数学人教版第十三章 轴对称综合与测试同步测试题

第20课  轴对称全章复习与巩固

知识讲解

知识点01  轴对称

1.轴对称图形和轴对称　　

（1）轴对称图形

如果一个图形沿着            ，直线两旁的部分能够         ，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的  .

轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的        .

（2）轴对称
　　定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：

①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是        ；

②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的         ；

③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.

（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系

区别: 轴对称是指  的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的        ；

轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.

联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；

如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

2.线段的垂直平分线

线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段        .反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

知识点02  作轴对称图形

1.作轴对称图形

（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；

（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

2.用坐标表示轴对称

点（,）关于轴对称的点的坐标为         ；点（,）关于轴对称的点的坐标为        ；点（,）关于原点对称的点的坐标为        .

知识点03  等腰三角形

1.等腰三角形

　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性质

   　①等腰三角形的                ，即“        ”；

②等腰三角形                （简称“        ”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于               .

（3）等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“         ”）.

2.等边三角形
　　（1）定义：                的三角形，叫做等边三角形.

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于                .　　

（3）等边三角形的判定：

 ①               的三角形是等边三角形；

 ②                的三角形是等边三角形；

 ③                              是等边三角形.

3.直角三角形的性质定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的               .

能力拓展

考法01   轴对称的性质与应用

【典例1】如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（　　）

A.1个       B.2个        C.3个        D.4个

【即学即练1】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（　  　）

A.180°      B.270°       C.360°        D.480°

【典例2】已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.

【即学即练2】（1）如图1，直线同侧有两点A、B，在直线上求一点C，使它到A、B之和最小．（保留作图痕迹不写作法）

（2）知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）

（3）解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小（保留作图痕迹不写作法）

②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，∠AMN+∠ANM的度数为　   　．

【典例3】在直角坐标平面内，已知在y轴与直线x=3之间有一点M（a，3），如果该点关于直线x=3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（　　）

A．4        B．3         C．2       D．1

【即学即练3】如图，若直线经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB与Rt△关于直线对称，已知A（1，2），则点的坐标为（　　）

A.（－1，2）  B.（1，－2）  C.（－1，－2） D.（－2，－1）

考法02  等腰三角形的综合应用

【典例4】如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH．

又∵，

∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．

（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.

【典例5】已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求的度数．

【即学即练4】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D为形内一点，且∠DAB＝∠DBA＝10°，

求∠ACD的度数.

考法03  等边三角形的综合应用

【典例6】已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．

（1）【特殊情况，探索结论】

如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE

　   　DB（填“＞”、“＜”或“=”）．

（2）【特例启发，解答题目】

如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE　   　DB（填“＞”、“＜”或“=”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．

（3）【拓展结论，设计新题】

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．