高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 用函数模型解决实际问题课后复习题

用函数模型解决实际问题

[A级　基础巩固]

1．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2018年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　)

A．y＝0.95·m　　　　　 B．y＝(1－0.05)·m

C．y＝0.9550－x·m  D．y＝(1－0.0550－x)·m

解析：选A　设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%.由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝0.95，所以从2018年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝0.95·m.

2．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)

A．16小时  B．20小时

C．24小时  D．28小时

解析：选C　由题意得即＝e11k，于是当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24(小时)．

3．一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半)t等于(　　)

A．lg   B．lg

C.  D.

解析：选C　由题意知a(1－8%)t＝，即(1－8%)t＝，等式两边取对数得lg 0.92t＝lg 0.5，即tlg 0.92＝lg 0.5，∴t＝，故C选项是正确的．

4．已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t(分)满足的函数关系式为h(t)＝mat.若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知lg 2≈0.3，结果取整数)(　　)

A．33分钟  B．43分钟

C．50分钟  D．56分钟

解析：选B　依题设有

解得a＝2，m＝0.05，故h(t)＝0.05×(2)t.

令h(t)＝0.05×(2)t＝1，得(2)t＝20，

故t＝＝≈≈43(分钟)．

5．(多选)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是(　　)

A．出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元

B．出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元

C．某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用

D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9 km

解析：选BCD　在A中，出租车行驶4 km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15元，A错误；在B中，出租车行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45元，B正确；在C中，乘出租车行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，C正确；在D中，设出租车行驶x km时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75<22.6知x>8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确．

6．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10 m处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6 m时，球到达最高点，此时球高3 m，已知球门高2.44 m并且球按抛物线飞行，球________踢进球门(填“能”或“不能”)．

解析：建立如图所示的坐标系，抛物线经过点(0，0)，顶点为(6，3)．

设其解析式为y＝a(x－6)2＋3，把x＝0，y＝0代入，得a＝－，

∴y＝－(x－6)2＋3.

当x＝10时，y＝－(10－6)2＋3＝<2.44.

∴球能踢进球门．

答案：能

7.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y(单位：℃)与时间t(单位：min)近似满足一次函数关系(图象为图中的直线)；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y与时间t近似满足的函数关系式为y＝80＋b(a，b为常数)(图象为图中的曲线)，通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示．那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为________．

解析：由题意知当0≤t≤5时，图象是直线，当t≥5时，图象对应的解析式为y＝80＋b，图象过点(5，100)和点(15，60)，则得即y＝80＋20，t≥5，当y＝40时，得80＋20＝40，即80＝20，得＝，得＝2，得t＝25，即最少需要的时间为25 min.

答案：25 min

8．(2021·石家庄二中高一月考)如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．

由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案，根据图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义，用文字说明图②方案是________，图③方案是________．

解析：由题图①知，点A表示无人乘车时，收支差额为－20元，即运行成本为20元；点B表示10人乘车，收支平衡，收支差额为0.线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示盈利．题图②与题图①相比，一次函数的一次项系数不变，图象与y轴负半轴的交点上移，故题图②表示降低成本，票价不变，题图③与题图①相比，一次项系数增大，图象与y轴负半轴的交点不变，故题图③表示增加票价，故答案为降低成本，票价不变；增加票价．

答案：降低成本，票价不变　增加票价

9．某食品厂对蘑菇进行深加工，每千克蘑菇的成本为20元，并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查，日销售量q(单位：kg)与ex成反比，当每千克蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100 kg.

(1)求该工厂的日销售利润y(单位：元)与每千克蘑菇的出厂价x(单位：元)的函数关系式；

(2)若t＝5，当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的日销售利润y为100e4元？

解：(1)设日销售量q＝(25≤x≤40)，则＝100，

∴k＝100e30，

∴日销售量q＝(25≤x≤40)，

∴y＝(25≤x≤40)．

(2)当t＝5时，y＝＝100e4，则x－25＝ex－26，可求得方程x－25＝ex－26的解为x＝26，

∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的日销售利润为100e4元．

10．芦荟是一种经济作物，可以入药，有美容、保健的功效．某人准备栽培并销售芦荟，为了解行情，进行市场调研．从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/千克)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：

(1)根据表中数据，从下列选项中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数式：①Q＝at＋b；②Q＝at2＋bt＋c；③Q＝a·bt；④Q＝alogbt；

(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．

解：(1)由表中所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是单调函数，又函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt均为单调函数，这与表格提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述，即选②.

(2)将表格所提供的三组数据分别代入函数关系式Q＝at2＋bt＋c，

得解得

所以反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.

当t＝150时，芦荟种植成本最低，为×1502－×150＋＝10(元/千克)．

[B级　综合运用]

11．某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉．现环保局要求其整改，降低声强．已知声强I(单位：W/m2)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L(单位：dB)与声强I的函数关系式为L＝10lg(aI)，其中a为正实数．已知I＝1013 W/m2时，L＝10 dB.若整改后的施工噪音的声强为原声强的10－2，则整改后的施工噪音的声强级降低了(　　)

A．50 dB  B．40 dB

C．30 dB  D．20 dB

解析：选D　由已知得10＝10·lg(a×1013)，解得a＝10－12，故L＝10·lg(10－12×I)＝10(－12＋lg I)．

设施工噪音原来的声强为I1，声强级为L1，整改后的声强为I2，声强级为L2，

则L1－L2＝10(－12＋lg I1)－10(－12＋lg I2)＝10(lg I1－lg I2)＝10·lg ＝20.故选D.

12．中国的钨矿资源储量丰富，在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%，居全球首位．中国又属赣州钨矿资源最为丰富，其素有“世界钨都”之称．某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝.测得数据如表(部分).

(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；

(2)求函数f(x)的最大值．

解：(1)当0≤x<6时，由题意，

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由题中表格数据可得

解得

所以当0≤x<6时，f(x)＝－x2＋2x.

当x≥6时，f(x)＝，

由题中表格数据可得，f(9)＝＝，解得t＝7，

所以当x≥6时，f(x)＝.

综上，f(x)＝

(2)当0≤x<6时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－4)2＋4，

所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，为4；

当x≥6时，f(x)＝单调递减，

所以f(x)的最大值为f(6)＝＝3，

因为4>3，

所以函数f(x)的最大值为4.