物理选择性必修 第一册第二章 机械振动第三节 单摆导学案及答案

这是一份物理选择性必修 第一册第二章 机械振动第三节 单摆导学案及答案，共12页。学案主要包含了课前预习，自主探究，探究过程，讨论探究，归纳总结，总结感悟等内容，欢迎下载使用。

课题
单摆
年级
高二
知识点来源
高中 物理 粤教版（2019） 选择性必修 第一册 第二章 机械振动 第三节 单摆
学习目标
物理观念：1.知道单摆振动时回复力的来源.
2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式.
3.掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法．
科学思维：1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件.
2.引导学生对摆球进行受力分析，将单摆纳入简谐运动模型．
科学探究：1.观察单摆，对影响单摆周期的因素进行猜想，然后通过实验探究认识到影响单摆周期的因素.
2.会一起测量当地的重力加速度．
学习重难点
理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，测量当地的重力加速度．
【课前预习】
一、单摆及单摆的回复力
1．单摆
(1)如果细线的质量与小球相比可以 ，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆．单摆是实际摆的 模型．
(2)单摆的平衡位置：摆球 时所在的位置．
2．单摆的回复力
(1)回复力的来源：如图1所示，摆球的重力沿圆弧 (填“切向”或“法线方向”)的分力提供回复力．
图1
(2)回复力的特点：在偏角很小时，sinθ≈eq \f(x,l)，所以单摆的回复力为F＝－eq \f(mg,l)x，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的 成正比，方向总是指向 ，单摆的运动可看成是简谐运动．
二、单摆的周期
1．单摆振动的周期与摆球质量 (填“有关”或“无关”)，在振幅较小时与振幅 (填“有关”或“无关”)，但与摆长 (填“有关”或“无关”)，摆长越长，周期 (填“越长”“越短”或“不变”)．
2．单摆的周期公式T＝ .
三、用单摆测定重力加速度
1．实验原理
由T＝2πeq \r(\f(l,g))，得g＝eq \f(4π2l,T2)，则测出单摆的 和 ，即可求出当地的重力加速度．
2．数据处理
(1)平均值法：利用实验中获得的摆长和周期的实验数据，从中选择几组，分别计算重力加速度，然后取平均值．
(2)图象法：以l和T2为纵坐标和横坐标，作出函数l＝eq \f(g,4π2)T2的图象，图象的斜率k=eq \f(g,4π2)，进而求出重力加速度g.
【自主探究】
1．判断下列说法的正误．
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力．( )
(2)单摆经过平衡位置时受到的合力为零．( )
(3)制作单摆的摆球越大越好．( )
(4)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半．( )
2．一个理想的单摆，已知其周期为T.如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，它的周期变为________．
【探究过程】
一、单摆及单摆的回复力
【讨论探究】
(1)单摆的回复力就是单摆所受的合外力吗？

(2)单摆经过平衡位置时，回复力为零，合外力也为零吗？

【归纳总结】
1．单摆向心力来源： ．
2．单摆回复力来源： ．
3．回复力的大小： ．
【典例1】图2中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
图2
A．摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用
B．摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
二、单摆的周期
【讨论探究】
单摆的周期公式为T＝2πeq \r(\f(l,g)).
(1)单摆的摆长l等于悬线的长度吗？

(2)将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？

【归纳总结】
1． ．
2．单摆的周期公式 ．
3．对周期公式的理解

【典例2】某单摆由1m长的摆线连接一个直径2cm的铁球组成，关于单摆周期，下列说法中正确的是( )
A．用大球替代小球，单摆的周期不变
B．摆角从5°改为3°，单摆的周期会变小
C．用等大的铜球替代铁球，单摆的周期不变
D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大
【典例3】如图3所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长也是l，下端C点系着一个小球(半径可忽略)，下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动，重力加速度为g)( )
图3
A．让小球在纸面内振动，周期T＝2πeq \r(\f(l,g))
B．让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2πeq \r(\f(3l,2g))
C．让小球在纸面内振动，周期T＝2πeq \r(\f(3l,2g))
D．让小球在垂直纸面内振动，周期T＝2πeq \r(\f(l,g))
三、实验：用单摆测定重力加速度
1．实验原理 ．
2．实验器材
．
3．实验步骤
(1) ．
(2) ．
(3) .
(4) ．
(5) ．
4．数据处理
(1)公式法： ．
设计如下所示实验表格
实验次数
摆长l/m
周期T/s
重力加速度g/(m·s－2)
重力加速度g的平均值/(m·s－2)
1
g＝
2
3
(2)图象法：以T2为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图象(如图4所示)．其斜率k＝ ，由图象的斜率即可求出重力加速度g.
图4
5．注意事项
．
【典例4】 某同学利用如图5所示的装置测量当地的重力加速度．实验步骤如下：
图5
A．按装置图安装好实验装置；
B．用游标卡尺测量小球的直径d；
C．用米尺测量悬线的长度L；
D．让小球在竖直平面内小角度摆动，当小球经过最低点时开始计时，并计数为0，此后小球每经过最低点一次，依次计数1、2、3、…，当数到20时，停止计时，测得时间为t；
E．多次改变悬线长度，对应每个悬线长度，都重复实验步骤C、D；
F．计算出每个悬线长度对应的t2；
G．以t2为纵坐标、L为横坐标，作出t2－L图线．
结合上述实验，完成下列问题：
(1)用游标为10分度的游标卡尺测量小球直径，某次测量示数如图6所示，读出小球直径d为________cm.
图6
(2)该同学根据实验数据，利用计算机作出t2－L图线如图7所示．根据图线拟合得到方程t2＝404.0L＋3.07，由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2.(取π2＝9.86，结果保留3位有效数字)
图7
(3)从理论上分析图线没有过坐标原点的原因，下列分析正确的是________．
A．不应在小球经过最低点时开始计时，应该在小球运动到最高点时开始计时
B．开始计时后，不应记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做全振动的次数
C．不应作t2－L图线，而应作t－L图线
D．不应作t2－L图线，而应作t2－(L＋eq \f(1,2)d)图线
【总结感悟】
11.4《单摆》课后巩固练习
一、选择题
考点一 单摆及单摆的回复力
1．(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( )
A．摆线质量不计 B．摆线不可伸缩
C．摆球的直径比摆线长度小得多 D．只要是单摆的运动就一定是简谐运动
2．关于单摆，下列说法中正确的是( )
A．摆球运动的回复力是它受到的合力
B．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点时，加速度是不变的
C．摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置
D．摆球经过平衡位置时，加速度为零
考点二 单摆的周期公式
3．(多选)如图所示为单摆的振动图象，取g＝10m/s2，π2＝10，根据此振动图象能确定的物理量是( )
A．摆长B．回复力
C．频率D．振幅
4.如图所示，单摆的周期为T，则下列说法正确的是( )
A．把摆球质量增加一倍，其他条件不变，则单摆的周期变小
B．把摆角α变小，其他条件不变，则单摆的周期变小
C．将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆的周期将变长
D．将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T
5．做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的eq \f(9,4)倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的eq \f(2,3)，则单摆振动的( )
A．周期不变，振幅不变B．周期不变，振幅变小
C．周期改变，振幅不变D．周期改变，振幅变大
6.(多选)如图所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点正下方的O′点钉一个光滑钉子，使OO′＝eq \f(L,2)，将单摆拉至A处释放，小球将在A、B、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°，则以下说法正确的是( )
A．由于机械能守恒，可得摆角大小不变
B．A和C两点在同一水平面上
C．周期T＝2π(eq \r(\f(L,g))＋eq \r(\f(L,2g)))
D．周期T＝π(eq \r(\f(L,g))＋eq \r(\f(L,2g)))
7．(多选)如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图象如图乙所示．不计空气阻力，g取10m/s2.对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是( )
A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin (πt) cm
B．单摆的摆长约为1m
C．从t＝2.5s到t＝3s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D．从t＝2.5s到t＝3s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小
二、非选择题
8．正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点用时30s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1m，当地重力加速度g取π2(m/s2)；根据以上数据可得小球运动的周期T＝________s；房顶到窗上沿的高度h＝________m.
9．根据单摆周期公式可以通过实验测量当地的重力加速度，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球，就做成了单摆．
(1)用游标卡尺测量小钢球直径，示数如图所示，读数为________mm.
(2)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有________．
a．摆线要选择细些、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
b．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c.为了使摆的周期大一些，以方便测量,开始时拉开摆球,使摆线相距平衡位置有较大的角度
d．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时时间间隔Δt即为单摆周期T
e．拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝eq \f(Δt,50)
10．在用单摆测重力加速度的实验中：
(1)为了比较准确地测量出当地的重力加速度值，应选用下列所给器材中的哪些？将所选用的器材的字母填在题后的横线上．
A．长1m左右的细绳；B．长30m左右的细绳；
C．直径2cm的铅球；D．直径2cm的铁球；
E．秒表；F．时钟；
G．最小刻度是厘米的直尺；H．最小刻度是毫米的直尺．
所选择的器材是________．
(2)实验时摆线偏离竖直线的要求是_____________，理由是____________．
(3)某同学测出不同摆长时对应的周期T，作出T2－L图线，如图所示，再利用图线上任两点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)，可求得g＝________________.若该同学测摆长时漏加了小球半径，而其他测量、计算均无误，也不考虑实验误差，则用上述方法算得的g值和真实值相比是________的(选填“偏大”、“偏小”或“不变”)．
11．实验小组的同学们用如图所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验．
(1)用L表示单摆的摆长，用T表示单摆的周期，重力加速度g＝________.
(2)实验时除用到秒表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的________(选填选项前的字母)．
A．长约1m的细线
B．长约1m的橡皮绳
C．直径约1cm的均匀铁球
D．直径约10cm的均匀木球
(3)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图________中所示的固定方式(选填“甲”或“乙”)．
(4)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是________(选填选项前的字母)．
A．测出摆线长作为单摆的摆长
B．把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C．在摆球经过平衡位置时开始计时
D．用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
(5)乙同学测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是____________(选填选项前的字母)．
A．开始摆动时振幅较小
B．开始计时时，过早按下秒表
C．测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间．
(6)丙同学画出了单摆做简谐运动时的振动图象如图所示，则摆线偏离竖直方向的最大摆角的正弦值约为________(结果保留一位有效数字)．
12.如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点在球心O′的正下方，一小球甲(可视为质点)由距O点很近的A点由静止释放，R≫AO
(1)若小球甲释放的同时，另一小球乙(可视为质点)从球心O′处自由落下，问两球第一次到达O点的时间比；
(2)若小球甲释放的同时，另一小球丙(可视为质点)在O点正上方某处自由落下，为使两球在O点相碰，小球应由多高处自由落下？
参考答案
一、选择题
考点一 单摆及单摆的回复力
1． 答案 ABC
解析 只有在偏角很小的情况下才能视单摆运动为简谐运动．
2． 答案 B
解析 摆球的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力，A错误；摆球经过最低点时，回复力为0，但合力提供向心力，C、D错误；由简谐运动特点知B正确．
考点二 单摆的周期公式
3． 答案 ACD
解析 由题图知，振幅为A＝3cm，单摆的周期为T＝2s，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，得摆长l＝1m，频率f＝eq \f(1,T)＝0.5Hz，摆球的回复力F＝－eq \f(x,l)mg，由于摆球的质量未知，无法确定回复力，A、C、D正确．
4.答案 C
解析 根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来的2倍，周期变为原来的eq \r(2)倍，故A、B、D错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，由周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))知将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，C正确．
5． 答案 B
解析 由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，当摆长l不变时，周期不变，故C、D错误；由能量守恒定律可知eq \f(1,2)mv2＝mgh，其摆动的高度与质量无关，因摆球经过平衡位置时的速度减小，则最大高度减小，知振幅减小，选项B正确，A错误．
6.答案 BD
7． 答案 AB
解析 由振动图象可读出周期T＝2 s，振幅A＝8 cm，由ω＝eq \f(2π,T)得到圆频率ω＝π rad/s，则单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝Asinωt＝8sin (πt) cm，故A正确．由公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，解得l≈1 m，故B正确．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，摆球的位移减小，回复力减小，速度增大，所需向心力增大，绳子的拉力增大，故C、D错误．
二、非选择题
8．答案 3 3
解析 n＝eq \f(1,2)×(21－1)＝10，T＝eq \f(t,n)＝3s，
T＝eq \f(T1,2)＋eq \f(T2,2)＝eq \f(1,2)(2πeq \r(\f(l,g))＋2πeq \r(\f(l＋h,g)))，
解得h＝3m.
9．答案 (1)18.6 (2)abe
解析 (1)由题图游标卡尺可知，其示数为18mm＋6×0.1mm＝18.6mm.
(2)为减小实验误差，摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽量长一些，故a正确；为减小空气阻力对实验的影响，减小实验误差，摆球尽量选择质量大些、体积小些的，故b正确；摆长一定的情况下，摆的振幅尽量小些，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置不能有太大的角度，故c错误；为准确测量单摆周期，应从摆球经过平衡位置时开始计时，测出多个周期的时间，然后求出平均值作为周期，故d错误；拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝eq \f(Δt,50)，可减小实验误差，故e正确．
10．答案 (1)ACEH
(2)摆线与竖直方向的夹角不超过5° 只有在偏角不超过5°的情况下，单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))才成立
(3)4π2·eq \f(x2－x1,y2－y1) 不变
11．答案 见解析
解析 (1)由周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))得g＝eq \f(4π2L,T2)
(2)为减小误差应保持摆线的长度不变，则A正确，B错误；为减小误差，摆球密度要大，体积要小，则C正确，D错误．
(3)悬点要固定，则为题图乙．
(4)摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，A错误；应把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动，故B正确；应在摆球经过平衡位置时开始计时，C正确；把秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期，误差较大，应采用累积法测量周期，D错误．
(5)由T＝2πeq \r(\f(L,g))得g＝eq \f(4π2L,T2).振幅大小与g无关，故A错误；开始计时时，过早按下秒表，所测周期偏大，则g偏小，B错误；测量周期时，误将摆球(n－1)次全振动的时间记为n次全振动的时间，则所测周期偏小，则g偏大，C正确．
(6)由题图可知周期为2s，由T＝2πeq \r(\f(L,g))得L＝eq \f(T2g,4π2)＝eq \f(4×9.8,4×3.142)m≈1m，振幅为4cm＝0.04m，则sinθ≈eq \f(0.04,1)＝0.04.
12. 答案 (1)eq \r(2)π∶4 (2)eq \f(2n－12π2R,8)(n＝1,2,3，…)
解析 (1)甲球沿圆弧做简谐运动，它第一次到达O点的时间为t1＝eq \f(1,4)T＝eq \f(1,4)×2πeq \r(\f(R,g))＝eq \f(π,2)eq \r(\f(R,g)).
乙球做自由落体运动，到达O点的时间为t2
R＝eq \f(1,2)gt22，所以t2＝eq \r(\f(2R,g))，t1∶t2＝eq \r(2)π∶4.
(2)小球甲从A点由静止释放运动到O点的时间为t＝eq \f(T,4)(2n－1)，n＝1,2,3，…，由O点正上方自由落下的小球丙到达O点的时间也为t时两球才能在O点相碰，所以h＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(2n－12π2R,8)(n＝1,2,3，…).