北师大版 (2019)必修 第一册第五章 函数应用1 方程解的存在性及方程的近似解1.1 利用函数性质判定方程解的存在性达标测试

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册第五章 函数应用1 方程解的存在性及方程的近似解1.1 利用函数性质判定方程解的存在性达标测试，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．(山东省学业水平考试)函数f(x)＝x3－x的零点个数是( D )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x1＝0，x2＝1，x3＝－1，即函数的零点为－1，0，1，其3个．
2．下列命题中真命题的个数是( D )
①若f(a)·f(b)<0，函数f(x)在[a，b]上单调且图象连续，则函数y＝f(x)在(a，b)内只有一个零点；
②若f(a)·f(b)>0，函数f(x)在[a，b]上单调且图象连续，则函数y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点；
③若f(a)·f(b)>0，且函数f(x)在[a，b]上不单调，则函数f(x)是否存在零点不确定；
④若f(a)·f(b)＝0，则a或b是函数f(x)的零点．
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 根据函数零点的概念及函数零点存在定理可得四个命题都是真命题．
3．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为( BCD )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
[解析] 因为f(2)>0，f(3)<0，即f(2)·f(3)<0，又函数的图象是连续的，所以断定f(x)的零点所在的一个区间为(2，3)．同理可得f(x)的零点所在的区间为(3，4)，(4，5)．
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－2x，x≤1，,x2，x>1，))则函数g(x)＝f(x)－2的零点个数为__2__．
[解析] 令函数g(x)＝f(x)－2＝0，则f(x)＝2.
当x≤1时，令3－2x＝2，解得x＝eq \f(1,2)；
当x>1时，令x2＝2，解得x＝eq \r(2)或x＝－eq \r(2)(舍去)，
所以函数g(x)的零点为x＝eq \f(1,2)或x＝eq \r(2)，
所以函数g(x)＝f(x)－2有两个零点．
二、填空题
5．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是__(0，4)__．
[解析] 由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象(如图)，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.
三、解答题
6．已知二次函数f(x)的图象过点(0，3)，它的图象的对称轴为x＝2，且函数f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．
[解析] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a).
∵f(0)＝3，∴c＝3.
又∵－eq \f(b,2a)＝2，∴－eq \f(b,a)＝4.
∴xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)))eq \s\up12(2)－eq \f(2c,a)＝16－eq \f(6,a)＝10，
∴a＝1，b＝－4.
∴f(x)＝x2－4x＋3.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1010个，则f(x)的零点的个数为( D )
A．1010 B．1011
C．2020 D．2021
[解析] ∵f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内有1010个零点，
∴在(－∞，0)内也有1010个零点．
又∵f(0)＝0，∴共有2020＋1＝2021(个)零点．
2．下列图象对应的函数中有零点的是( BCD )
[解析] 因为函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A中的图象对应的函数没有零点．B、C、D有零点．
3．若关于x的方程eq \f(|x|,x－2)＝kx有三个不等零点，则实数k可取值为( ACD )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(3,4)
C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,8)
[解析] 由题意可知k≠0，
∵eq \f(|x|,x－2)＝kx，∴kx2－2kx＝|x|，
当x≥0时，kx2－2kx＝x，
解得x＝0或x＝eq \f(2k＋1,k)，
∴eq \f(2k＋1,k)>0，∴k>0或k<－eq \f(1,2).
当x<0时，kx2－2kx＝－x，
解得x＝0(舍去)或x＝eq \f(2k－1,k)，
∴eq \f(2k－1,k)<0，∴0综上可知，k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).故选ACD．
二、填空题
4．观察下图函数y＝f(x)的图象，填空：
当x∈__{－2，2，3}__时，f(x)＝0；
当x∈__(－∞，－2)∪(3，＋∞)__时，f(x)＞0.
当x∈__(－2，2)∪(2，3)__时，f(x)＜0.
[解析] 根据图象知，f(x)＝0的解集是：{－2，2，3}．
f(x)＞0的解集是：(－∞，－2)∪(3，＋∞)，
f(x)＜0的解集是：(－2，2)∪(2，3)．
5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x≥0，,－x2＋2x，x＜0，))若f(a)≤3，则a的取值范围是__(－∞，1]__．
[解析] 当a≥0时，a2＋2a≤3，所以0≤a≤1，当a＜0时，－a2＋2a≤3，所以a＜0.
综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．
三、解答题
6．若函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，求实数a的取值集合．
[解析] ①当a－1＝0，即a＝1时，函数为y＝x＋2，显然该函数的图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．
②当a－1≠0，即a≠1时，函数y＝(a－1)x2＋x＋2是二次函数．
∵函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，
∴关于x的方程为(a－1)x2＋x＋2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝1－8(a－1)＝0，解得a＝eq \f(9,8).
综上所述，实数a的取值集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a＝1或a＝\f(9,8))))).x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678