考点2-1 函数的性质(文理)-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）

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考点01练  函数的性质    1．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（       ）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数【答案】C【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.故选：C2．（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】由题知：，解得且.所以函数定义域为.故选：B3．（2022·江西萍乡·三模（理））已知定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知结合函数对称性可求出，进而求得结果.【详解】解：因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则.故，即.故选：C.4.（2022·北京·高考真题）函数的定义域是_________．【答案】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象与的图象关于轴对称，再把的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则________.【答案】【分析】根据函数的对称性及函数图象变换的原则即可求解.【详解】解：由题意可知，把的图象向右平移1个单位长度后得，故答案为：.    6.（2022·全国·高考真题（理））函数在区间的图象大致为（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.7．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知函数，若是奇函数，则（       ）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】由是奇函数，可以得到关于a的方程组，解之即可得到a的值.【详解】由是奇函数,知，即，由x的任意性，得，得，解得．经检验符合题意.故选：A8．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））定义在R上的函数满足，且函数为奇函数．当时，，则（       ）A．－2 B．2 C．3 D．【答案】D【分析】由函数的对称性可以找到函数的周期，然后通过周期性和对称性即可求出的值.【详解】由可得，函数关于对称，函数为奇函数，所以，所以函数关于对称，则有，即，又，，的周期为4..故选：D.9.（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则______.【答案】1【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：110．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数，则a，b，c三者的大小关系是___________．【答案】##【分析】根据函数的奇偶性、单调性的性质，结合对数的单调性进行判断即可.【详解】显然有，因为，所以该函数是偶函数，当时，由函数的单调性的性质可知该函数单调递增，，，因为，所以，因为，所以，因此，所以有，即，故答案为：  11.（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.12．（2022·江西·模拟预测（理））已知函数的图象关于直线对称，对，都有恒成立，当时，若函数的图象和直线，有5个交点，则k的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知可得是周期为4的偶函数，进而求得且，画出与的函数图象，数形结合法判断有5个交点情况下k的范围.【详解】由题设关于y轴对称，即为偶函数，又，则，即是周期为4的函数，若，则，故，所以且，又过定点，所以与的部分图象如下图示：当过时，；当过时，；由图知：时，和直线有5个交点.故选：C13．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件分，和三种情况讨论，由，求出的取值范围．【详解】解：显然当时，，不满足条件；当时，易知，当时，，于是，而由，可得，即，所以也不满足条件，当时，函数，因为关于的不等式的解集为，若，则在上，函数的图象应在函数的图象的下方，如图所示，要使在上，函数的图象在函数的图象的下方，只要即可，即，化简可得，解得，所以的取值范围为. 综上，的取值范围为.故选：C. 14．（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.【答案】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得，使得令，则原不等式转化为存在，由折线函数，如图只需，即，即的最大值是【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.15．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论：①函数在上单调递增；②函数的图象与直线有且仅有个不同的交点；③若关于的方程恰有个不相等的实数根，则这个实数根之和为；④记函数在上的最大值为，则数列的前项和为.其中所有正确结论的编号是___________.【答案】①④【分析】作出函数的图像，利用数形结合思想依次判断选项①②③，利用等比数列求和判断选项④；【详解】当时，，此时不满足方程；若，则，即若，则，即作出函数在时的图像，如图所示，对于①，由图可知，函数在上单调递增，由奇函数性质知，函数在上单调递增，故①正确；对于②，可知函数在时的图像与与直线有1个交点，结合函数的奇偶性知，的图象与直线有3个不同的交点，故②错误；对于③，设，则关于的方程等价于，解得：或当时，即对应一个交点为；方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：（1），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为8；（2），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为4，故③错误；对于④，函数在上的最大值为，即，由函数的解析式及性质可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，则数列的前项和为，故④正确.故答案为：①④【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解