，‘救’在身边”．目前，太原市许多公共场所已配置急救设备自动体外除颤器（AED），用来抢救心脏骤停患者．某高校先后两次购置AED设备，第一次总费用为88000元，第二次总费用为120000元．已知第二次比第一次多购置了2台，但每台价格是第一次每台价格的．
（1）该校第一次购置AED设备多少台？
（2）该校计划将所购置的AED设备用壁挂式、立式两种存储柜分散固定在校园内，已知一共需购买两种存储柜10个，其售价分别如图所示．若要使购买存储柜的总费用不超过7000元，最多可购买立式存储柜多少个？
【解答】解：（1）设该校第一次购置AED设备x台，则该校第二次购置AED设备（x＋2）台，
根据题意得：＝×，解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意．
答：该校第一次购置AED设备4台；
（2）设购买立式存储柜y个，则购买壁挂式存储柜（10－y）个，
根据题意得：500（10－y）＋1200y≤7000，解得：y≤，
又∵y为正整数，∴y的最大值为2．答：最多可购买立式存储柜2个．
21．教材再现：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE＋PF的值为 ．
知识应用：
（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM＝13，CN＝5，▱PEQF的周长是否为定值？若是，请求出▱PEQF的周长；若不是，请说明理由．
（3）如图3，当点P是等边△ABC 外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE＋PF－PD＝3，请直接写出△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图1，设AC与BD的交点为O，连接PO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝3×4＝12，OA＝OC＝OB＝OD，S△ABD＝S△BCD，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，
∴AC＝＝5，S△AOD＝S△ABO＝S△BOC＝S△COD，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝×12＝3，OA＝OD＝AC＝，
∴S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA•PE＋OD•PF＝OA（PE＋PF）＝××（PE＋PF）＝3，
解得：PE＋PF＝，故答案为：；
（2）▱PEQF的周长是定值，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DMN＝∠BNM，
连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图2所示：
则四边形ABHM是矩形，∴MH＝AB，
由折叠的性质得：DM＝BM，∠DMN＝∠BMN，∴∠BNM＝∠BMN，
∴DM＝BM＝BN＝13，∴AD＝BC＝BN＋CN＝13＋5＝18，
∴AM＝AD－DM＝18－13＝5，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB＝＝＝12，∴MH＝12，
∵S△BMN＝S△PBM＋S△PBN，PE⊥BM，PF⊥BN，∴BN•MH＝BM•PE＋BN•PF，
∵BM＝BN，∴PE＋PF＝MH＝12，∴▱PEGF的周长＝2（PE＋PF）＝2×12＝24；
（3）如图3，连接AP，BP，CP，
∵S△ABC＝S△ABP＋S△BCP－S△ACP，∴AB2＝AB•PE＋BC•PF－AC•PD
∴AB＝PE＋PF－PD，
∵PE＋PF－PD＝3，∴AB＝2，∴S△ABC＝AB2＝3．
22．【问题提出】
（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离AC＝2，点B到直线l的距离BD＝4，A、B两点的水平距离CD＝8，点P是直线l上的一个动点，则AP＋BP的最小值是 10 ；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，求GE＋CF的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，某公园有一块形状为四边形ABCD的空地，管理人员规划修两条小路AC和BD（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在AD和BC上分别选取点M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，为了节约成本，要使得线段PM、PN与MN之和最小．
已测出∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，∠CPD＝75°，PC＝50m，PD＝40m，管理人员的想法能否实现，若能，请求出PM＋PN＋MN的最小值，若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于P，则AP＋BP的值最小，且AP＋BP的最小值＝A′B，
过A′作A′E⊥BD于E，则DE＝A′C＝AC＝2，A′E＝CD＝8，
∴BE＝2＋4＝6，∴A′B＝＝10，即AP＋BP的最小值是10；故答案为：10；
（2）如图，作G关于AB的对称点G′，在CD上截取CH＝1，连接EH，G′E，G′H，
则G′E＝GE，
∵CH＝EF＝1，CH∥EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH＝CF，
∴GE＋CF＝G′E＋EH≥G′H，
∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为AD的中点，
∴DG′＝AD＋AG′＝2＋1＝3，DH＝CD－CH＝4－1＝3，
由勾股定理得，∴，
即GE＋CF的最小值为；
（3）管理人员的想法能实现，
理由：作点P关于AD、BC的对称点E、F，连接PE，PF分别交AD、BC于点O、H，
则PE AP⊥AD，PF⊥BC，连接EF，与AD、BC的交点即为点M、N的位置，连接PM，PN，
此时PM＝EM，PN＝FN，EF的长就是PM＋PN＋MN的最小值，
过点E作EG⊥PF交FP的延长线于点G，
∵∠ACB＝45°，∠ADB＝60°，PE⊥AD，PF⊥BC，∴∠CPH＝45°，∠DPO＝30°．
∵，∴PH＝PCsin∠BCP＝50（m），OD＝PD＝20（m），
∴，∴，
∵∠CPH＝45°，∠CPD＝75°，∠DPO＝30°，
∴∠EPG＝180°－∠CPH－∠CPD－∠DPO＝30°，
∵EG⊥PG，∴，∴，∴GF＝PG＋PF＝160（ m），
在Rt△GEF中，，
∴PM＋PN＋MN的最小值为．
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