四川省攀枝花市第七高级中学校2021-2022学年高二上学期第二次月考数学（文）试题

2023届高二上期第二次月考数学（文）试题

一．选择题（本大题共小题，每小题分，总分分）

1. 椭圆x2+4y2=4的焦点坐标为（    ）

A. （±2，0） B. （0，±2） C.  D.

【1题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】将椭圆的方程化为标准方程，写出a，b的值，再由a，b，c之间的关系求出c的值，可得焦点的坐标．

【详解】椭圆x2+4y2=4的标准方程为：，可得a2=4，b2=1，可得c2=a2-b2=4-1=3，

所以，焦点在轴上，故焦点为.

故选：C．

2. 从装有除颜色外完全相同的个红球和个白球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ）

A. 至少有个白球；都是白球 B. 至少有个白球；至少有个红球

C. 恰有个白球；恰有个白球 D. 至少有个白球；都是红球

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据互斥事件和对立事件的概念依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，“至少有个白球”包含：“个白球，个红球”和“都是白球”两种情况，则两个事件不互斥，A错误；

对于B，“至少有个白球”包含：“个白球，个红球”和“都是白球”两种情况；

“至少有个红球”包含：“个白球，个红球”和“都是红球”两种情况；

则两个事件不互斥，B错误；

对于C，“恰有个白球”等同于“个白球，个红球”，与“恰有个白球”不能同时发生，二者为互斥事件；但其对立事件应为“都是白球或都是红球”，两事件并不是对立事件，C正确；

对于D，“至少有个白球” 包含：“个白球，个红球”和“都是白球”两种情况，与“都是红球”为对立事件，D错误.

故选：C.

3. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行.问人与车各多少？下图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出的值为

A.  B.  C.  D.

【3题答案】

【答案】D

【解析】

【详解】分析：由题意结合流程图中的循环结构运行程序，确定输出值即可.

详解：结合题中所给的流程图运行程序如下：

首先初始化数据：，

第一次循环：，满足；

第二次循环：，满足；

第三次循环：，满足；

第四次循环：，满足；

第五次循环：，满足；

第六次循环：，不满足；

此时结束循环，输出.

本题选择D选项.

点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：

(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．

(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．

(3)按照题目的要求完成解答并验证．

4. 如果根据是否爱吃零食与性别的列联表得到，所以判断是否爱吃零食与性别有关，那么这种判断犯错的可能性不超过（   ）

注：

A. 2.5% B. 0.5% C. 1% D. 0.1%

【4题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据得到，得到答案.

【详解】，故，

故判断“是否爱吃零食与性别有关”出错的可能性不超过2.5%.

故选：.

【点睛】本题考查了独立性检验问题，意在考查学生的理解能力和应用能力.

5. 给出下列命题：

①一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真；

②“，”的否定是“，”；

③命题“若，则”的否命题为“若，则”；

④“若，则全为”的逆否命题是“若全不为，则”.

其中正确的命题序号是（    ）

A. ① B. ①③ C. ②④ D. ③④

【5题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】由四种命题及其真假关系、命题的否定依次判断4个命题即可.

【详解】一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真，①正确；

“，”的否定是“，”，②不正确；

命题“若，则”的否命题为“若，则”，③不正确；

“若，则全为”的逆否命题是“若不全为，则”，④不正确.

故选：A．

6. 为比较甲，乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场的得分制成如图所示的茎叶图. 有下列结论：

①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；

②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；

③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；

④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.

其中所有正确结论序号是（    ）

A. ②③ B. ①④

C ①③ D. ②④

【6题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据茎叶图得到甲、乙的得分，求出中位数、平均数、方差，即可判断；

【详解】甲的得分为25,28,29,31,32；

乙的得分为28,29,30,31,32；

因为，

故甲、乙得分中位数分别为29、30；平均数分别为29、30；方差分别为、；

故正确的有②③；

故选：A

7. 已知两定点，，直线：，在上满足的点的个数为（     ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或1或2

【7题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】求出点所在轨迹方程，与直线方程联立方程组，方程组解的个数就是满足题意的点的个数．

【详解】详解：

∵，，∴在以为焦点，为长轴长的椭圆上，

由于，，又，因此，

椭圆方程为，

由，解得,∴点只有一个．

故选：B．

8. 在区间上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【8题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】设所取两个数分别为、，可得知事件构成的区域为，作出图形，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】设所取的两个数分别为、，则事件构成的全部区域为，

区域是边长为的正方形区域，

事件“这两个数之和小于”构成的区域为，

如下图所示：

直线交直线于点，区域表示的是图中阴影部分区域.

则三角形区域是直角边长为的等腰直角三角形，

区域的面积为，

因此，事件“这两个数之和小于”的概率为.

故选：C.

【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解答的关键就是将问题转化为平面区域型几何概型问题，利用数形结合思想求解．

9. “”是“直线的倾斜角大于”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【9题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】由直线的倾斜角大于得到不等式，求出的范围，

从而利用充分条件，必要条件的定义得解．

【详解】设直线的倾斜角为，

直线可化为，所以

由直线的倾斜角大于可得：或，

即：或，

所以 或，但或

故选A

【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的概念，还考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题

10. 已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【10题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】联立方程组，结合根与系数的关系求得，根据，得到，代入抛物线，求得，即可得到抛物线的方程.

【详解】设，联立方程组，整理得，

则，可得，

由点为的中点，所以

设，因为，可得，

又由点在抛物线上，可得，

即，解得或（舍去），

所以抛物线的标准方程为.

故选：B.

11. 苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥处各有一窗户，两窗户的水平距离为，如图2，则此抛物线顶端到连桥的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】

建立适当坐标系，设点与的坐标，设抛物线方程为：，列出方程组，求解，即可得出结果.

【详解】建系如图，设抛物线方程为：，

由题意设，，

则，

解得：，.

所以此拋物线顶端到连桥的距离为：.

故选：B.

12. 已知F是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为其左、右顶点.O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴.过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|＝2|ON|，则双曲线的离心率为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【12题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】设，，，，则直线，直线，据两条直线的交点为点，建立等量关系，求双曲线的离心率.

【详解】如图，设，，，,

则直线，直线．

直线，的交点

，则，

双曲线的离心率为.

故选：C

【点睛】本题考查双曲线的离心率，重点考查转化思想，属于重点题型.

二． 填空题（本大题共小题，每小题分，总分分）

13. 与的最大公约数是__________．

【13题答案】

【答案】.       

【解析】

【详解】辗转相除法

8251=6105+2146

 6105=2146*2+1813

 2146=1813+333

 1813=333*5+148

 333=148*2+37

 148=37*4

所以最大公约数为37

14. 已知样本方差，则样本的方差为_______.

【14题答案】

【答案】8

【解析】

【详解】分析：根据题意，样本的方差，根据公式，即可求解的方差

详解：由题意，样本数据的方差，

设样本的方差为，则.

点睛：本题考查了样本数据的分差的计算，熟记两组数据的方差之间的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算你能力.

15. 如图是求的值的程序框图，则正整数__________．

【15题答案】

【答案】99

【解析】

【分析】根据程序框图，结合程序执行的目的求，写出执行过程及其输出，进而判断最终跳出循环体时刚好不成立的值，即可确定正整数.

【详解】由程序框图，执行步骤如下：

1、，：执行循环体，，，成立；

2、，：执行循环体，，，成立；

3、，：执行循环体，，，成立；

……

99、，：执行循环体，，，成立；

100、，：执行循环体，，，不成立；

∴此时，跳出循环体，即.

故答案为：

16. 已知为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点.若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为___________.

【16题答案】

【答案】

【解析】

【分析】由题设探求出与都是以B为直角顶点直角三角形，令，并表示相关量，再借助勾股定理建立方程组，求出a，b的关系即可.

【详解】因点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点，则，

设点关于点的对称点为，双曲线的左焦点为，则，有，如图，

令，则，，，又，

在中，，即，

在中，，即

于是得，解得，即，

所以双曲线的渐近线的斜率为.

故答案为：

三． 解答题（本大题共小题，总分分）

17. （1）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点，求双曲线的方程；

（2）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点的坐标为，直线交椭圆于两点，线段的中点为，求椭圆的方程；

【17题答案】

【答案】（1）；（2） ．

【解析】

【分析】（1）由题意设双曲线方程为，把点代入求解λ值，即可得到双曲线方程；

（2）利用点差法，结合中点坐标公式，求椭圆的方程；

【详解】解：（1）由题意设双曲线方程为，把点代入，

可得，即．

所求双曲线方程为；

（2）由题意设椭圆方程为，

设， ，

则①，②

①②，可得

所以

因为线段中点，所以，，

所以，所以，

因为，所以，，

所以椭圆的方程为.

18. 命题，，命题，使得成立.

（1）若为真，为假，求实数的取值范围.

（2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【18题答案】

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由得真时的范围，由得题所表示的集合为，进而由，一真一假，列式求范围即可；

（2）设命题表示的集合为，再由列式求解即可.

【详解】（1）命题，，

则，解得，

∴命题所表示的集合为，

命题，使，即，

∵为增函数，∴解得，

∴命题所表示的集合为，

若为真，为假，则，一真一假，

①若真假，则，解得，

②若假真，则，解得，

综上，的取值范围为.

（2）设命题表示的集合为，

若是的充分不必要条件，则，即，

∴，∴的取值范围为.

19. 2020年1月24日，中国疾控中心成功分离出中国首株新型冠状病毒毒种．6月19日，中国首个新冠mRNA疫苗获批启动临床试验，截至2020年10月20日，中国共计接种了约万名受试者．为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取名，其中大龄受试者有人，舒张压偏高或偏低的有人，年轻受试者有人，舒张压正常的有人．

（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否能够以的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关?

（2）在上述人中，从舒张压偏高或偏低的所有受试者中采用分层抽样抽取人，若从抽出的人中任取人，求取出的人都是大龄受试者的概率．

运算公式：

对照表：

【19题答案】

【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关；（2）

【解析】

【分析】（1）由已知完成列联表，结合公式计算，根据参考数据即可判断结果；

（2）采用分层抽样抽取的人中，大龄受试者有人，设他们为，年轻受试者有人，设他们为，运用列举法列出所有事件，结合古典概率的计算公式可得出答案.

【详解】（1）列联表如下：

.

所以，没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关．

（2）由题意得，采用分层抽样抽取的人中，大龄受试者有人，设他们为，年轻受试者有人，设他们为．

则从这人中取出人包含的基本事件：

共有种，其中取出的人都是大龄受试者的有种．

所以，取出的人都是大龄受试者的概率.

20. 某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.

（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；

（2）试估计该公司在若干地区各投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；

（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

由表中的数据显示，与之间存在着线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并求出关于的回归直线方程.（参考公式：）

【20题答案】

【答案】（1）2；（2）5；（3）空白栏中填5，

【解析】

【分析】（1）根据频率等于小长方形的面积以及频率和为，得到关于的等式，求解出即可；

（2）根据各组数据的组中值与频率的乘积之和得到对应的销售收益的平均值；

（3）先填写空白栏数据，然后根据所给数据计算出，即可求解出回归直线方程

【详解】（1）设各小长方形的宽度为.

由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知

，

解得.故图中各小长方形的宽度为2.

（2）由（1）知各小组依次是，

其中点分别为对应的频率分别为

故可估计平均值为.

（3）由（2）可知空白栏中填5.

由题意可知，

，，

根据公式，可求得，.

所以所求的回归直线方程为.

【点睛】本题考查频率分布直方图的实际应用以及回归直线方程的求法，难度一般.（1）频率分布直方图中，小矩形的面积代表该组数据的频率，所有小矩形面积之和为；（2）求解回归直线方程时，先求解出，然后根据回归直线方程过样本点的中心再求解出.

21. 已知，分别为椭圆（）的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两点，且的周长为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：.

【21题答案】

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由已知条件，结合椭圆的定义列方程求参数a、c，即可写出椭圆方程.

（2）设直线为，，，，联立椭圆方程应用韦达定理可求、，可得，写出的中点坐标，由此得到的垂直平分线的方程，进而求即可证结论.

【详解】（1）由焦距为2，即，得，结合椭圆的定义知：的周长，得，

∴，即椭圆的方程为.

（2）证明：设直线为，，，，

联立，得，

∴，，则，

∴的中点为，即，

∴线段的垂直平分线的方程为，

令，得，所以，

∴，而，

∴，即.

【点睛】关键点点睛：第二问，设直线及交点坐标，联立椭圆方程应用韦达定理求、，可得，即可得的中点坐标，写出其中垂线方程，进而求.

22. 已知抛物线的准线与直线的距离为4．

（1）求抛物线的方程；

（2）、为抛物线上的两个不重合的动点，且线段的中点在直线上，设线段的垂直平分线为直线．

①证明：经过定点；

②若交轴于点，设的面积为，求的最大值．

【22题答案】

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②．

【解析】

【分析】（1）直接根据题意列出关于的方程解出即可得出结果；

（2）设直线的方程为，点，，①联立直线与抛物线的方程结合韦达定理可得直线上，得出垂直平分线为直线即可得结果；②先求以及，将的面积为用表示，结合二次函数的性质可得结果.

【详解】（1）抛物线的准线方程为，

由已知得，解得，

故抛物线的方程为．

（2）设直线的方程为，点，，

①证明：由消去得，，

则，

即有，且，，

因为线段的中点在直线上，

所以，可得，

所以线段的垂直平分线的方程为，

即为，

故经过定点．

②由①知l'：，所以点，

则，

因为，

又因为到直线的距离，

所以，

由及，可知，

所以

，

当时，取得最大值．

【点睛】关键点点睛：直线与圆锥曲线相交涉及三角形面积问题时，利用弦长公式以及点到直线的距离表示面积是解题的关键.

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