2023-2024学年广东省广州市黄埔军校纪念中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省广州市黄埔军校纪念中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  代数式有意义时，应满足的条件为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一组数据，，，，的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，在矩形中，对角线，交于点，若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，点在正方形的内部，连接，，若，，，则正方形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移个单位后恰好经过原点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  当时，一次函数的最大值为，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共1小题，共3.0分。在每小题有多项符合题目要求）

10.  如图，正方形的顶点，别在轴、轴上，，，若的中点恰好落在轴上，此时恰好也垂直于轴，交轴于点，连接判断：；是等边三角形；；其中正确的有(    )

A.
B.
C.
D.

三、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  在甲、乙两位射击运动员的次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，，则考核成绩更为稳定的运动员是          填“甲”、“乙”中的一个．

12.  中，点，分别是的边，的中点，连接若，则______．

13.  如图，菱形中，，，四边形是正方形，则的长为______．

14.  如图，在▱中，的平分线交于，，则的度数为______．

15.  在平面直角坐标系中，已知，，作的垂直平分线交轴于点，则点坐标为______ ．

16.  如图，正方形的边长为，为对角线上动点，过作于，于；连接，则的最小值为______ ．

四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解方程：．

18.  本小题分
已知，，求代数式的值．

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，，分别是，上一点，，交于点求证：．
 

20.  本小题分
某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级名学生，统计得到该名学生参加志愿者活动的次数如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：

表格中的 ______ ， ______ ；
在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为______ ，中位数为______ ；
若该校初三年级共有名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为次的人数．

21.  本小题分
在平面直角坐标系中，过点的直线交轴正半轴于点，已知．
求点的坐标；
点是轴上一点，且的面积为，求直线的解析式．

22.  本小题分
“地摊经济”已成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息：

小明计划购进甲、乙商品共件进行销售，设小明购进甲商品件，甲、乙商品全部销售完后获得利润为元．
求出与之间的函数关系式；
小明用不超过元资金一次性购进甲、乙两种商品，求的取值范围；
在的条件下，若要求甲、乙商品全部销售完后获得的利润不少于元，请说明当为何值时利润最大，最大利润是多少？

23.  本小题分
如图，在四边形中，，点是的中点，且．
尺规作图：作的平分线，交于点，连结，保留作图痕迹，不写作法；
在所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
 

24.  本小题分
如图，在菱形中，，，点为边上一个动点，延长到点，使，且、相交于点．
当点运动到中点时，证明：四边形是平行四边形；
当时，求的长．

25.  本小题分
如图，已知平面直角坐标系中，、，现将线段绕点顺时针旋转得到点，连接
求出直线的解析式；
若动点从点出发，沿线段以每分钟个单位的速度运动，过作交轴于，连接设运动时间为分钟，当四边形为平行四边形时，求的值．
为直线上一点，在坐标平面内是否存在一点使得以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，求出此时的坐标；若不存在请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．

2.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关知识点是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：代数式有意义时，，
解得：．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：从小到大排列此数据为：、、、、，中位数是第三个数，
故选：．
先把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题考查了确定一组数据的中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

4.【答案】 

【解析】解：和不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法和减法法则，二次根式的乘法和除法法则进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，对角线，交于点，
，
，
，
故选：．
利用矩形的性质即可得出结论．
本题考查矩形的性质，关键是对矩形性质的掌握和运用．

6.【答案】 

【解析】解：在中，，
由勾股定理得：，
四边形是正方形，
，
故选：．
在中，通过勾股定理得，从而解决问题．
本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：正比例函数的图象在第二、四象限，
．
，，
一次函数的图象经过第一、二、三象限．
故选：．
由正比例函数图象在第二、四象限可得出，由，，利用一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数的图象经过的象限，此题得解．
本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“，得到的图象在一、二、三象限”是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：平移后抛物线的解析式为，恰好经过原点，
将代入解析式可得，
．
故选：．
根据平移解析式的变化为“上加下减，左加右减”确定平移后的解析式，再将原点坐标代入即可求解．
本题考查了一次函数的图象与几何变换及一次函数的性质，熟记牢记平移的规律是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：一次函数，
，
当时，函数值最大，
由题意可知：，
解得：．
故选：．
由一次函数的系数判断函数的增减性，可知当时，函数值最大，列出关于的等式，解之即可．
本题考查了一次函数的性质，根据系数得出函数的增减性是解题关键．

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
轴轴，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故正确；
≌，
，
，
，
轴，
，
，
，
故正确；
点是的中点，
，
设，
则，
在中，由勾股定理得，
，，
，
，
解得，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
故错误；
四边形是正方形
，
，
，
不是等边三角形，
故错误；
综上，正确的有，
故选：．
根据正方形的性质，利用可证得和全等，从而正确；由三角形全等的性质得出，再根据对顶角相等得出，再证，问题即可得证，从而正确；设，则，根据勾股定理求出，再根据直角三角形的面积求出，最后在中利用勾股定理求出的值，从而求出的长，故错误；再比较与的长，即可知不是等边三角形，从而错误．
本题考查了图形与坐标，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握这些性质是解题的关键．

11.【答案】乙 

【解析】【分析】
此题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．
首先比较平均数，平均数相同时方差较小的的运动员的成绩更稳定．
【解答】
解：两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，，
，
考核成绩更为稳定的运动员是乙，
故答案为：乙．

12.【答案】 

【解析】解：点、分别是的边、的中点，
，
，
，
．
故答案是：．
根据三角形的中位线定理得到，根据平行线的性质即可求得．
本题主要考查了三角形的中位线定理，能熟练地运用三角形的中位线定理是解此题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形
，且，
是等边三角形，
，
四边形是正方形，

故答案为：
由菱形的性质可得，且，可得，由正方形的性质可得．
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
的平分线交于，，
，
；
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义和邻补角关系得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数．
本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出是解决问题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：连接，
设，
，，
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
的坐标是．
故答案为：．
连接，设，由，，得到，，由垂直平分，得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的坐标是．
本题考查线段垂直平分的性质，勾股定理，关键是由线段垂直平分线的性质得到，由勾股定理列出关于的方程．

16.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：
四边形为正方形，且边长为，
，，，
，，
四边形是矩形，
，
要求的最小值，只需求出的最小值即可，
点在上，
根据“垂线段最短”可知：当时，为最短，
当时，由于，
为等腰直角三角形，即：，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
舍去负值，
即的最小值为，
的最小值为．
故答案为：．
连接，先证四边形是矩形得，据此得要求的最小值，只需求出的最小值即可，根据“垂线段最短”可知：当时，为最短，然后中由勾股定理求出即可得到的最小值．
本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定和性质，垂直线段的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，难点是根据“垂线段最短”确定当时，线段为最短．

17.【答案】解：

；
，
，
或，
，． 

【解析】先化简，计算乘除法，再算加减法；
根据因式分解法解方程即可求解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，二次根式的混合运算，熟练掌握解一元二次方程的方法和二次根式的运算是解题的关键．

18.【答案】解：，
当，时，
． 

【解析】先将代数式化为，然后代入求值．
本题考查了二次根式的化简求值，熟悉完全平方公式是解题的关键．

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．

20.【答案】解：；；
；；
人．
答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为次的人数有人． 

【解析】【分析】
此题考查了频数分布表，众数、中位数，样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
由题中的数据即可求解；
根据中位数、众数的定义，即可解答；
根据样本估计总体，即可解答．
【解答】
解：由该名学生参加志愿者活动的次数得：，，
故答案为：，；
该名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
出现的最多，
众数为，中位数为第和第个数的平均数，即为，
故答案为：，；
见答案．

21.【答案】解：，
，
；
设，
则：，
解得：或，
设直线的解析式：，
当时，有，
解得：，
直线的解析式：，
当时，有，
解得：，
直线的解析式：． 

【解析】根据勾股定理求解；
先根据三角形的面积公式求出的坐标，再利用待定系数法求解．
本题考查了待定系数法的应用，掌握勾股定理及分类讨论思想是解题的关键．

22.【答案】解：由题意可得：；
由题意可得：，
，
又，
，且为整数；
由题意可得：，
，
，
进货方案有：甲商品进件，乙商品进件；甲商品进件，乙商品进件；甲商品进件，乙商品进件；
，
随的增大而增大，
当时，有最大利润．
当甲商品进件，乙商品进件，利润有最大值． 

【解析】由甲商品利润乙商品利润，可得解析式；
由用不超过元资金一次性购进甲，乙两种商品，列出不等式组，即可求解；
由获得的利润不少于元，列出不等式可求的范围，由一次函数的性质可求解．
本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．

23.【答案】解：图形如图所示：

证明：，平分，
，，
，，
，
，，
，，
，，，
，，
，
为等边三角形． 

【解析】【分析】
本题考查作图基本作图，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是证明，．
根据要求作出图形即可；
证明，，可得结论．

24.【答案】证明：连接，，如图所示：
，
为中点，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是平行四边形．
解：作，设，如图所示，
，
四边形是菱形，
，
∽，
，
，
在中，，，
，，
，，
在中，，，，
，
即，
整理得：，
解得：，舍去，
． 

【解析】利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形，
利用三角形相似，求出此时的长，再借助直角三角形勾股定理求解．
本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，解题关键是借助锐角三角比和勾股定理求解．

25.【答案】解：如图中，作轴于．

、，
，，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
设直线的解析式为，则有，
解得，
．

如图中，

四边形是平行四边形，
，
直线的解析式为：，
，
，
，，
，
，
，
时，四边形是平行四边形．

如图中，

如图中，当为菱形的边时，可得菱形，菱形菱形，
连接交于，
，
直线的解析式为，
由，解得，
，
，
，
，
直线的解析式为，
，设，
，
，
可得，，
当为菱形的对角线时，可得菱形，点在线段的垂直平分线上，
易知线段的垂直平分线的解析式为，
由，解得，

综上所述，满足条件的点坐标为或或或 

【解析】如图中，作轴于证明≌，可得，，求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
利用平行四边形的性质求出点的坐标，再求出，，即可解决问题．
如图中，当为菱形的边时，可得菱形，菱形菱形，当为菱形的对角线时，可得菱形，点在线段的垂直平分线上，分别求解即可解决问题．
本题属于一次函数综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．