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    江苏省南京市第五中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题
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    江苏省南京市第五中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题

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    南京五中2020学年第一学期10月月考试卷(数学)

    一、单项选择题

    1. 设全集为R,集合A={x|0<x<2}B={x|x≥1},则A∩(CRB)等于(   

    A. (01] B. (01) C. [12) D. (02)

    【答案】B

    【解析】

    【分析】

    首先求出,再求即可.

    【详解】,所以.

    故选:B

    2. 已知集合,若,则实数a的值为(   

    A. 4 B. 2 C. -2 D. 4

    【答案】C

    【解析】

    【分析】

    由集合元素的特性和2属于集合A,直接计算判断求解即可得出答案.

    【详解】由集合,可得,则得,又因为可得,解得,即C选项正确.

    故选:C.

    【点睛】本题考查了集合元素特性的利用,考查了由元素属于集合求参数的问题,属于一般难度的题.

    3. 下列说法正确的是(   

    A. 方程的解集是

    B. 方程的解集为{(-23)}

    C. 集合M={y|y=x2+1xR}与集合P={(xy)|y=x2+1xR}表示同一个集合

    D. 方程组的解集是{(xy)|x=-1y=2}

    【答案】D

    【解析】

    【分析】

    根据集合表示方法依次判断即可.

    【详解】对于A,方程的解集是,故A错误;

    对于B,方程的解集为,故B错误;

    对于C,集合表示数集,集合表示点集,故不是同一集合,故C错误;

    对于D,由解得,故解集为{(xy)|x=-1y=2},故D正确.

    故选:D.

    4. 若集合,则下面结论中正确的是(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】根据集合与集合关系、元素与集合的关系可得BC错误,再根据为无理数可得正确的选项.

    【详解】因为表示元素,表示集合,故BC错误.

    因为不是自然数,所以,且不成立,故A也错误,D正确,

    故选:D.

    【点睛】本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断,一般地,集合与集合之间用包含或不包含,

    5. 若实数满足,则取值范围是(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】

    由题可得,即可求出.

    【详解】

    ,当且仅当 等号成立,

    .

    故选:A.

    6. 若方程两根都大于 ,则实数的取值范围是( )

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】构造函数,根据二次函数的两个零点都大于列不等式组,解不等式组求得的取值范围.

    【详解】设

    由题意得:

    解之得实数的取值范围为:.

    故选:D

    【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围,属于中档题.

    7. 已知满足,则下列选项中不一定能成立的是

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】

    由已知条件得出的符号不确定,利用不等式的性质以及特殊值法可判断各选项中不等式的正误.

    【详解】的符号不确定.

    对于A选项,,由不等式的基本性质可得A选项中的不等式一定能成立;

    对于B选项,,则,又B选项中的不等式一定能成立;

    对于C选项,取,则;取,则C选项中的不等式不一定成立;

    对于D选项,,则D选项中的不等式一定能成立.

    故选:C.

    【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了不等式的基本性质,实数的性质,难度不大,属于基础题.

    8. 不等式对于一切实数恒成立,则k的取值范围为(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】

    对于一切实数恒成立知,求解即可.

    【详解】解:对于一切实数恒成立,

    即得:

    .

    故选:A.

    二、多项选择题

    9. 下列不等式中,错误的是(   

    A. a>bc>d,则a+c>b+d

    B. a>b,则a+c<b+c

    C. a>bc>d,则ac>bd

    D. a>bc>d,则

    【答案】BCD

    【解析】

    【分析】

    由不等式性质可判断AB;取特殊值可判断CD.

    【详解】对于A,由不等式可加性,若a>bc>d,则a+c>b+d,故A正确,不符合题意;

    对于B,若a>b,则a+c>b+c,故B错误,符合题意;

    对于C,设,则,故C错误,符合题意;

    对于D,设,则,故D错误,符合题意.

    故选:BCD.

    10. 为真命题,为假命题,则集合可以是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】AB

    【解析】

    【分析】

    根据假命题的否定为真命题可知,又,求出命题成立的条件,求交集即可知M满足的条件.

    【详解】假命题,

    为真命题,

    可得

    为真命题,

    可得

    所以

    故选:AB

    【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假,集合的包含关系,属于中档题.

    11. 下列函数中最大值为的是(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】BC

    【解析】

    【分析】

    利用基本不等式逐项判断即可.

    【详解】解:对A

    当且仅当,即时取等号,故A错误;

    B

    当且仅当,又,即时取等号,故B正确;

    C

    当且仅当,即时等号成立,故C正确;

    D

    当且仅当 ,又时取等号,故D错误.

    故选:BC.

    12. 已知关于x的方程,则下列结论中正确的是(   

    A. 方程有一个正根一个负根的充要条件是

    B. 方程有两个正实数根的充要条件是

    C. 方程无实数根的充要条件是

    D. m=3时,方程的两个实数根之和为0

    【答案】AB

    【解析】

    【分析】

    由根与系数的关系可得每个选项的等价条件,即可得的取值范围,进而判断正误.

    【详解】解:对A,当时,函数的值为,由二次函数的图象知,方程有一正一负根的充要条件是,故A正确;

    B,若方程有两个正实数根

    解得:,故B正确;

    C,方程无实数根,

    ,解得:

    方程无实数根的充要条件是,故C错误;

    D,当时,方程为,无实数根,故D错误.

    故答案为:AB.

    【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是利用根与系数的关系以及二次函数判别式.

    三、填空题:

    13. 命题:“”的否定是________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】全称量词:“改为存在量词:改为,即可得解.

    【详解】命题为全称命题,则命题:x0x22x+3≤0”的否定为:

    故答案为:.

    【点睛】本题考查了写全称命题的否定,属于基础题.

    14. 关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为___________

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    首先根据不等式的解集为,得到,再解不等式即可.

    【详解】因为不等式的解集为,所以.

    ,解得

    解集为.

    故答案为:

    15. 已知命题paxa+1,命题qx2-4x<0,若pq的充分不必要条件,则a的取值范围是________

    【答案】

    【解析】

    【分析】化简命题q,根据pq的充分不必要条件,建立不等式组,即可求解.

    【详解】M={x|axa+1}N={x|x2-4x<0}={x|0<x<4}.

    pq的充分不必要条件MN解得0<a<3.

    故填

    【点睛】本题主要考查了充分不必要条件,属于中档题.

    16. 已知非空集合满足,若存在非负实数,使得对任意,均有,则称集合具有性质.那么具有性质的集合的个数为___________

    【答案】

    【解析】

    【分析】

    的取值进行分情况计算讨论满足条件的集合,从而得到答案.

    【详解】解:当时,.

    时,

    时,

    时, .

    所以满足条件的集合8.

    故答案为:8

    【点睛】本题考查集合的新定义问题,解题的关键是根据新定义非空集合满足,且任意,均有,故对分别讨论即可.

    四、解答题

    17. 解下列一元二次不等式:

    1

    2.

    【答案】1;(2

    【解析】

    【分析】

    1)由一元二次不等式的解法求解即可;

    2)将不等式化为可求出.

    【详解】(1)将化为,即

    解得,故不等式的解集为

    2)不等式化为,解得

    故不等式的解集为.

    18. 已知ab均为正数,且ab,求证.

    【答案】证明见解析

    【解析】

    【分析】

    利用作差比较即可证明.

    【详解】

    因为为正数,且,所以

    即证:.

    19. 已知全集,集合.

    1)当时,求

    2)若,求实数的取值范围.

    【答案】1;(2

    【解析】

    【分析】

    1)直接求即可;

    2)首先根据题意得到,再分类讨论的范围,即可得到答案.

    【详解】(1)当时,,所以.

    .

    2,所以.

    时,,解得.

    时,,解得.

    综上:实数的取值范围:.

    20. 设函数

    1)若不等式的解集,求的值;

    2)若

    ,求的最小值;

    上恒成立,求实数的取值范围.

    【答案】1;(2①9

    【解析】

    【分析】(1)由已知可得,的两根是1,然后可求出答案;

    2)由条件可得用基本不等式可求出的最小值,上恒成立,然后可得,结合可求出实数的取值范围.

    【详解】(1)由已知可得,两根是1

    所以,解得

    2

    时等号成立,

    因为,解得时等号成立,

    此时的最小值是9

    上恒成立,

    又因为代入上式可得

    解得:

    【点睛】本题考查的是一元二次不等式和一元二次方程的关系、利用基本不等式求最值和一元二次不等式的恒成立问题,考查了学生对基本知识的掌握情况,属于典型题.

    21. 某火车站正在不断建设,目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无须建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200.设屋子的左右两侧墙的长度均为x(2≤x≤6).

    1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?

    2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.

    【答案】14米;(2(012).

    【解析】

    【分析】

    1)设甲工程队的总造价为y元,则y=900(x+)+7 200,利用基本不等式求解函数的最值即可;

    2)由题意可得,900(x+)+7 200>对任意的x∈[26]恒成立,即可a<=(x+1)++6恒成立,再利用基本不等式求解函数的最值即可

    【详解】(1)设甲工程队的总造价为y元,

    y=3(150×2x+400×)+7 200=900(x+)+7 200(2≤x≤6)

    900(x+)+7 200≥900×2×+7 200=14 400.

    当且仅当x=,即x=4时等号成立.

    即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14 400.

    2)由题意可得,900x++7 200>对任意的x∈[26]恒成立,即

    a<=(x+1)++6

    x+1++6≥2+6=12

    当且仅当x+1=,即x=2时等号成立,

    ∴a的取值范围为(012).

    【点睛】此题考查基本不等式的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中档题.

    22. 已知函数.

    1)若y<0的解集为,求a的值;

    2)若a>0,求关于x的不等式y>0的解集.

    【答案】12;(2)答案见解析

    【解析】

    【分析】

    1)由题可得1的两个根,由韦达定理即可求出;

    2)不等式可化为,分三种情况可得出.

    【详解】(1)若y<0的解集为,则1的两个根,

    ,解得

    2)由,即

    ,即时,不等式的解集为

    ,即时,不等式可化为,不等式的解集为

    ,即时,不等式的解集为.


     

     


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