江苏省南京市第五中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题

南京五中2020学年第一学期10月月考试卷(数学)

一､单项选择题

1. 设全集为R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩(CRB)等于（    ）

A. (0，1] B. (0，1) C. [1，2) D. (0，2)

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求出，再求即可.

【详解】，所以.

故选：B

2. 已知集合，若，则实数a的值为（    ）

A. 或4 B. 2 C. -2 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

由集合元素的特性和2属于集合A，直接计算判断求解即可得出答案.

【详解】由集合，可得，则得，，又因为可得，解得，即C选项正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了集合元素特性的利用，考查了由元素属于集合求参数的问题，属于一般难度的题.

3. 下列说法正确的是（    ）

A. 方程的解集是

B. 方程的解集为{(-2，3)}

C. 集合M={y|y=x2+1，x∈R}与集合P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一个集合

D. 方程组的解集是{(x，y)|x=-1且y=2}

【答案】D

【解析】

【分析】

根据集合表示方法依次判断即可.

【详解】对于A，方程的解集是，故A错误；

对于B，方程的解集为，故B错误；

对于C，集合表示数集，集合表示点集，故不是同一集合，故C错误；

对于D，由解得，故解集为{(x，y)|x=-1且y=2}，故D正确.

故选：D.

4. 若集合，，则下面结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合与集合关系、元素与集合的关系可得B、C错误，再根据为无理数可得正确的选项.

【详解】因为表示元素，表示集合，故B、C错误.

因为不是自然数，所以，且不成立，故A也错误，D正确，

故选：D.

【点睛】本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断，一般地，集合与集合之间用包含或不包含，

5. 若实数满足，则取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题可得，即可求出.

【详解】，

，当且仅当 等号成立，

则， .

故选：A.

6. 若方程两根都大于 ，则实数的取值范围是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数，根据二次函数的两个零点都大于列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】设，

由题意得：，

解之得实数的取值范围为：.

故选：D

【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围，属于中档题.

7. 已知、、满足且，则下列选项中不一定能成立的是

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知条件得出，且的符号不确定，利用不等式的性质以及特殊值法可判断各选项中不等式的正误.

【详解】且，，且的符号不确定.

对于A选项，，，由不等式的基本性质可得，A选项中的不等式一定能成立；

对于B选项，，则，又，，B选项中的不等式一定能成立；

对于C选项，取，则，，；取，，，则，C选项中的不等式不一定成立；

对于D选项，，，则，，，D选项中的不等式一定能成立.

故选：C.

【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，实数的性质，难度不大，属于基础题．

8. 不等式对于一切实数恒成立，则k的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由对于一切实数恒成立知，求解即可.

【详解】解：对于一切实数恒成立，

，

即得：，

即.

故选：A.

二､多项选择题

9. 下列不等式中，错误的是（    ）

A. 若a>b，c>d，则a+c>b+d

B. 若a>b，则a+c<b+c

C. 若a>b，c>d，则ac>bd

D. 若a>b，c>d，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由不等式性质可判断AB；取特殊值可判断CD.

【详解】对于A，由不等式可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，故A正确，不符合题意；

对于B，若a>b，则a+c>b+c，故B错误，符合题意；

对于C，设，则，故C错误，符合题意；

对于D，设，则，故D错误，符合题意.

故选：BCD.

10. 若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据假命题的否定为真命题可知，又，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.

【详解】假命题,

为真命题，

可得，

又为真命题，

可得，

所以，

故选：AB

【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.

11. 下列函数中最大值为的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】

利用基本不等式逐项判断即可.

【详解】解：对A，，

当且仅当，即时取等号，故A错误；

对B，，

当且仅当，又，即时取等号，故B正确；

对C，，

当且仅当，即时等号成立，故C正确；

对D，，

当且仅当 ，又 ，时取等号，故D错误.

故选：BC.

12. 已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ）

A. 方程有一个正根一个负根的充要条件是

B. 方程有两个正实数根的充要条件是

C. 方程无实数根的充要条件是

D. 当m=3时，方程的两个实数根之和为0

【答案】AB

【解析】

【分析】

由根与系数的关系可得每个选项的等价条件，即可得的取值范围，进而判断正误.

【详解】解：对A，当时，函数的值为，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是，故A正确；

对B，若方程有两个正实数根，，

即解得：，故B正确；

对C，方程无实数根，

即，解得：，

方程无实数根的充要条件是，故C错误；

对D，当时，方程为，无实数根，故D错误.

故答案为：AB.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用根与系数的关系以及二次函数判别式.

三､填空题：

13. 命题：“，”的否定是________.

【答案】

【解析】

【分析】全称量词：“”改为存在量词：“”，“”改为“”，即可得解.

【详解】命题为全称命题，则命题：“∀x＜0，x2﹣2x+3≤0”的否定为：，

故答案为：.

【点睛】本题考查了写全称命题的否定，属于基础题.

14. 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___________

【答案】

【解析】

【分析】

首先根据不等式的解集为，得到，，再解不等式即可.

【详解】因为不等式的解集为，所以，.

，解得或，

解集为.

故答案为：

15. 已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】化简命题q，根据p是q的充分不必要条件，建立不等式组，即可求解.

【详解】令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0<x<4}．

∵p是q的充分不必要条件，∴M⫋N，∴，解得0<a<3.

故填

【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，属于中档题.

16. 已知非空集合满足，若存在非负实数，使得对任意，均有，则称集合具有性质.那么具有性质的集合的个数为___________

【答案】

【解析】

【分析】

分的取值进行分情况计算讨论满足条件的集合，从而得到答案.

【详解】解：当时，为.

当时，为，

当时，为，

当时，为 .

所以满足条件的集合有8个.

故答案为：8

【点睛】本题考查集合的新定义问题，解题的关键是根据新定义非空集合满足，且任意，均有，故对分别讨论即可.

四､解答题

17. 解下列一元二次不等式：

（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由一元二次不等式的解法求解即可；

（2）将不等式化为可求出.

【详解】（1）将化为，即，

解得，故不等式的解集为；

（2）不等式化为，解得，

故不等式的解集为.

18. 已知a，b均为正数，且a≠b，求证.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

利用作差比较即可证明.

【详解】

，

因为为正数，且，所以，

即证：.

19. 已知全集，集合，.

（1）当时，求及；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1），或；（2）

【解析】

【分析】

（1）直接求及即可；

（2）首先根据题意得到，再分类讨论的范围，即可得到答案.

【详解】（1）当时，，所以.

或，或，

或.

（2），所以.

当时，，解得.

当时，，解得.

综上：实数的取值范围：.

20. 设函数．

（1）若不等式的解集，求，的值；

（2）若，

①，，求的最小值；

②若在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）①9；②．

【解析】

【分析】（1）由已知可得，的两根是，1，然后可求出答案；

（2）由条件可得，①用基本不等式可求出的最小值，②在上恒成立，然后可得，结合可求出实数的取值范围．

【详解】（1）由已知可得，两根是，1

所以，解得．

（2）①

，

当时等号成立，

因为，，，解得，时等号成立，

此时的最小值是9．

②在上恒成立，

∴，

又因为代入上式可得

解得：．

【点睛】本题考查的是一元二次不等式和一元二次方程的关系、利用基本不等式求最值和一元二次不等式的恒成立问题，考查了学生对基本知识的掌握情况，属于典型题.

21. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).

（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低?

（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.

【答案】（1）4米；（2）(0，12).

【解析】

【分析】

（1）设甲工程队的总造价为y元，则y=900(x+)+7 200，利用基本不等式求解函数的最值即可；

（2）由题意可得，900(x+)+7 200>对任意的x∈[2，6]恒成立，即可a<=(x+1)++6恒成立，再利用基本不等式求解函数的最值即可

【详解】（1）设甲工程队的总造价为y元，

则y=3(150×2x+400×)+7 200=900(x+)+7 200(2≤x≤6)，

900(x+)+7 200≥900×2×+7 200=14 400.

当且仅当x=，即x=4时等号成立.

即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14 400元.

（2）由题意可得，900x++7 200>对任意的x∈[2，6]恒成立，即，

∴a<=(x+1)++6，

又x+1++6≥2+6=12，

当且仅当x+1=，即x=2时等号成立，

∴a的取值范围为(0，12).

【点睛】此题考查基本不等式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.

22. 已知函数.

（1）若y<0的解集为，求a的值；

（2）若a>0，求关于x的不等式y>0的解集.

【答案】（1）2；（2）答案见解析

【解析】

【分析】

（1）由题可得和1是的两个根，由韦达定理即可求出；

（2）不等式可化为，分，，三种情况可得出.

【详解】（1）若y<0的解集为，则和1是的两个根，

则 ，解得；

（2）由得，即，

当，即时，不等式的解集为或；

当，即时，不等式可化为，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为或.

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