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江苏省南京市第五中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题
展开南京五中2020学年第一学期10月月考试卷(数学)
一、单项选择题
1. 设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(CRB)等于( )
A. (0,1] B. (0,1) C. [1,2) D. (0,2)
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求出,再求即可.
【详解】,所以.
故选:B
2. 已知集合,若,则实数a的值为( )
A. 或4 B. 2 C. -2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
由集合元素的特性和2属于集合A,直接计算判断求解即可得出答案.
【详解】由集合,可得,则得,,又因为可得,解得,即C选项正确.
故选:C.
【点睛】本题考查了集合元素特性的利用,考查了由元素属于集合求参数的问题,属于一般难度的题.
3. 下列说法正确的是( )
A. 方程的解集是
B. 方程的解集为{(-2,3)}
C. 集合M={y|y=x2+1,x∈R}与集合P={(x,y)|y=x2+1,x∈R}表示同一个集合
D. 方程组的解集是{(x,y)|x=-1且y=2}
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合表示方法依次判断即可.
【详解】对于A,方程的解集是,故A错误;
对于B,方程的解集为,故B错误;
对于C,集合表示数集,集合表示点集,故不是同一集合,故C错误;
对于D,由解得,故解集为{(x,y)|x=-1且y=2},故D正确.
故选:D.
4. 若集合,,则下面结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合与集合关系、元素与集合的关系可得B、C错误,再根据为无理数可得正确的选项.
【详解】因为表示元素,表示集合,故B、C错误.
因为不是自然数,所以,且不成立,故A也错误,D正确,
故选:D.
【点睛】本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断,一般地,集合与集合之间用包含或不包含,
5. 若实数满足,则取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可得,即可求出.
【详解】,
,当且仅当 等号成立,
则, .
故选:A.
6. 若方程两根都大于 ,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数,根据二次函数的两个零点都大于列不等式组,解不等式组求得的取值范围.
【详解】设,
由题意得:,
解之得实数的取值范围为:.
故选:D
【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围,属于中档题.
7. 已知、、满足且,则下列选项中不一定能成立的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件得出,且的符号不确定,利用不等式的性质以及特殊值法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】且,,且的符号不确定.
对于A选项,,,由不等式的基本性质可得,A选项中的不等式一定能成立;
对于B选项,,则,又,,B选项中的不等式一定能成立;
对于C选项,取,则,,;取,,,则,C选项中的不等式不一定成立;
对于D选项,,,则,,,D选项中的不等式一定能成立.
故选:C.
【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了不等式的基本性质,实数的性质,难度不大,属于基础题.
8. 不等式对于一切实数恒成立,则k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由对于一切实数恒成立知,求解即可.
【详解】解:对于一切实数恒成立,
,
即得:,
即.
故选:A.
二、多项选择题
9. 下列不等式中,错误的是( )
A. 若a>b,c>d,则a+c>b+d
B. 若a>b,则a+c<b+c
C. 若a>b,c>d,则ac>bd
D. 若a>b,c>d,则
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由不等式性质可判断AB;取特殊值可判断CD.
【详解】对于A,由不等式可加性,若a>b,c>d,则a+c>b+d,故A正确,不符合题意;
对于B,若a>b,则a+c>b+c,故B错误,符合题意;
对于C,设,则,故C错误,符合题意;
对于D,设,则,故D错误,符合题意.
故选:BCD.
10. 若“”为真命题,“”为假命题,则集合可以是( )
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据假命题的否定为真命题可知,又,求出命题成立的条件,求交集即可知M满足的条件.
【详解】假命题,
为真命题,
可得,
又为真命题,
可得,
所以,
故选:AB
【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假,集合的包含关系,属于中档题.
11. 下列函数中最大值为的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用基本不等式逐项判断即可.
【详解】解:对A,,
当且仅当,即时取等号,故A错误;
对B,,
当且仅当,又,即时取等号,故B正确;
对C,,
当且仅当,即时等号成立,故C正确;
对D,,
当且仅当 ,又 ,时取等号,故D错误.
故选:BC.
12. 已知关于x的方程,则下列结论中正确的是( )
A. 方程有一个正根一个负根的充要条件是
B. 方程有两个正实数根的充要条件是
C. 方程无实数根的充要条件是
D. 当m=3时,方程的两个实数根之和为0
【答案】AB
【解析】
【分析】
由根与系数的关系可得每个选项的等价条件,即可得的取值范围,进而判断正误.
【详解】解:对A,当时,函数的值为,由二次函数的图象知,方程有一正一负根的充要条件是,故A正确;
对B,若方程有两个正实数根,,
即解得:,故B正确;
对C,方程无实数根,
即,解得:,
方程无实数根的充要条件是,故C错误;
对D,当时,方程为,无实数根,故D错误.
故答案为:AB.
【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是利用根与系数的关系以及二次函数判别式.
三、填空题:
13. 命题:“,”的否定是________.
【答案】
【解析】
【分析】全称量词:“”改为存在量词:“”,“”改为“”,即可得解.
【详解】命题为全称命题,则命题:“∀x<0,x2﹣2x+3≤0”的否定为:,
故答案为:.
【点睛】本题考查了写全称命题的否定,属于基础题.
14. 关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为___________
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据不等式的解集为,得到,,再解不等式即可.
【详解】因为不等式的解集为,所以,.
,解得或,
解集为.
故答案为:
15. 已知命题p:a≤x≤a+1,命题q:x2-4x<0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】化简命题q,根据p是q的充分不必要条件,建立不等式组,即可求解.
【详解】令M={x|a≤x≤a+1},N={x|x2-4x<0}={x|0<x<4}.
∵p是q的充分不必要条件,∴M⫋N,∴,解得0<a<3.
故填
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件,属于中档题.
16. 已知非空集合满足,若存在非负实数,使得对任意,均有,则称集合具有性质.那么具有性质的集合的个数为___________
【答案】
【解析】
【分析】
分的取值进行分情况计算讨论满足条件的集合,从而得到答案.
【详解】解:当时,为.
当时,为,
当时,为,
当时,为 .
所以满足条件的集合有8个.
故答案为:8
【点睛】本题考查集合的新定义问题,解题的关键是根据新定义非空集合满足,且任意,均有,故对分别讨论即可.
四、解答题
17. 解下列一元二次不等式:
(1);
(2).
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)由一元二次不等式的解法求解即可;
(2)将不等式化为可求出.
【详解】(1)将化为,即,
解得,故不等式的解集为;
(2)不等式化为,解得,
故不等式的解集为.
18. 已知a,b均为正数,且a≠b,求证.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用作差比较即可证明.
【详解】
,
因为为正数,且,所以,
即证:.
19. 已知全集,集合,.
(1)当时,求及;
(2)若,求实数的取值范围.
【答案】(1),或;(2)
【解析】
【分析】
(1)直接求及即可;
(2)首先根据题意得到,再分类讨论的范围,即可得到答案.
【详解】(1)当时,,所以.
或,或,
或.
(2),所以.
当时,,解得.
当时,,解得.
综上:实数的取值范围:.
20. 设函数.
(1)若不等式的解集,求,的值;
(2)若,
①,,求的最小值;
②若在上恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)①9;②.
【解析】
【分析】(1)由已知可得,的两根是,1,然后可求出答案;
(2)由条件可得,①用基本不等式可求出的最小值,②在上恒成立,然后可得,结合可求出实数的取值范围.
【详解】(1)由已知可得,两根是,1
所以,解得.
(2)①
,
当时等号成立,
因为,,,解得,时等号成立,
此时的最小值是9.
②在上恒成立,
∴,
又因为代入上式可得
解得:.
【点睛】本题考查的是一元二次不等式和一元二次方程的关系、利用基本不等式求最值和一元二次不等式的恒成立问题,考查了学生对基本知识的掌握情况,属于典型题.
21. 某火车站正在不断建设,目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无须建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
【答案】(1)4米;(2)(0,12).
【解析】
【分析】
(1)设甲工程队的总造价为y元,则y=900(x+)+7 200,利用基本不等式求解函数的最值即可;
(2)由题意可得,900(x+)+7 200>对任意的x∈[2,6]恒成立,即可a<=(x+1)++6恒成立,再利用基本不等式求解函数的最值即可
【详解】(1)设甲工程队的总造价为y元,
则y=3(150×2x+400×)+7 200=900(x+)+7 200(2≤x≤6),
900(x+)+7 200≥900×2×+7 200=14 400.
当且仅当x=,即x=4时等号成立.
即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14 400元.
(2)由题意可得,900x++7 200>对任意的x∈[2,6]恒成立,即,
∴a<=(x+1)++6,
又x+1++6≥2+6=12,
当且仅当x+1=,即x=2时等号成立,
∴a的取值范围为(0,12).
【点睛】此题考查基本不等式的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中档题.
22. 已知函数.
(1)若y<0的解集为,求a的值;
(2)若a>0,求关于x的不等式y>0的解集.
【答案】(1)2;(2)答案见解析
【解析】
【分析】
(1)由题可得和1是的两个根,由韦达定理即可求出;
(2)不等式可化为,分,,三种情况可得出.
【详解】(1)若y<0的解集为,则和1是的两个根,
则 ,解得;
(2)由得,即,
当,即时,不等式的解集为或;
当,即时,不等式可化为,不等式的解集为;
当,即时,不等式的解集为或.
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