广东省深圳市深圳高级中学2023-2024学年 九年级上学期开学考数学试卷

这是一份广东省深圳市深圳高级中学2023-2024学年 九年级上学期开学考数学试卷，共15页。试卷主要包含了若分式的值为0，则x＝，下列四个命题中，假命题是等内容，欢迎下载使用。

深圳高级中学2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1． “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2． 若分式的值为0，则x＝（　　）
A．－1 B．1 C．±1 D．0
3． 下列四个命题中，假命题是（　　）
A．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形
B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
4． 若函数y＝ax和函数y＝bx＋c的图象如图所示，则关于x的不等式ax－bx＞c的解集是（　　）

A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
5． 已知多项式x2－x＋m因式分解后得到一个因式为x＋2，则m的值为（　　）
A．－5 B．5 C．－6 D．6
6． 某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，可列方程为（　　）
A．100（1＋x）2＝81
B．100（1－x）2＝81
C．81（1－x）2＝100
D．100＋100（1－x）＋100（1－x）2＝81
7． 关于x的一元二次方程kx2－4x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0
8． 如图，长方形花圃ABCD面积为4m2，它的一边AD利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是5m．EF处开一门，宽度为1m．设AB的长度是xm，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）

A．x（5－2x）＝4 B．x（5＋1－2x）＝4
C．x（5－2x－1）＝4 D．x（2.5－x）＝4
9． 如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥DC，AB＝DC＝4，AD＝9，∠BCD＝30°，点E是线段DC的中点，点F在线段BC上，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C'EF，连接AC'，则AC'长度的最小值是（　　）

A． B． C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）

A． B．1 C． D．2
二．填空题（每题3分，共18分）
11．分解因式：xy2－4x＝　 　．
12．关于x的不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围为 　 　．
13．若关于x的方程有增根，则m的值是　 　．
14．若m，n是一元二次方程x2＋2022x－2023＝0的两个实数根，则＋＝　 　．
15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，经过点O的直线交AD于点E，且平分△ABD的周长，则OE＝　 　．
​

16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥AC，延长BE到点D，使得 BD＝AC，连接AD，CD，若AB＝4，AD＝5，则CD的长为 　 　．

三．解答题（共52分）
17．（5分）先化简，再求值：，其中x＝2．




18．（4分）解方程：．





19．（8分）（1）用配方法解方程：2x2－x－1＝0．（2）公式法解方程：2x2－7x＋3＝0．






20．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝8，BC＝16，求菱形AECF的周长．






21．（8分）某超市用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．
（1）求甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件，求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件？






22．（9分）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．

（1）求C点的坐标；
（2）如图1，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图1点M（1，－1）是第四象限内的一点，在y轴上是否存在一点F，使得|FM－FC|的值最大？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由



23．（10分）【课本重现】已知：如图1，D，E分别是等边△ABC的两边AB，AC上的点，且AD＝CE．若BE，CD交于点F，则∠EFD＝　 　°；
【迁移拓展】如图2，已知点D是等边△ABC 的AB边上一点，点E是AC延长线上一点，若AD＝CE，连接ED，EB．求证：ED＝EB；
【拓展延伸】如图3，若点D，E分别是BA，AC延长线上一点，且连接DE，以DE为边向右侧作等边△DEF，连接AF，求△ADF的面积．


深圳高级中学九年级开学考参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、B、C的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2．若分式的值为0，则x＝（　　）
A．－1 B．1 C．±1 D．0
【解答】解：由分式的值为零的条件得x－1＝0，x＋1≠0，解得，x＝1．
故选：B．
3．下列四个命题中，假命题是（　　）
A．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形
B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【解答】解：A、顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是真命题，不符合题意；
C、等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本选项说法是假命题，符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
故选：C．
4．若函数y＝ax和函数y＝bx＋c的图象如图所示，则关于x的不等式ax－bx＞c的解集是（　　）

A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1
【解答】解：观察函数图象得x＞1时，ax＞bx＋c，
所以关于x的不等式ax－bx＞c的解集为x＞1．
故选：D．
5．已知多项式x2－x＋m因式分解后得到一个因式为x＋2，则m的值为（　　）
A．－5 B．5 C．－6 D．6
【解答】解：令x＋2＝0，即x＝－2，
把x＝－2代入多项式得：4－（－2）＋m＝0，
解得：m＝－6．
故选：C．
6．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，可列方程为（　　）
A．100（1＋x）2＝81
B．100（1－x）2＝81
C．81（1－x）2＝100
D．100＋100（1－x）＋100（1－x）2＝81
【解答】解：依题意得：100（1－x）2＝81．
故选：B．
7．关于x的一元二次方程kx2－4x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0
【解答】解：∵方程有两个实数根，
∴根的判别式Δ＝b2－4ac＝16－4k≥0，
即k≤4，且k≠0．
故选：D．
8．如图，长方形花圃ABCD面积为4m2，它的一边AD利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是5m．EF处开一门，宽度为1m．设AB的长度是xm，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）

A．x（5－2x）＝4 B．x（5＋1－2x）＝4
C．x（5－2x－1）＝4 D．x（2.5－x）＝4
【解答】解：设AB＝xm，则BC＝（5＋1－2x）m，
根据题意可得，x（5＋1－2x）＝4，
故选：B．
9．如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥DC，AB＝DC＝4，AD＝9，∠BCD＝30°，点E是线段DC的中点，点F在线段BC上，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C'EF，连接AC'，则AC'长度的最小值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：连接AE，过点E作EM⊥AD的延长线于点M，

∵AE≥AC'－EC'，
当点A、C'、E在一条直线上时，AC'的值最小，
由翻折可知EC＝EC'，
∵，点E是线段DC的中点，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MDE＝∠BCD＝30°，
在Rt△MDE中，∠MDE＝30°，，
∴，
由勾股定理得，
∵AD＝9，
∴AM＝AD＋MD＝12，
在Rt△AME中，由勾股定理得，
∴，
即AC'长度的最小值是，
故选：C．
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）

A． B．1 C． D．2
【解答】解：连接AG并延长交CD于M，连接FM，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，
∵G为DE的中点，
∴GE＝GD，
在△AEG和MDG中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，
∴CM＝CD＝2，
∵点H为AF的中点，
∴GH＝FM，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FM＝＝2，
∴GH＝，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：xy2－4x＝　x（y＋2）（y－2）　．
【解答】解：xy2－4x＝x（y2－4）＝x（y＋2）（y－2）．故答案为：x（y＋2）（y－2）．
12．关于x的不等式组恰有3个整数解，那么a的取值范围为 　－4≤a＜－3　．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞a，
解不等式②，得：x≤－1，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴这三个整数解为－1，－2，－3，∴－4≤a＜－3，
故答案为：－4≤a＜－3．
13．若关于x的方程有增根，则m的值是　2　．
【解答】解：方程两边都乘（x－1），得m－1－x＝0，
∵方程有增根，∴最简公分母x－1＝0，即增根是x＝1，
把x＝1代入整式方程，得m＝2．故答案为：2．
14．若m，n是一元二次方程x2＋2022x－2023＝0的两个实数根，则＋＝　　．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2＋2022x－2023＝0的两个实数根，
∴m＋n＝－2022，mn＝－2023，∴＋＝＝＝．故答案为：．
15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，经过点O的直线交AD于点E，且平分△ABD的周长，则OE＝　2　．
​
【解答】解：如图，延长DA至H，使AH＝AB，连接BH，过点A作AN⊥BH于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，
∵OE平分△ABD的周长，∴AE＋AB＋OB＝OD＋DE，∴AH＋AE＝DE，即HE＝DE，
又∵BO＝DO，∴BH＝2OE，
∵AH＝AB，∠BAD＝60°，∴∠H＝∠ABH＝30°，
∵AH⊥BH，∴AN＝AB＝2，HN＝BN＝AN＝2，∴BH＝4，
∴OE＝2，故答案为：2．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥AC，延长BE到点D，使得 BD＝AC，连接AD，CD，若AB＝4，AD＝5，则CD的长为 　　．

【解答】解：过D点分别作DG⊥BC于点G，DF⊥AB交BA的延长线于点F，∴∠DGC＝90°，
∵∠ABC＝90°，∴四边形BGDF为矩形，∠BAC＋∠ACB＝90°，∴BG＝DF，DG＝FB，
∵BE⊥AC，∴∠BAC＋∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠ACB，
在△ABC和△DFB中，，∴△ABC≌△DFB（AAS），
∴FD＝AB＝4，BC＝FB，∴BG＝4，
在Rt△FAD中，AD＝5，∴AF＝，
∴BF＝AB＋AF＝4＋3＝7，∴DG＝BF＝BC＝7，
∴CG＝BC－BG＝7－4＝3，
在Rt△DCG中，CD＝．故答案为：．

三．解答题（共7小题）
17．先化简，再求值：，其中x＝2．
【解答】解：÷（＋1）＝÷＝÷
＝•＝，
当x＝2时，原式＝＝．
18．解方程：．
【解答】解：去分母得：3－x－1＝x－2，
移项合并得：2x＝4，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的增根．
∴原分式方程无解．
19．（1）用配方法解方程：2x2－x－1＝0．
（2）公式法解方程：2x2－7x＋3＝0．
【解答】解：（1）两边都除以2，得．
移项，得．
配方，得，，
∴或，∴x1＝1，；
（2）∵2x2－7x＋3＝0，
∴b2－4ac＝（－7）2－4×2×3＝25＞0，
则x＝＝，∴x1＝，x2＝3．
20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE和AF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝8，BC＝16，求菱形AECF的周长．

【解答】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA）；∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：设AF＝x，
∵EF是AC的垂直平分线，AB＝8，BC＝16，
∴AF＝CF＝x，BF＝16－x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＋BF2＝AF2，
82＋（16－x）2＝x2，解得x＝10．∴AF＝10，
∴菱形AECF的周长为40．
21．某超市用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．
（1）求甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件，求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件？
【解答】解：（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为（x－1）元，
根据题意得：＝×2，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，
∴x－1＝5．
答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元．
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（2y＋40）件，
根据题意得：6y＋5（2y＋40）≤1400，解得：y≤75，
∵y为整数，∴y最大值＝75，
答：该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具75件．
22．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．

（1）求C点的坐标；
（2）如图1，在平面内是否存在一点H，使得以A、C、B、H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图1点M（1，－1）是第四象限内的一点，在y轴上是否存在一点F，使得|FM－FC|的值最大？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由
【解答】解：（1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，…1分
∵∠MAC＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠OBA＝90°，则∠MAC＝∠OBA，…2分
在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），…3分
∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴OM＝OA＋AM＝2＋4＝6，
∴点C的坐标为（－6，－2）…4分
（2）答：如图2，存在三个H点，
∵A（－2，0），B（0，－4），C（－6，－2），
∴根据B到A的平移规律可得C到H1的平移规律，则H1（－8，2），
同理得H2（－4，－6）、H3（4，－2）…7分
（3）答：存在，F（0，－），
如图3，作点M（1，－1）关于y轴的对点M'（－1，－1），
设y轴上存在一点F1，连接CF1、M'F1，由于|FM－FC|≤CM'，
当C、M'、F三点共线时取等号，…8分
连接CM'，与y轴交于点F即为所求，
设CM'的解析式为：y＝kx＋b，
把C（－6，－2）、M'（－1，－1）代入得，，解得：，∴y＝，（9分）
当x＝0时，y＝－，∴F（0，－）．（10分）

23．【课本重现】已知：如图1，D，E分别是等边△ABC的两边AB，AC上的点，且AD＝CE．若BE，CD交于点F，则∠EFD＝　120　°；
【迁移拓展】如图2，已知点D是等边△ABC 的AB边上一点，点E是AC延长线上一点，若AD＝CE，连接ED，EB．求证：ED＝EB；
【拓展延伸】如图3，若点D，E分别是BA，AC延长线上一点，且连接DE，以DE为边向右侧作等边△DEF，连接AF，求△ADF的面积．

【解答】【课本重现】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝CB，∠A＝∠BCE＝60°，
在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴∠ACD＝∠CBE，
∴∠DFB＝∠CBE＋∠BCF＝∠ACD＋∠BCF＝∠ACB＝60°，
∴∠DFE＝180°－∠DFB＝120°．故答案为：120；
【迁移拓展】证明：如图2中，过点E作EJ∥BC交AB的延长线于点J．

∵BC∥EJ，∴∠ABC＝∠AJE＝60°，∠ACB＝∠AEJ＝60°，
∴△AEJ是等边三角形，∴AJ＝AE，
∵AB＝AC，∴BJ＝EC，
∴四边形BCEJ是等腰梯形，∴BE＝CJ，
由（1）可知由AD＝CE，可得CJ＝DE，
∴DE＝BE．
【拓展延伸】解：过点F作FM⊥AC于点M，FN⊥AD交AD的延长线于点N，过点D作DH⊥AF于点H．

∵△DEF是等边三角形，∴FD＝FE，∠DFE＝60°，
∵∠BAC＝60°，∴∠MAN＝120°，
∵∠N＝∠FMA＝90°，∴∠MFN＝∠DFE＝60°，∴∠DFN＝∠MFC，
∵∠N＝∠FME＝90°，∴△FND≌△FME（AAS），∴FM＝FN，DN＝EM，
∵FN⊥AN．FM⊥AM，∴∠NAF＝∠MAF＝60°，
∵AD＝CE＝2，AB＝AC＝6，∴AE＝8，
∵AD＋AE＝AN－DN＋AM＋ME＝2AM＝10，∴AM＝5，
∵∠AFM＝30°，∴AF＝2AM＝10，
∵DH⊥AF，∴DH＝AD•sin60°＝，
∴△ADF的面积＝•AF•DH＝×10×＝5．