高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 实际问题的函数刻画复习练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 实际问题的函数刻画复习练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960卖出，这两台取暖器卖出后，该商场( C )
A．不赚不亏 B．赚了80元
C．亏了80元 D．赚了160元
[解析] 设第1台原价x1，第2台原价x2，则x1·(1＋20%)＝960得x1＝800，
x2·(1－20%)＝960，得x2＝1200，
960×2－(800＋1200)＝－80.
∴选C．
2．用长度为24m的材料围成一矩形场地，如果在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔墙的长度应为( A )
A．3m B．4m
C．6m D．12m
[解析] 设矩形的长为x，则宽为eq \f(1,4)(24－2x)，则矩形的面积为S＝eq \f(1,4)(24－2x)x＝－eq \f(1,2)(x2－12x)＝－eq \f(1,2)(x－6)2＋18，所以当x＝6时，矩形的面积最大，此时隔墙的长度应为3m.
3．某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为( D )
A．52 B．52.5
C．53 D．52或53
[解析] 因为利润＝收入－成本，当产量为x件时(x∈N)，利润f(x)＝25x－(x2－80x)，所以f(x)＝105x－x2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(105,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1052,4)，
所以x＝52或x＝53时，f(x)有最大值．
4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x（1≤x<10，x∈N＋），,2x＋10（10≤x<100，x∈N＋），,1.5x（x≥100，x∈N＋），))
其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( C )
A．15 B．40
C．25 D．130
[解析] 令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用25人．
5．如图1，动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿B→C→D→A的顺序运动，得到以点P运动的路程x为自变量，△ABP的面积y为因变量的函数的图象，如图2，则梯形ABCD的面积是( B )
A．96 B．104
C．108 D．112
[解析] 从图2可看出，BC＝8，CD＝10，DA＝10，在图1中，过点D作AB的垂线，垂足为E，可推得AE＝6，AB＝16，所以梯形的面积为eq \f(1,2)(DC＋AB)·BC＝eq \f(1,2)(10＋16)×8＝104，故选B．
6．(福建高考题)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( C )
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
[解析] 设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为eq \f(4,x)m，依题意，得y＝20×4＋10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2×4,x)))＝80＋20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))≥160，当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时，等号成立，y取得最小值，即ymin＝160.所以该容器的最低总造价为160元．故选C．
二、填空题
7．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是__y＝eq \f(a,4)x(x∈N＋)__．
[解析] 依题意，设新价为b，则有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%.化简，得b＝eq \f(5,4)a.
∴y＝b·20%·x＝eq \f(5,4)a·20%·x，即y＝eq \f(a,4)x(x∈N＋)．
8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本就增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－eq \f(1,200)Q2，那么总利润L(Q)的最大值是__250__万元，这时产品的产量为__300__．(总利润＝总收入－成本)
[解析] L(Q)＝4Q－eq \f(1,200)Q2－(200＋Q)＝－eq \f(1,200)(Q－300)2＋250，则当Q＝300时，总利润L(Q)取最大值250万元．
9．某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%，试问，大约使用__4__年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
[解析] 设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4
化简得x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x
易得f(x)为递增函数，又f(3)＝－1.374<0，f(4)＝0.0634>0，∴f(x)在(3，4)上有一个零点，故大约使用4年后，用在该车上费用达到14.4万元．
三、解答题
10．(10分)有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所透过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．
[解析] 设小矩形的长为x，宽为y，窗户的面积为S，
则由题图可得9x＋πx＋6y＝l，
所以6y＝l－(9＋π)·x，
所以S＝eq \f(π,2)x2＋4xy＝eq \f(π,2)x2＋eq \f(2,3)x·[l－(9＋π)·x]＝－eq \f(36＋π,6)x2＋eq \f(2,3)lx＝－eq \f(36＋π,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2l,36＋π)))eq \s\up12(2)＋eq \f(2l2,3（36＋π）).
要使窗户所透过的光线最多，只需窗户的面积S最大．
由6y＞0，得0＜x＜eq \f(l,9＋π).
因为0＜eq \f(2l,36＋π)＜eq \f(l,9＋π)，
所以当x＝eq \f(2l,36＋π)，y＝eq \f(l－（9＋π）x,6)＝eq \f(l（18－π）,6（36＋π）)，即eq \f(x,y)＝eq \f(12,18－π)时，窗户的面积S有最大值，且Smax＝eq \f(2l2,3（36＋π）).
11．(10分)国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．
(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)当0＜x≤30时，y＝900；当30＜x≤75，y＝900－10(x－30)＝1200－10x.
即y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(900，0＜x≤30，,1200－10x，30＜x≤75.))
(2)设旅行社所获利润为S元，
则当0＜x≤30时，S＝900x－15000；
当30＜x≤75时，S＝x(1200－10x)－15000＝－10x2＋1200x－15000.
即S＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(900x－15000，0＜x≤30，,－10x2＋1200x－15000，30＜x≤75.))
因为当0＜x≤30时，S＝900x－15000为增函数，
所以x＝30时，Smax＝12000；
当30＜x≤75时，S＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，
即x＝60时，Smax＝21000＞12000.
所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
B 组·素养提升
一、选择题
1．如图所示，从某幢建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面eq \f(40,3)m，则水流落地点B离墙的距离OB是( B )
A．2m B．3m
C．4m D．5m
[解析] 以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程是y＝a(x－1)2＋eq \f(40,3)，由条件(0，10)在抛物线上，可得10＝a＋eq \f(40,3)，a＝－eq \f(10,3)，
所以y＝－eq \f(10,3)(x－1)2＋eq \f(40,3)，设B(x，0)(x＞1)，
代入方程得：(x－1)2＝4，所以x＝3.
2．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；若顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为( A )
A．1500元 B．1550元
C．1750元 D．1800元
[解析] 设该顾客在此商场的购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元．
由题可知，y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0，0＜x≤800，,0.05（x－800），800＜x≤1300，,0.1（x－1300）＋25，x＞1300.))
∵y＝50＞25，∴x＞1300，
∴0.1(x－1300)＋25＝50，解得x＝1550.
1550－50＝1500(元)．
故此人购物实际所付金额为1500元．
3．(多选)在某种金属材料的耐高温试验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．给出下列说法，其中正确的是( BD )
A．前5min温度增加的速度越来越快
B．前5min温度增加的速度越来越慢
C．5min以后温度保持匀速增加
D．5min以后温度保持不变
E．温度随时间的变化情况无法判断
[解析] 温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后y关于t的增量保持为0，则BD正确．
4．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用y1(千元)、乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则( ABC )
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1
C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用
[解析] 由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1＝0.5x＋1，故A、B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元，故C正确；当x＝8时，y1＝0.5×8＋1＝5，y2＝eq \f(1,4)×8＋eq \f(5,2)＝eq \f(9,2)，因为y1＞y2，所以当印制8千个证书时，选择乙厂更节省费用，故D不正确．
二、填空题
5．某零售商购买某种商品的进价P(单位：元/千克)与数量x(单位：千克)之间的函数关系的图象如图所示．现此零售商仅有现金2700元，他最多可购买这种商品__90__千克．
[解析] 由题意得，购买这种商品所需费用y(单位：元)与数量x(单位：千克)之间的函数关系式为y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(37x，0＜x≤10，,32x，10＜x≤50，,30x，50＜x≤100，,27x，100＜x≤150，,25x，x＞150，))从而易得30×50＜2700＜30×100，即该零售商购买这种商品的数量应在50千克与100千克之间，故最多可购买这种商品eq \f(2700,30)＝90(千克)．
6．甲工厂八年来某种产品的年产量y与年份代号x的函数关系如图所示．现有下列四种说法：
①前三年该产品的年产量增长速度越来越快；
②前三年该产品的年产量增长速度越来越慢；
③第三年后该产品停止生产；
④第三年后该产品的年产量保持不变．
其中说法正确的是__②④__．
[解析] 设年产量y与年份代号x的关系为f(x)，由图，可知前三年该产品的年产量的增长速度越来越慢，故①错误，②正确；由图，可知从第四年开始该产品的年产量不发生变化，且f(4)≠0，故③错误，④正确．
7．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为__800__副．
[解析] 由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少为800副时才不亏本．
三、解答题
8．某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品的价格为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价格为(n＋1)元时比礼品价格为n(n∈N＋ )元时的销售量增加10%.设未赠送礼品时的销售量为m件．
(1)写出礼品价格为n元时，利润yn(单位：元)与n(单位：元)的函数关系式；
(2)请你设计礼品的价格，以使商店获得最大利润．
[解析] (1)当礼品价格为n元时，销售量为m(1＋10%)n件，故利润yn＝(100－80－n)·m(1＋10%)n
＝m(20－n)·1.1n(0(2)令yn＋1－yn≥0，即m(19－n) ·1.1n＋1－m(20－n)·1.1n≥0，解得n≤9.所以y1令yn＋1－yn＋2≥0，即m(19－n)·1.1n＋1－m(18－n)·1.1n＋2≥0，解得n≥8.所以y9＝y10>y11>y12>y13>…>y19.所以礼品价格为9元或10元时，商店获得最大利润．
9．某创业团队拟生产A，B两种产品，根据市场预测，A产品的利润与投资额成正比(如图1)，B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2)．(注：利润与投资额的单位均为万元)
(1)分别将A，B两种产品的利润f(x)，g(x)表示为投资额x的函数；
(2)该团队已筹到10万元资金，并打算全部投入A，B两种产品的生产，问：当B产品的投资额为多少万元时，生产A，B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？
解析：(1)由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq \r(x)，则f(1)＝k1＝0.25，g(4)＝2k2＝2.5，k2＝1.25.
所以f(x)＝0.25x(x≥0)，
g(x)＝1.25eq \r(x)(x≥0)．
(2)设B产品的投资额为x万元，则A产品的投资额为(10－x)万元．
y＝f(10－x)＋g(x)＝0.25(10－x)＋1.25eq \r(x)(0≤x≤10)，
令t＝eq \r(x)，则y＝－0.25t2＋1.25t＋2.5，
所以当t＝2.5，即x＝6.25时，收益最大，ymax＝eq \f(65,16)万元．
答：投资B产品6.25万元，A产品3.75万元时，能获得最大利润，最大利润为eq \f(65,16)万元．可以享受折扣优惠金额
折扣率
不超过500元的部分
5%
超过500元的部分
10%