北师大版 (2019)必修 第一册1.1 利用函数性质判定方程解的存在性学案设计

5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性

【教学目标】

重点、难点

重点：函数零点概念及方程解存在的判定。

难点：方程解存在的条件的探索。

学科素养

    在探索中体验“数学语言”的严谨性。培养学生由具体到抽象、由特殊到一般地认识事物的意识。

【知识清单】

1 ．函数的零点概念

(1)概念：使得 f ( x 0 )＝0 的数 x 0 称为方程 f ( x )＝0的解 ， 也称为函数 f ( x )的零点．

(2)方程、函数、图象之间的关系：

函数 y ＝ f ( x )的 零点 就是函数 y ＝ f ( x )的图象与 x 轴交点的横坐标 ， 也就是方程 f ( x )＝0的解．

2． 零点存在定理

若函数 y ＝ f ( x )在闭区间[ a ， b ]上的图象是一条 连续 的曲线 ， 并且在区间端点的函数值 一正一负 ， 即 f ( a )· f ( b )<0 ， 则在开区间( a ， b )内 ， 函数 y ＝ f ( x )至少有一个零点 ， 即在区间( a ， b )内相应的方程 f ( x )＝0至少有一个解.

思考：(1)函数的“零点”是一个点吗？

提示：不是 ， 函数的“零点”是一个数 ， 一个使 f ( x )＝0的实数 x .实际上是函数 y ＝ f ( x )的图象与 x 轴交点的横坐标．

(2)若 f ( a )· f ( b )>0 ， 那么函数 y ＝ f ( x )在区间( a ， b )内一定没有零点吗？

提示：不一定．如 y ＝ x 2 －1在区间(－2 ，2 )上有两个零点 ， 但 f (2)· f (－2)>0.

【经典例题】

求函数的零点

【例1】　求下列函数的零点．

(1) f ( x )＝ x 2 ＋7 x ＋6；

(2) f ( x )＝1－ log 2 ( x ＋3)；

(3) f ( x )＝2 x －1 －3；

(4) f ( x )＝ .

判断函数零点所在的区间

【例2】　已知函数 f ( x )＝ x 3 － x －1仅有一个正零点 ， 则此零点所在的区间是(　　)

A． (3 ，4 )　　  B．(2 ，3 )

C． (1 ，2 )   D．(0 ，1 )

函数零点的个数问题

【例3】　判断下列函数零点的个数．

(1) f ( x )＝ x 2 － x ＋ ；

(2) f ( x )＝ ln  x ＋ x 2 －3.

【课堂达标】

1．函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是(　　)

A．(0,1) B．(1,10) C．(10,100) D．(100，＋∞)

2．已知都是常数，.若的零点为，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．若函数的零点是（），则函数的零点是（    ）

A． B．和 C． D．和

4．设，则函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

5．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)＝0在[a，b]内（    ）

A．至少有一个实根 B．至多有一个实根

C．没有实根 D．有唯一实根

6．函数的零点是（    ）

A． B． C． D．

7．设是函数的零点，且，，则（    ）

A． B． C． D．

8．当时，函数的值有正也有负，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，则m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

10．函数 的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

11．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B．

C． D．

12．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上（    ）

A．至少有一实数根 B．至多有一实数根

C．没有实数根 D．必有唯一的实数根

13．设函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是__.

14．已知函数f(x)的定义域为R，满足f（x+2）＝2f(x)，且当x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3.有以下三个结论：

①f（-1）；

②当a∈（，]时，方程f(x)＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根；

③函数f(x)有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z.

其中，所有正确结论的序号是_____.

15．方程的解是   

【能力提升】

16．函数的零点是________

17．已知函数，若恒成立，则a的值为________.

18．已知实数，满足，，其中e是自然对数的底数，则___________.

19．函数的零点为_____________.

20．已知函数有两个不同零点,.

(1)求a的取值范围;

(2)证明:当时,.

【参考答案】

【经典例题】

【例1】[解]　(1)解方程 f ( x )＝ x 2 ＋7 x ＋6＝0 ，

得 x ＝－1或 x ＝－6 ， 所以函数的零点是－1 ， －6.

(2)解方程 f ( x )＝1－ log 2 ( x ＋3)＝0 ， 得 x ＝－1 ， 所以函数的零点是－1.

(3)解方程 f ( x )＝2 x －1 －3＝0 ， 得 x ＝ log 2 6， 所以函数的零点是 log 2 6.

(4)解方程 f ( x )＝ ＝0 ， 得 x ＝－6 ， 所以函数的零点为－6.

【例2】[思路点拨]　利用零点存在定理判断．

C 　[∵ f (0)＝－1<0 ， f (1)＝－1<0 ， f (2) ＝ 5>0 ， f (3)＝23>0 ， f (4)＝59>0.∴ f (1)· f (2)<0 ， 此零点一定在(1 ，2 )内．]

【例3】[解]　(1)由 f ( x )＝0 ， 即 x 2 － x ＋ ＝0 ，

得 Δ ＝ －4× ＝－ <0 ，

所以方程 x 2 － x ＋ ＝0没有实数根 ， 即 f ( x )零点的个数为0.

(2)法一：函数对应的方程为 ln  x ＋ x 2 －3＝0 ， 所以原函数零点的个数即为函数 y ＝ ln  x 与 y ＝3－ x 2 的图象交点个数．

在同一直角坐标系下 ， 作出两函数的图象(如图).

由图象知 ， 函数 y ＝3－ x 2 与 y ＝ ln  x 的图象只有一个交点．从而方程 ln  x ＋ x 2 －3＝0只 有 一个根，即函数 y ＝ ln  x ＋ x 2 －3有一个零点．

法二：由于 f (1)＝ ln 1 ＋1 2 －3＝－2<0 ， f (2)＝ ln 2 ＋2 2 －3＝ ln 2 ＋1>0 ， 所以 f (1)· f (2)<0 ， 又 f ( x )＝ ln  x ＋ x 2 －3的图象在(1 ，2 )上是不间断的 ，

所以 f ( x )在(1 ，2 )上必有零点 ， 又 f ( x )在(0 ， ＋∞)上是递增的 ， 所以零点只有一个．

【课堂达标】

1．B

【解析】

函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增，

∵，

∴在（1，10）内函数f（x）存在零点，

故选B

点睛：函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．

2．B

【解析】

【分析】

此题可转化为与的交点的横坐标为，利用二次函数的图像即可得到.

【详解】

若的零点为，则与的交点的横坐标为，

令，则与轴的交点的横坐标为，

如图所示，

其中，

故选：B.

【点睛】

此题考零点的概念即利用图像比较大小，属于简单题.

3．B

【解析】

【分析】

首先根据的零点是求得的关系式，对因式分解，由此求得的零点.

【详解】

由条件知，∴，∴的零点为和.

故选B.

【点睛】

本小题主要考查函数零点的知识运用，属于基础题.

4．B

【解析】

【分析】

根据的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论.

【详解】

在单调递增，

且，

根据零点存在性定理，

得存在唯一的零点在区间上.

故选：B

【点睛】

本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题.

5．D

【解析】

【分析】

先判断函数的单调性，然后利用零点存在性定理判断即可

【详解】

解：设，且，则

，

因为，所以，即

所以f(x)＝－x－x3在[a，b]上单调递减，

因为f(a)·f(b)＜0，

所以f(x)＝0在[a，b]内有唯一解.

故选：D

【点睛】

此题考查在是函数零点存在性定理的应用，属于基础题.

6．D

【解析】

【分析】

求出方程的解，即可判断.

【详解】

令，解得或1，

所以函数的零点是和1.

故选：D.

【点睛】

本题考查零点的求解，属于基础题.

7．C

【解析】

【分析】

分析函数的单调性，结合零点存在定理可求得整数的值.

【详解】

由于函数单调递增，且，，由零点存在定理可知，

因此，.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用零点存在定理求参数，考查计算能力，属于基础题.

8．C

【解析】

【分析】

转化为与的函数值异号，列式可解得结果.

【详解】

函数的对称轴为，当时，函数单调，

所以由零点存在定理当函数值有正也有负时，等价于与的函数值异号，

即，也就是，解得.

故选：C

【点睛】

本题考查了零点存在性定理，属于基础题.

9．B

【解析】

【分析】

直接利用零点存在性定理求解即可

【详解】

解：因为函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1，2)内，且此函数是连续函数，

所以，即

解得，

故选：B

【点睛】

此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题

10．B

【解析】

【分析】

直接利用零点存在定理计算得到答案.

【详解】

，易知函数单调递增，

，，故函数在上有唯一零点.

故选：B.

【点睛】

本题考查了零点存在定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.

11．B

【解析】

【分析】

先判断函数的单调性，然后利用零点存在性定理求解即可

【详解】

解：因为函数在上均为减函数，

所以函数在上为减函数，

因为，

所以函数的零点所在的区间为，

故选：B

【点睛】

此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题

12．D

【解析】

【分析】

由零点存在性定理可知f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，而函数f(x)在区间[a，b]上单调，从而可判断结果

【详解】

解：由题意知函数f(x)为连续函数，

∵f(a)·f(b)＜0，

∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，

又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，

∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点，

故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根.

故选：D.

【点睛】

此题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.

13．，.

【解析】

【分析】

令，，求出函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，推出结果即可.

【详解】

解：令，，

则，

令，得或（舍去）

当时，；当时，，

所以在上是减函数，在上是增函数，又，（1），

而在上是增函数，且，作出函数的图象如图，由得，所以当即时，函数与的图象有两个交点.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数的零点与方程的根的关系，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

14．①②.

【解析】

【分析】

由题意可得函数f(x)的大致图象，根据图像逐个判断，即可判断出所给命题的真假.

【详解】

如图：

对①，因为函数f(x)的定义域为R，

满足f（x+2）＝2f(x)，x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3，

所以f（-1）f（-1+2）

f（1）•（21﹣3），所以①正确；

对②，f(x)的大致图象如图所示可得当a∈（，]时，

方程f(x)＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根，所以②正确

对③，因为x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3＝0，

x＝log23，又因为f（x+2）＝2f(x)，

所以函数f(x)由无数个零点，

但没有整数零点，所以③不正确；

故答案为：①②.

【点睛】

本题考查了类周期函数的图像与性质，考查了数形结合思想和函数方程思想，属于中当题.

15．

【解析】

【分析】

利用换元法，结合指数方程和一元二次方程之间的关系进行求解即可．

【详解】

由得，设t＝2x，则t＞0，

则方程等价为t2+t-2＝0，即（t+2）（t﹣1）＝0，解得t＝1，或t＝-2（舍）

由2x＝1得x＝0，

故答案为．

【点睛】

本题主要考查指数的方程的求解，利用换元法将方程转化为一元二次方程是解决本题的关键，属于基础题．

【能力提升】

16．，

【解析】

【分析】

根据函数解析式，令，分别求出所对应的的值，即可得解；

【详解】

解：因为，令，

当时，，解得

当，，解得（舍去）或

故函数的零点为，

故答案为：，

【点睛】

本题考查函数的零点的计算，属于基础题.

17．0

【解析】

【分析】

要使得在定义域上恒成立，则函数和函数必有相同零点，列出方程组，即可求解.

【详解】

由题意，令，解得或，

因为恒成立，所以函数的零点也为或，

所以，即，解得，

当时，，

当时，，，可得恒成立，

当时，，，可得恒成立，

综上可得，当时，在定义域上恒成立，

所以实数a的值为.

故答案：.

【点睛】

本题主要考查了不等式的恒成立问题，其中解答中转化为两个函数有相同的零点，列出方程组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

18．

【解析】

【分析】

把已知等式取对数，得到两个关系，抽象成一个方程的解，再根据方程的解的唯一性，得到，关系，进而求出结论.

【详解】

因为，

所以，即，

所以，均为方程的根，

又因为方程的根唯一，

所以.

故答案为:

【点睛】

本题考查数与方程的关系，解题的关健要把两个条件式子化为结构一致，然后构造出一个方程，考查抽象概括能力，属于难题.

19．

【解析】

【分析】

令，解方程即可.

【详解】

令，即，解得：，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查函数零点的求解，属于基础题.

20．(1);(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）求出导函数，求出函数的单调递增、递减区间，从而在处取得最大值,需满足,然后验证在，分别有零点即可.

（2）由(1)可知,,证出，再利用函数的单调性即可得出，从而得证.

【详解】

(1)由题,,

则当时,,单调递增;

当时,,单调递减.

故在处取得最大值,由题可知,需满足,即.     

当时,,,

故函数在上存在一个根,

存在,

使得

,

从而函数在上存在一个根,

故a的取值范围为.     

(2)由(1)可知,,

因此

令,

则,

而,即,

从而在上单调递减.所以,       

因此,又因为在上单调递减,且,,

所以,从而.

【点睛】

本题考查了函数的零点以及导数在研究函数单调性性中的应用，属于难题.