高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性学案设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性学案设计，共8页。


路边有一条河，小明从A点走到了B点．观察下列两幅图．
[问题] 推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河？



知识点一 函数的零点
1．函数的零点
使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
eq \a\vs4\al()
1．函数的零点是实数，而不是点．如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1，0)．
2．并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)＝eq \f(1,x)，y＝x2＋1均没有零点．
3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．
1．函数f(x)＝lg2x的零点是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：A
2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个．
答案：3
知识点二 函数零点存在定理
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)eq \a\vs4\al(<)0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有eq \a\vs4\al(一)个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有eq \a\vs4\al(一)个解．
1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)·f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数．
2．函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)<0?
提示：不一定，如f(x)＝x2在区间(－1，1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.
1．(2021·宁德高一月考)函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析：选A f(－2)＝－5，f(－1)＝1，f(0)＝1，f(1)＝1，f(2)＝7.因为f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)>0，f(0)·f(1)>0，f(1)·f(2)>0，所以函数f(x)＝x3－x＋1的零点所在的区间是(－2，－1)，故选A.
2．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，则实数a＝________．
解析：当a＝0时，令y＝－x－1＝0，解得x＝－1，符合题意；当a≠0时，函数y＝ax2－x－1为二次函数，因为函数y＝ax2－x－1只有一个零点，所以Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－eq \f(1,4)，符合题意．故实数a＝0或－eq \f(1,4).
答案：0或－eq \f(1,4)
[例1] (1)求函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点；
(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．
[解] (1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点为－3和e2.
(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，则b＝3a，
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝－eq \f(1,3).
所以函数g(x)＝bx2＋ax的零点为0和－eq \f(1,3).
eq \a\vs4\al()
函数零点的求法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是( )
A．－eq \f(1,2)，－1 B.eq \f(1,2)，1
C.eq \f(1,2)，－1 D．－eq \f(1,2)，1
解析：选B 方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝eq \f(1,2)，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是eq \f(1,2)，1.
2．若f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－x－1，x≥2或x≤－1，,1，－1解析：求g(x)的零点即求f(x)＝x的根，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥2或x≤－1，,x2－x－1＝x))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－1解得x＝1＋eq \r(2)或x＝1.
∴g(x)的零点为1＋eq \r(2)，1.
答案：1＋eq \r(2)，1
角度一 判断函数零点个数
[例2] 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
[解] 法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．
故函数f(x)有且只有一个零点．
法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
eq \a\vs4\al()
判断函数零点个数的4种常用方法
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点；
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数；
(3)结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数；
(4)转化成两个函数图象的交点问题．
角度二 根据零点个数求参数范围
[例3] 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex＋a，x≤0，,3x－1，x>0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(－1，0) D．[－1，0)
[解析] 当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝eq \f(1,3).
因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，
∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.
[答案] D
eq \a\vs4\al()
已知函数有零点(方根有根)求参数范围的常用方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．
[跟踪训练]
若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－a，x≤0，,ln x，x>0，))有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，
令f(x)＝0得a＝2x，
因为0<2x≤20＝1，所以0所以实数a的取值范围是(0，1]．
答案：(0，1]
[例4] (链接教科书第129页例1、例2)求证：方程3x＝eq \f(2－x,x＋1)在区间(0，1)内必有一个实数根．
[证明] 设函数f(x)＝3x－eq \f(2－x,x＋1)＝3x－eq \f(3,x＋1)＋1，则函数f(x)在(0，1)上单调递增．
而f(0)＝30－2＝－1<0，f(1)＝31－eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)>0，f(0)·f(1)<0，因为函数f(x)在区间(0，1)内的图象是一条连续曲线，
所以由零点存在定理可知函数f(x)在区间(0，1)内有零点，且只有一个．
所以方程3x＝eq \f(2－x,x＋1)在区间(0，1)内必有一个实数根．
eq \a\vs4\al()
判断方程在区间内解的存在性问题的常用方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；
(2)利用零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点；
(3)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
[提醒] 函数零点存在定理是不可逆的，f(a)·f(b)<0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但是函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，不一定能推出f(a)·f(b)<0.
[跟踪训练]
1．方程2x－eq \f(2,x)－a＝0的一个解在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
解析：选C 设函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a，易知函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a在区间(1，2)内是增函数，又方程2x－eq \f(2,x)－a＝0的一个解在区间(1，2)内，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（1）＝2－2－a<0，,f（2）＝22－1－a>0，))解得02．方程ln x＋x－3＝0在区间(2，3)内有没有解？为什么？
解：设函数f(x)＝ln x＋x－3，
因为f(2)＝ln 2＋2－3＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3＋3－3＝ln 3>0，且f(x)的图象是一条连续的曲线，
所以由零点存在定理可知方程f(x)＝0在区间(2，3)内有解，即方程ln x＋x－3＝0在区间(2，3)内有解．
1．(多选)下列图象表示的函数中有两个零点的有( )
解析：选CD 有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故选C、D.
2．根据表格中的数据可以判定方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
解析：选C 设f(x)＝ln x－x＋2＝ln x－(x－2)，易知函数f(x)在(1，＋∞)上的图象连续，由表格数据得f(3)＝ln 3－(3－2)＝1.099－1＝0.099>0，f(4)＝ln 4－2＝1.386－2<0，f(1)>0，f(2)>0，f(5)<0，则f(3)·f(4)<0，即在区间(3，4)上，函数f(x)存在一个零点，即方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(3，4)，故选C.
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1，x<2，,f（x－2），x≥2，))g(x)＝3－eq \f(1,2)x，则方程f(x)＝g(x)的解的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C 因为函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1，x<2，,f（x－2），x≥2，))当x<2时，f(x)＝2x－1是增函数，且f(x)<3，g(x)＝3－eq \f(1,2)x是R上的减函数，经过点(0，3)和(6，0)．
又因为当x≥2时，f(x)＝f(x－2)，所以f(x)在[2，4)，[4，6)，[6，8)，…上的图象与[0，2)上的图象相同，f(x)与g(x)的图象如图所示，共有4个交点，所以方程f(x)＝g(x)共有4个解．故选C.
4．若方程|lg x|－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)＋a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
解析：选B 因为|lg x|－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)＋a＝0有两个不相等的实数根⇔函数y＝|lg x|与函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－a的图象有两个不同的交点，在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，如图．
要使两个函数的图象有两个交点，
必须有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(1)－a>0，解得a5．若方程x2＋(m－2)x＋1＝0的两个根分别在区间(0，1)和(1，2)之内，则实数m的取值范围为________．
解析：∵方程x2＋(m－2)x＋1＝0的两个零点分别在区间(0，1)和(1，2)之内，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）>0，,f（1）<0，,f（2）>0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1>0，,,1＋m－2＋1<0，,4＋2（m－2）＋1>0，))解得－eq \f(1,2)答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
新课程标准解读
核心素养
1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系
数学抽象、直观想象、数学运算
2.了解函数零点存在定理，会判断函数零点的个数
直观想象、逻辑推理
求函数的零点
函数零点个数问题
方程在某区间内解的情况问题
x
1
2
3
4
5
ln x
0
0.693
1.099
1.386
1.609
x－2
－1
0
1
2
3