考点3-2 导数应用：单调性、极值与最值（文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）

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考点02练  导数应用：单调性、极值与最值    1．（2022·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.【详解】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）函数（）的单调递增区间是（       ）A． B．C． D．和【答案】B【分析】求导可得，求即可得解.【详解】（），令，解得，故在上单调递增，故选：B．3．（2022·陕西西安·二模（理））函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据给定的导函数的图象，结合函数的极值的定义，即可求解.【详解】如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为，根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，可得为函数的极大值点，为函数的极小值点，所以函数极值点的个数为4个.故选：C.4.（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则在上的最大值是__________．【答案】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．【详解】由题意可知，，，．当时，，函数在区间上单调递增，则．故答案为：5．（2022·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．【答案】【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围.【详解】，由于函数有三个单调区间，所以有两个不相等的实数根，所以.故答案为：   6.（2022全国·高三专题练习）已知是函数的一个极值点，则的值是（       ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由题知，可得，由二倍角公式可算得，进而有，所以.【详解】，∴，∴，∴故选：D7．（2021·全国·高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.8．（2023·全国·高三专题练习）函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得导数，当时，得到在上单调递减，不符合题意；当时，结合函数与的图象，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，若时，当时，可得，在上单调递减，此时函数在没有最小值，不符合题意；当时，令，即，即与的交点，画出函数与的图象，如图所示，结合图象，可得存在，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，此时函数在上有最小值，符合题意，综上可得，实数a的取值范围是.故选：A. 9.（2021·全国·高考真题）函数的最小值为______.【答案】1【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.10．（2021·四川成都·高三阶段练习（文））已知，且，则的最大值为_______．【答案】##【分析】利用对数的运算解方程，得关系，代入，然后构造函数，利用导数求最值.【详解】解：，即，即，解得或，即或（舍，），将代入得，设，则，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，即时，函数取最大值.故答案为：. 11．（2012·全国·高考真题（理））设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex上点的最小距离的2倍．设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则，∴x0＝ln 2，y0＝1，∴点(x0，y0)到y＝x的距离为＝(1－ln 2)，则|PQ|的最小值为(1－ln 2)×2＝(1－ln 2)．12．（2022·福建·三明一中模拟预测）己知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意化简得到，设，得到，结合题意和函数的单调性，即可求解.【详解】由，可得，即，设，可得，因为，可得，又因为，所以，即，所以，当时，，可得函数在为单调递增函数，所以，即.故选：B.13．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知函数的极大值点，极小值点 ，则的取值范围是 （      ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出的导函数 ，由当时取得极大值，当时取得极小值，可得、是方程的两个根，根据一元二次方程根的分布可以得到参数 、满足的不等式组，画出其表示的平面区域，根据的几何意义即可求解【详解】 又因为当时取得极大值，当时取得极小值，可得、是方程的两个根，根据一元二次方程根的分布可得 即：作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（不包括边界），可求出边界交点坐标分别为 、、，表示平面区域内的点与点连线的斜率，由图可知 ，根据倾斜角的变化，可得故选:B14．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为______．【答案】【分析】把已知等式变形为，利用函数（）的单调性得的关系，这样把转化为的函数，再利用导数求得最大值．【详解】由得，所以，，因为，所以，设（），则，递增，所以由得，所以，，设，则，所以时，，递增，时，，递减，所以．故答案为：．【点睛】本题考查了导数的单调性的应用，考查用导数求函数的最大值．解题关键是已知等式进行同构变形：，然后利用函数的单调性得出变量间的关系．考查了学生的逻辑思维能力，属于较难题．15．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数在内单调递增，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】求出函数的导数，由给定条件可得恒成立，再分类讨论作答.【详解】因函数在内单调递增，则，，即，整理得，当时，则成立，，当时，，而，当且仅当，即时取“=”，则有，当时，，而，当且仅当，即时取“=”，则有，综上得，所以实数的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.