人教版高考数学一轮复习考点规范练16利用导数研究函数的极值、最值含答案

考点规范练16　利用导数研究函数的极值、最值

1.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n等于(　　)

A.0 B.2 

C.-4 D.-2

答案  B

解析  f'(x)=3x2-6x+1,因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,

所以x1=m,x2=n为3x2-6x+1=0的两根.

由根与系数的关系,可知m+n=-=2.

2.若x=1是函数f(x)=ax+ln x 的极值点,则(　　)

A.f(x)有极大值-1 

B.f(x)有极小值-1

C.f(x)有极大值0 

D.f(x)有极小值0

答案  A

解析  f'(x)=a+(x>0).

∵x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,

∴f'(1)=0,∴a+=0,∴a=-1.

当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.

因此当x=1时,f(x)有极大值-1.

3.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为 (　　)

A.-1 B.1-e C.-e D.0

答案  A

解析  f'(x)=-1=,令f'(x)>0,得0<x<1;令f'(x)<0,得1<x<e,则函数f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,e)内单调递减,即当x=1时,函数f(x)取极大值,这个极大值为函数f(x)在区间(0,e]上的最大值,所以f(x)max=f(1)=-1,故选A.

4.(2021辽宁铁岭一模)若a∈R,则“a>3”是“函数f(x)=(x-a)ex在区间(0,+∞)上有极值”的 (　　)

A.充分不必要条件 

B.必要不充分条件

C.充要条件 

D.既不充分也不必要条件

答案  A

解析  由题意,函数f(x)=(x-a)ex,则f'(x)=(x-a+1)ex.

令f'(x)=0,可得x=a-1,

当x<a-1时,f'(x)<0;当x>a-1时,f'(x)>0,

所以函数y=f(x)在x=a-1处取得极小值.

若函数y=f(x)在区间(0,+∞)上有极值,则a-1>0,解得a>1.

因此“a>3”是“函数f(x)=(x-a)ex在区间(0,+∞)上有极值”的充分不必要条件.

5.已知函数f(x)=x3-4x+a在区间[0,3]上的最大值为2,则a的值为(　　)

A.- B.2 C.5 D.

答案  B

解析  f'(x)=x2-4.令f'(x)>0,解得x>2或x<-2,令f'(x)<0,解得-2<x<2,

故f(x)在区间[0,2)内单调递减,在区间(2,3]内单调递增,故f(x)的最大值是f(0)或f(3),

而f(0)=a>f(3)=a-3,故f(0)=a=2.

6.(多选)设f'(x)为函数f(x)的导函数,已知x2f'(x)+xf(x)=ln x,f(1)=,则下列结论不正确的是(　　)

A.xf(x)在区间(0,+∞)内单调递增

B.xf(x)在区间(0,+∞)内单调递减

C.xf(x)在区间(0,+∞)内有极大值

D.xf(x)在区间(0,+∞)内有极小值

答案  ABC

解析  由x2f'(x)+xf(x)=ln x,得x>0,则xf'(x)+f(x)=,即[xf(x)]'=.

设g(x)=xf(x),则由g'(x)=>0,得x>1,

由g'(x)<0,得0<x<1,

即xf(x)在区间(1,+∞)内单调递增,在区间(0,1)内单调递减,即当x=1时,函数g(x)=xf(x)取得极小值g(1)=f(1)=.

7.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-ln x(a>0,b∈R)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是 (　　)

A.ln a>b-1 B.ln a<b-1

C.ln a=b-1 D.以上都不对

答案  B

解析  f'(x)=3ax2-b-,∵x=1是函数f(x)的极值点,

∴f'(1)=3a-b-1=0,即3a-1=b.

令g(a)=ln a-(b-1)=ln a-3a+2(a>0),则g'(a)=-3=,

即g(a)在区间内单调递增,在区间,+∞内单调递减,

故g(a)max=g=1-ln 3<0.故ln a<b-1.

8.已知函数f(x)=x2ex在区间(k,k+1.5)内存在极值点,则整数k的值为(　　)

A.-3,0 B.-2,1 C.-3,-1 D.-2,0

答案  C

解析  由f(x)=x2ex,可得f'(x)=2xex+x2ex=ex(x2+2x).

当x∈(-∞,-2)和(0,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,0)时,f'(x)<0,

则f(x)在区间(-∞,-2)和(0,+∞)内单调递增,在区间(-2,0)内单调递减.

若f(x)在区间(k,k+1.5)内无极值点,

则k+1.5≤-2或k≥0或-2≤k<k+1.5≤0,

即k∈(-∞,-3.5]∪[-2,-1.5]∪[0,+∞)时,f(x)在区间(k,k+1.5)内无极值点,

得k∈(-3.5,-2)∪(-1.5,0)时,f(x)在区间(k,k+1.5)内存在极值点.

由k是整数,得k=-3或k=-1.

9.已知函数f(x)=(xex-m)x-2ex(x∈R).若m=0,则f(x)的极大值点为　　　　　;若f(x)有3个极值点,则实数m的取值范围是　　　　　. 

答案  -1-　(0,6e-4)

解析  当m=0时,f(x)=(x2-2)ex,f'(x)=(x2+2x-2)ex.

令f'(x)=0,

解得x1=-1-,x2=-1+.

即f(x)在区间(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递增,

在区间(x1,x2)内单调递减,

故f(x)的极大值点为-1-.

f(x)=(x2-2)ex-mx,f'(x)=(x2+2x-2)ex-m,

令f'(x)=0,得m=(x2+2x-2)ex.

构造函数g(x)=(x2+2x-2)ex,

g'(x)=(x2+4x)ex=x(x+4)ex,

即g(x)在区间(-∞,-4),(0,+∞)内单调递增,在区间(-4,0)内单调递减,

则g(x)的极大值为g(-4)=6e-4,极小值为g(0)=-2.

因为当x<-4时,(x2+2x-2)ex>0,

所以由f(x)有3个极值点,可得0<m<6e-4.

故实数m的取值范围是(0,6e-4).

10.已知函数f(x)=ax3-x2+b(x∈R).

(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=6x-8,求a,b的值;

(2)若a>0,b=2,当x∈[-1,1]时,求f(x)的最小值.

解(1)f'(x)=3ax2-3x.

由题意得f'(2)=6,f(2)=4,解得a=1,b=2.

(2)f(x)=ax3-x2+2(a>0).

f'(x)=3ax2-3x=3x(ax-1).

令f'(x)=0,解得x=0或x=.

分以下三种情况讨论:

①若>1,即0<a<1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

因为f(-1)=-a,f(1)=a+,

所以f(x)min=f(-1)=-a.

②若0<<1,即a>1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

因为f(-1)=-a,f=2-,

f-f(-1)=2-+a->0,所以f(x)min=f(-1)=-a.

③当a=1时,f(x)=x3-x2+2,则f'(x)=3x2-3x=3x(x-1).

由f(x)在区间[-1,1]上的单调性,知求此区间的最小值只比较f(1),f(-1)的大小即可,f(1)=,f(-1)=-,

所以f(x)min=f(-1)=-.

综上,f(x)min=f(-1)=-a.