江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题

江苏省南京金陵中学2020—2021学年第一学期第一次月考

高一数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1. 已知全集则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先求M的补集，再与N求交集．

【详解】∵全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，

∴∁UM＝{3，4}．

∵N＝{2，3}，

．

故选：C.

【点睛】该题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题目．

2. 设P(x，y)，则“且”是“点P在一次函数的图像上”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

利用充分必要条件的定义，再结合已知条件，即可.

【详解】∵在的图像上，∴“且”可以推出“点P在一次函数的图像上”，点P在一次函数的图像上，不能推出点一定是,

故“且”是“点P在一次函数的图像上”的充分不必要条件，

故选：A

【点睛】本题考查充分必要条件判断，属于基础题.

3. 设，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行排除，很快问题得以解决．

【详解】∵b＜a，d＜c

∴设b=﹣2，a=﹣1，d=2，c=4

选项A，﹣1﹣4＞﹣2﹣2，不成立

选项B，（﹣1）×4＞（﹣2）×2，不成立

选项D，﹣1+2＞﹣2+4，不成立

故选C．

【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，特值法针对比较大小问题有奇效.

4. 已知集合A＝，B＝{m，2，8}，若AB＝B，则m＝（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出集合A, 由AB＝B，即，即可求出参数m的值.

【详解】由，得

所以集合A＝

由AB＝B，即，又B＝{m，2，8}，

所以

故选：C

【点睛】本题考查分式不等式求解，根据集合间的关系求参数的值，属于基础题.

5. 不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由不等式的解集为空集，利用判别式求解即可.

【详解】∵不等式的解集为空集，

∴．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了利用不等式恒成立求解参数的问题.属于容易题.

6. 已知x＞2，则函数最小值是（    ）

A. 6 B. 8 C. 12 D. 16

【答案】D

【解析】

【分析】

由，根据基本不等式求最小值．

【详解】

当且仅当时，取等号 .

故选：D

【点睛】本题考查用基本不等式求最值，掌握基本不等式求最值的条件：一正二定三相等是解题关键．属于基础题.

7. 设全集U＝R，M＝或，N＝.如图所示，则阴影部分所表示的集合为（    ）

A.  B.

C. 或 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先观察图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件，即可求解.

【详解】由图中阴影部分表示的集中的元素在集合中，又在集合中，即，

又由或，

所以图中阴影部分表示的集合为

或，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了图表达集合的关系及其运算，以及图的应用等基础知识，其中解答中观察图，得出图中阴影部分表示的集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题.

8. 定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P(A)，用n(A)表示有限集A的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A，都有AP(A)；②存在集合A，使得n[P(A)]＝3；③若AB＝，则P(A)P(B)＝；④若AB，则P(A)P(B)；⑤若n(A)﹣n(B)＝1，则n[P(A)]＝2×n[P(B)].其中正确的命题个数为（    ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据所给定义，结合集合子集个数公式，逐一判断即可.

【详解】由 P(A)是由集合A的所有子集组成的集合，又若集合A有个元素，则集合A的所有子集共有个.

所以，故①正确.

设，则，故②不正确，

若AB＝，则，故③不正确；

若AB，则P(A)P(B)，故④正确，

，即中元素比中元素多1个，

设，则，则，则

所以，故⑤正确，

所以正确的有①④⑤.

故选：C

【点睛】本题考查了新定义题，考查了数学阅读能力，考查了集合子集个数公式，考查了数学运算能力，属于中档题.

二、 多项选择题（本大题共3小题，每小题5分， 共计15分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9. 下列命题中是真命题的是（    ）

A. ， B. {1，﹣1，0}，2x＋1＞0

C. ，使 D. ，使x为29的约数

【答案】ACD

【解析】

【分析】

对选项命题逐一判断正误即可.

【详解】选项A中，，，故A正确；

选项B中，时，2x＋10，故B错误；

选项C中，，使，故C正确；

选项D中，，使x为29的约数，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题考查了判断含有一个量词的命题的真假，属于基础题.

10. 已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（    ）

A. ﹣2 B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.

【详解】由题意得，

当时，，

当时，，

因为p是q的必要不充分条件，所以 A，

所以时满足题意，当或时，也满足题意，解得或，

故选：BC.

【点睛】本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题.

11. 已知函数（）有且只有一个零点，则（    ）

A.

B.

C. 若不等式的解集为（），则

D. 若不等式的解集为（），且，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】

因为（）有且只有一个零点，故可得，即，

再利用基本不等式和不等式的性质对四个选项逐一分析即可得到答案.

【详解】因为（）有且只有一个零点，

故可得，即，

对A：等价于，显然，故正确；

对B：，故正确；

对C：因为不等式的解集为，

故可得，故错误；

对D：因为不等式的解集为，且，

则方程的两根为，，

故可得，

故可得，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查一元二次方程、不等式的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，属于常考题.

三、填空题（本大题共5小题， 每小题5分，共计25分.请把答案填写在答题卡相应位置上）

12. 集合A＝，B＝，若AB＝{2，3，5}，AB＝{3}，则ab＝_______.

【答案】30

【解析】

【分析】

先求出集合A,由AB＝{2，3，5}，AB＝{3}，可得，从而得出答案..

【详解】集合A＝

由AB＝{2，3，5}，AB＝{3}

所以,即2,3为方程的两个实数根.

所以，即

所以

故答案为：30

【点睛】本题考查了利用集合运算的结果求参数，考查了运算求解能力，属于基础题.

13. 若关于x的不等式的解集为(1，)，则的最小值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】

由不等式的解集为(1，)得，，则可求得答案.

【详解】由不等式的解集为(1，)

所以，且，所以

当且仅当时，取等号.

所以的最小值为

故答案为：

【点睛】本题考查根据一次不等式的解集得到参数的关系，考查利用重要不等式求最值.属于基础题.

14. 若关于的不等式成立的一个充分非必要条件是“”，则实数的取值范围是       .

【答案】

【解析】

【分析】由已知中不等式成立的一个充分非必要条件是，我们分别讨论时，时，时满足条件的实数的取值范围，最后综合讨论结果，即可得到答案

【详解】解：设不等式的解集为

不等式成立的一个充分非必要条件是，

则，

①当时，，不成立；

②当，即时，不等式解为，，不符合条件，舍去；

③当时，不等式解为，

则且，

解得，

即取值范围是．

故答案为：

点睛】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，不等式的基本性质，其中根据已知条件分讨论，并在每种情况下构造关于的不等式组，是解答本题的关键

15. 若存在两个互不相等的实数a，b，使得成立，则实数m的取值范围是_______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意a，b是方程的两个不同的实数根，则可得答案.

【详解】存在两个互不相等的实数a，b，使得成立

即a，b是方程的两个不同的实数根.

所以，解得或

故答案为：

【点睛】本题考查方程有两个不等实数根的条件，属于基础题.

16. 已知正实数满足，则的最小值为________.

【答案】

【解析】

【分析】

令，则且，利用基本不等式可求最小值.

【详解】等价于，

令，则且，.

故

.

当且仅当时等号成立。

故答案为：.

【点睛】本题考查二元二次条件下二元二次目标代数式的最小值，注意根据二元二次等式的形式引入新变量，从而条件和目标代数式都可以简化，最后可用基本不等式求最值，本题属于难题.

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （1）计算：；

（2）解不等式：.

【答案】（1）4；（2）{x|或}.

【解析】

【分析】

(1)按照分数指数幂化简计算即可；

(2)先将原不等式化为不等式组，再分别求两个一元二次不等式的解集，求其交集即可.

【详解】（1）原式=；

（2）原式可化为，即，得

则或且∴或.

则原不等式的解集为{x|或}.

【点睛】本题考查了分数指数幂的化简计算和一元二次不等式的解法，属于基础题.

18. 若和分别是函数的两个零点.

（1）求值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

由一元二次方程的根与系数的关系得，x1x2=.

（1）由可求得其值；

（2）由代入可得其值.

【详解】由题意x1，x2可得为方程2x2+4x—3=0的两个根，所以，x1x2=.

则（1）；

（2）.

【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题.

19. 设集合A＝，非空集合B＝.

（1）若“xA”是“xB”成立的必要条件，求实数m的取值范围；

（2）若B(A)的元素中只有两个整数，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由“”是“”的必要条件，得BA，然后得不等式可求得实数m的取值范围；

（2）把B(A)的元素中只有两个整数，列不等式，求解得实数m的取值范围．

【详解】（1）∵B≠，∴2m<1，解得，

若“x∈A”是“x∈B”成立的必要条件，则BA，

∵A={x|—1≤x≤2}，∴，解得，

综上所述，实数m的取值范围为.

（2）∵A={x|—1≤x≤2}，∴或，B={x|2m<x<1}，

若（）∩B中只有两个整数，则元素必然是，

∴，则，综上所述，实数m的取值范围为.

【点睛】本题考查集合间的关系，由集合间的关系求参数的范围，在集合运算中，不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题，能解的先解出具体的实数范围，再结合数轴进行集合的运算，若端点位置不定时，要注意对端点的位置进行讨论求解，属于中档题．

20. 精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为（其中推广促销费不能超过5千元）.已知加工此农产品还要投入成本万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为元/件.

（1）试将该批产品的利润万元表示为推广促销费万元的函数；（利润=销售额-成本-推广促销费）

（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？

【答案】(1) ；(2) 当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.

【解析】

【详解】试题分析：⑴根据题意即可求得，化简即可；

⑵利用基本不等式可以求出该函数的最值，注意等号成立的条件，即可得到答案；

解析：（1）由题意知

∴.

（2）∵

∴

.

当且仅当时，上式取“”

∴当时，.

答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元.

21. 已知.

（1）若不等式y＞b的解集为(0，3)，求实数a，b的值；

（2）若a＝3时，对于任意的实数x，都有，求m的取值范围.

【答案】（1）a=3，b=12；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由已知得方程的两个根为0，3，根据一元二次方程的根与系数的关系可得其值；

（2）当a=3时，，将问题转化为恒成立，由二次函数的性质可求得实数m的取值范围.

【详解】（1）∵y>b的解集为（0，3），∴方程的两个根为0，3，

则有0+3=，0×3=，解得a=3，b=12，经检验可知满足题意.

(2)当a=3时，，

由题意恒成立，可得，即恒成立，

又因为函数开口向上，则，化简可得，

解得或m≥，

综上所述，实数m的取值范围为.

【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的关系，属于中档题.

22. 设函数(aR，bR).

（1）若b＝a﹣，且集合中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；

（2）求不等式的解集；

（3）当a＞0，b＞1时，记不等式y＞0的解集为P，集合Q＝.若对于任意正数t，PQ≠，求的最大值.

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.

【解析】

【分析】

（1）分a=0和a≠0两种情况讨论，当a=0时，变为一次方程，当a≠0时，则.
（2）由题意 ，可得,然后进行分类讨论.

(3) 根据题意对任意正数t，-2∈Q，则 ,即， 可求出最值.

【详解】(1)当时，

由题意集合{x|y=0}中有且仅有一个元素，

则：①当a=0时，x+=0，解得x=-，满足题意；

②当a≠0时，可令y=0，得，此时 ，

解得a=1或.

综上所述，a的取值集合为{0，，1}

(2)由题意， ，可得

化简即

所以①当时，不等式可化为

1°当时，，此时不等式的解集为 ；

2°当时，则不等式化为(x-2)2<0，此时不等式的解集为；

3°当时，，此时不等式的解集为 .

②当 时，不等式可化为-x+2<0，此时不等式的解集为.

③当时，不等式可化为，

此时不等式的解集为.

综上所述：

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为(2，+∞).

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

(3)由题意集合Q={x|-2-t<x<-2+t}，对于任意正数t，-2∈Q，

又因为P∩Q≠，所以满足当x=-2时，函数y≥0，

即 ,即，

则，

令，则，此时 ，

所以，

当且仅当，即t=4时，此时a=1， b=2，有最大值为 .

【点睛】本题考查二次函数的图像性质，求含参数的二次不等式的解集，考查利用重要不等式求最值，属于中档题.

本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。

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