期末复习4 反比例函数期末复习-【专题突破】2022-2023学年八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

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期末复习4 反比例函数期末复习
一．选择题
1．下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（　　）
A． B． C． D．y＝2x
【分析】根据反比例函数的一般形式即可判断．
【解答】解：A、不符合反比例函数的一般形式y＝（k≠0）的形式，选项错误；
B、不符合反比例函数的一般形式y＝（k≠0）的形式，选项错误；
C、正确；
D、不符合反比例函数的一般形式y＝（k≠0）的形式，选项错误．
故选：C．
2．在下列给出的函数中，y随x的增大而减小的是（　　）
A．y＝3x﹣2 B．y＝﹣x2 C．y＝（x＞0） D．y＝﹣（x＜0）
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【解答】解：A．在y＝3x﹣2中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
B．在y＝﹣x2中，当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
C．在y＝中，x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意；
D．在y＝﹣中，x＜0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：C．
3．已知反比例函数，则下列描述不正确的是（　　）
A．图象位于第一、三象限
B．图象必经过点（2，3）
C．图象不可能与坐标轴相交
D．y随x的增大而减小
【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A．反比例函数，图象位于第一、三象限，故此选项不合题意；
B．反比例函数，图象必经过点（2，3），故此选项不合题意；
C．反比例函数，图象不可能与坐标轴相交，故此选项不合题意；
D．反比例函数，每个象限内，y随x的增大而减小，故此选项符合题意；
故选：D．
4．如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O将其吊起来在中点O的左侧，距离中点25cm处挂一个重9.8N的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．如果把弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）记作x，弹簧秤的示数F（单位：N）记作y，下表中有几对数值满足y与x的函数关系式（　　）
x/cm
5
10
35
40
y/N
49
24.5
7.1
6.125
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
【分析】根据杠杆原理得出y与x的函数关系式，再检验各数对是否满足函数解析式即可．
【解答】解：根据杠杆原理可得，F•L＝25×9.8，
∵把弹簧秤与中点O的距离L记作x，弹簧秤的示数F记作y，
∴xy＝245（0＜x≤50）；
∵5×49＝245，
10×24.5＝245，
35×7.1＝248.5，
40×6.125＝245，
∴满足y与x的函数关系式有（5，49），（10，24.5），（40，6.125），共3对，
故选：C．
5．甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【解答】解：根据题意可知时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数关系式为：y＝（x＞0），
所以函数图象大致是B．
故选：B．
6．已知反比例函数y＝（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），（x2，y2）．若x1＜x2，则y1﹣y2的值（　　）
A．一定是正数
B．一定是负数
C．可能是零
D．可能是正数，也可能是负数
【分析】由于自变量所在象限不定，那么相应函数值的大小也不定．
【解答】解：∵函数值的大小不定，若x1、x2同号，则y1﹣y2＜0；
若x1、x2异号，则y1﹣y2＞0．
故选：D．
7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣1与函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分k＞0和k＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【解答】解：当k＞0时，
函数y＝kx﹣1的图象位于一、三、四象限，的图象位于一、三象限，C符合；
当k＜0时，
函数y＝kx﹣1的图象位于二、三、四象限，的图象位于二、四象限，
故选：C．
8．如图，是三个反比例函数y1＝，y2＝，y3＝在y轴右侧的图象，则（　　）

A．k1＞k2＞k3 B．k2＞k1＞k3 C．k3＞k2＞k1 D．k3＞k1＞k2
【分析】取x＝1分别代入三个函数中，可得y1，y2，y3的关系，即可求解．
【解答】解：当x＝1时，
y1＝k1，y2＝k2，y3＝k3，
从图中可得
y1＜y2＜y3，
∴k1＜k2＜k3，
故选：C．
9．边长为2的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中的阴影部分的面积是（　　）

A．2 B．4 C．8 D．6
【分析】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图象之间的关系，再根据正方形ABCD的对称中心是坐标原点O可知图中四个小正方形全等，反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半．
【解答】解：由两函数的解析可知：两函数的图象关于x轴对称．
∵正方形的对称中心是坐标原点O，
∴四图小正方形全等，每图小正方形的面积＝×2×2＝1，
∴反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，
∴阴影部分的面积＝2×1＝2．
故选：A．
10．已知直线y＝2x+1与反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象交于点（，n），则关于x的不等式2x+1≥的解集为（　　）
A．x≤ B．x≥ C．x≤2 D．x≥2
【分析】把点（，n）代入直线y＝2x+1中得n的值，利用两函数的解析式列方程组可得结论．
【解答】解：把点（，n）代入直线y＝2x+1中得：n＝2×+1，
∴n＝2，
∴点的坐标为（，2），
∴m＝×2＝1，
∵2x+1＝，
∴x1＝﹣1，x2＝，
∴关于x的不等式2x+1≥的解集为x≥．
故选：B．
11．如图，若反比例函数y1＝与一次函数y2＝ax+b交于A、B两点，当y1＞y2时，则x的取值范围是（　　）

A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或x＞2
C．﹣1＜x＜0 D．x＞2
【分析】写出反比例函数的图象在一次函数的图象上方的自变量的取值范围即可．
【解答】解：观察图象可知，当y1＞y2时，则x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞2．
故选：A．
12．函数y1＝x（x≥0），y2＝（x＞0）的图象如图所示，则结论：
①两函数图象的交点A的坐标为（3，3 ）；
②当x＜3时，y2＞y1；
③当x＝1时，BC＝8；
④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．
其中正确结论的序号是（　　）

A．①③④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【分析】①联立两函数解析式，解方程组，再根据交点A在第一象限即可确定；
②根据函数图象在上方的函数值大于在下方的函数值解答；
③利用两个函数的解析式分别求出x＝1时的函数值，相减即可得到BC的长度；
④分别根据一次函数的增减性与反比例函数的增减性进行判断．
【解答】解：①根据题意列解方程组，
解得 ，；
∴这两个函数在第一象限内的交点A的坐标为（3，3），故①正确；
②根据图象可知，当x＜3时，y1在y2的下方，故y1＜y2，即y2＞y1，故②正确；
③当x＝1时，y1＝1，y2＝＝9，即点C的坐标为（1，1），点B的坐标为（1，9），所以BC＝9﹣1＝8，故③正确；
④由于y1＝x（x≥0）的图象自左向右呈上升趋势，故y1随x的增大而增大，
y2＝（x＞0）的图象自左向右呈下降趋势，故y2随x的增大而减小，故④正确．
故选：B．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD与菱形GFED关于点D成中心对称，点C，G在x轴的正半轴上，点A，F在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，延长AB交x轴于点P（1，0），若∠APO＝120°，则k的值是（　　）

A．3 B．3 C．6 D．6
【分析】连接AB、BD交于点N，作BM⊥x轴于点M，设线段PM＝a，得BM＝a，由菱形ABCD和菱形GFED关于点D成中心对称结合∠APO＝120°可得点A和点F的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，求a，最后求得k．
【解答】解：连接AB、BD交于点N，作BM⊥x轴于点M，
设PM＝a，
∵∠APO＝120°，
∴BM＝a，PB＝2a，
∵菱形ABCD和菱形GFED关于点D成中心对称，点C，G在x轴的正半轴上，
∴AC⊥x轴，AB＝BC，
∴∠PAC＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠BCP＝60°，
∴CM＝BN＝ND＝PM＝a，AC＝2BM＝2a，
∴点A（1+2a，2a），F（1+5a，a），
∵点A和点F在反比例函数图象上，
∴2a（1+2a）＝a（1+5a），
解得：a＝0（舍）或a＝1，
∴A（3，2），
∴k＝3×2＝6，
故选：D．

二．填空题
14．已知反比例函数y＝，如果在每个象限内，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为 　a＞3　．
【分析】根据反比例函数的增减性，可得3﹣a＜0，解不等式即可．
【解答】解：根据题意，得3﹣a＜0，
解得a＞3，
故答案为：a＞3．
15．对于反比例函数y＝，当y＜4且y≠0时，x的取值范围是　x＞0或x＜﹣　．
【分析】求出当y＝4时，对应的自变量的值，再根据反比例函数k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大即可确定．
【解答】解：当y＝4时，x＝﹣＝﹣，
又∵k＝﹣10＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
故当y＜4．且y≠0时，有x＞0或x＜﹣．
故答案为：x＞0或x＜﹣．

16．如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y＝图象于A，B两点，BC⊥y轴于点C，△ABC的面积为6，则k的值为 　﹣6　．

【分析】根据反比例函数的对称性和反比例函数系数k的几何意义，可求出S△BOC＝S△ABC＝＝|k|，再根据图象所在的象限确定k的值即可．
【解答】解：由对称性可知，OA＝OB，
∴S△AOC＝S△BOC＝S△ABC，
∵BC⊥y轴，△ABC的面积为6，
∴S△BOC＝S△ABC＝＝|k|，
又∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
17．教材中有一道题：
如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3＝_____．
请你仔细审题后认真解答，你所得到的答案是 　　．

【分析】根据反比例函数的几何意义，可知图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，据此作答．
【解答】解：由题意，可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．
解法一：
∵S1＝1×（2﹣1）＝1，
S2＝1×（1﹣）＝，
S3＝1×（﹣）＝，
∴S1+S2+S3＝1++＝．
解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，
∴1×2﹣×1＝．
故答案为：．
18．如图，点A，B分别是x轴上的两点，点C，D分别是反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）图象上的两点，且四边形ABCD是平行四边形，则平行四边形ABCD的面积为 　8　．

【分析】根据点C，D分别是反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）图象上的两点，四边形ABCD是平行四边形，可利用点C的纵坐标表示点C、点D的横坐标，求出平行四边形ABCD的边长CD，再根据平行四边形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：解法一：如图，连接OC、OD，CD交y轴于E，
∵点C，D分别是反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）图象上的两点，
∴S△DOE＝×|﹣3|＝，S△COE＝×5＝，
∴S△DOC＝+＝4＝S平行四边形ABCD，
∴S平行四边形ABCD＝8，
故答案为：8．
解法二：
设点C的纵坐标为b，
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴点C的横坐标为，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D的纵坐标也为b，
∵点D在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴点D的横坐标，
∴CD＝﹣＝，
∴平行四边形ABCD的面积为×b＝8，
故答案为：8．

三．解答题
19．已知一次函数y1＝x﹣a+2的图象与反比例函数的图象相交．
（1）判断y2是否经过点（k，1）．
（2）若y1的图象过点（k，1），且2a+k＝5．
①求y2的函数表达式．
②当x＞0时，比较y1，y2的大小．
【分析】（1）把点（k，1）的坐标代入反比例函数的关系式，若满足，点在图象上，否则不在函数的图象上，
（2）①把（k，1）代入一次函数的关系式，得到一个方程，再与2a+k＝5联立方程组求出a、k的值，确定函数关系式，
②根据图象交点坐标以及函数的增减性进行判断，当自变量在不同取值范围时，两个函数的值的大小不同，
【解答】解：（1）点（k，1）满足反比例函数的关系式，
因此y2经过点（k，1）．
（2）①把（k，1）代入一次函数y1＝x﹣a+2得，k﹣a+2＝1，
又∵2a+k＝5，
解得：a＝2，k＝1，
∴y2的函数表达式为y2＝．
②由函数的图象可知：当0＜x＜1时，y1＜y2，当x＝1时，y1＝y2，当x＞1时，y1＞y2．
20．市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．
（1）设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天．
①求y关于t的函数表达式．
②当0＜t≤80时，求y的取值范围．
（2）若1辆卡车每天可运送土石方102立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？
【分析】（1）①根据题意可知，运输公司平均每天的工作量y（m3/天）与完成运送任务所需的时间t（天）之间的函数关系，得出函数关系；②根据反比例函数的性质以及自变量的取值范围得出y的取值范围；
（2）根据题意直接列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）①由题意得；y＝，
∴y关于t的函数表达式为y＝；
②当0＜t≤80时，y随t的增大而减小，
∴当t＝80时，y有最小值为＝12500，
当t接近于0，y的值越来越接近y轴，趋于无穷大，
∴y的取值范围为y≥12500；
（2）设至少要安排x辆相同型号卡车运输，
依题意得：102x×80≥106，
解得：x≥125，
∴公司至少要安排125辆相同型号卡车运输．
21．如图，在平面直角坐标系中矩形OABC的长和宽分别为4和2，反比例函数y＝的图象过矩形对角线的交点D．
（1）求k的值；
（2）求△OAD的面积．

【分析】（1）由长和宽分别为4和2求出点D的坐标，得到k的值；
（2）由三角形的面积公式求△OAD的面积．
【解答】解：（1）∵矩形OABC的长为4，宽为2，
∴D（2，1），
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝2×1＝2，
（2）∵点D（2，1），OA＝2，
∴S△OAD＝×2×2＝2．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象交于点C，B为线段AC的中点．
（1）求点A的坐标．
（2）求k的值．
（3）点D为线段AC上的一个动点，过点D作DE∥x轴，交该反比例函数图象于点E，连结OD，OE．若△ODE的面积为，求点D的坐标．

【分析】（1）在y＝x+2中，令y＝0，求得x＝﹣2，即可求得A的坐标为（﹣2，0）；
（2）根据题意求得C的坐标，然后代入y＝（k＞0，x＞0）即可求得k的值；
（3）设D（x，x+2），则E（，x+2），根据题意S△ODE＝×（）•（x+2）＝，解方程即可求得D的坐标．
【解答】解：（1）在y＝x+2中，令y＝0，则x+2＝0，解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
（2）在y＝x+2中，令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
∵B为线段AC的中点，
∴C（2，4），
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，
∴k＝2×4＝8；
（3）设D（x，x+2），则E（，x+2），
∴DE＝﹣x＝，
∴S△ODE＝×（）•（x+2）＝，
即x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3（舍去），
∴D（1，3）．
23．如图，直线l1：y1＝k1x+b与反比例y＝相交于A（﹣1，6）和B（﹣3，a），直线l2：y2＝k2x与反比例函数y＝相交于A、C两点，连接OB．
（1）求反比例函数的解析式和B、C两点的坐标；
（2）根据图象，直接写出当k1x+b＞时x的取值范围；
（3）求△AOB的面积；
（4）点P是反比例函数第二象限上一点，且点P的横坐标大于﹣3，小于﹣1，连接PO并延长，交反比例函数图象于点Q．
①试判断四边形APCQ的形状；
②当四边形APCQ的面积为10时，求点P的坐标．

【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式，再由点B在反比例函数图象上即可得出点B的坐标，依据正、反比例的对称性结合点A的坐标即可得出点C的坐标；
（2）根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集；
（3）令直线l1：y1＝k1x+b与x轴的交点坐标为D，利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（4）①根据正、反比例的对称性即可得出P、Q关于原点对称，再结合OA＝OC即可得出四边形APCQ为平行四边形；
②连接AP并延长交x轴于点E，设点P坐标为（n，﹣）（﹣3＜n＜﹣1），利用待定系数法即可求出直线AP的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出点E的坐标，利用分割图形求面积法结合平行四边形APCQ的面积为10，即可得出关于n的一元二次方程，解方程求出n值，将其代入点P的坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，6）在反比例y＝的图象上，
∴6＝，解得：m＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣．
当x＝﹣3时，y＝2，
∴点B的坐标为（﹣3，2）．
∵直线l2：y2＝k2x与反比例函数y＝相交于A、C两点，且点A（﹣1，6），
∴点C的坐标为（1，﹣6）．
（2）观察函数图象发现：当﹣3＜x＜﹣1或x＞0时，直线l1：y1＝k1x+b在反比例y＝的上方，
∴当k1x+b＞时x的取值范围为﹣3＜x＜﹣1或x＞0．
（3）令直线l1：y1＝k1x+b与x轴的交点坐标为D，如图1所示．
将A（﹣1，6）、B（﹣3，2）代入y1＝k1x+b中，
得：，解得：，
∴直线l1：y1＝2x+8．
当y1＝0时，x＝﹣4，
∴D（﹣4，0），
∴OD＝4．
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝•OD•（yA﹣yB）＝×4×（6﹣2）＝8．
（4）①∵连接PO并延长，交反比例函致图象于点Q，
∴点P、Q关于原点对称，
∴OP＝OQ．
又∵OA＝OC，
∴四边形APCQ为平行四边形．
②连接AP并延长交x轴于点E，如图2所示．
设点P坐标为（n，﹣）（﹣3＜n＜﹣1），直线AP的解析式为y＝kx+c，
将点A（﹣1，6）、P（n，﹣）代入y＝kx+c中，
得：，解得：，
∴直线AP的解析式为y＝﹣x+，
当y＝0时，x＝n﹣1，
∴E（n﹣1，0）．
∴S四边形APCQ＝4S△AOP＝4וOE•（yA﹣yP）＝10，
整理得：6n2+5n﹣6＝0，
解得：n＝﹣或n＝（舍去），
∴点P的坐标为（﹣，4）．
∴当四边形APCQ的面积为10时，点P的坐标为（﹣，4）．


24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（2，0），点B（0，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y＝（x＞0）的图象上的点（3，n），分别求m与n的值．

【分析】（1）过A作AD⊥x轴于D，证明△BOC≌△CDA，可得OB＝CD，OC＝AD，根据C（2，0），B（0，4），得A（6，2），即可根据待定系数法求得反比例函数的解析式为y＝；
（2）求出直线OA解析式为y＝x，可得将直线OA向上平移m个单位后所得直线解析式为y＝x+m，再由点（3，n）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，得n＝4，即直线OA向上平移m个单位后经过的点是（3，14），即可求出m＝3．
【解答】解：（1）过A作AD⊥x轴于D，如图：

∵∠ACB＝90°，
∴∠OBC＝90°﹣∠BCO＝∠ACD，
在△BOC和△CDA中，
，
∴△BOC≌△CDA（AAS），
∴OB＝CD，OC＝AD，
∵C（2，0），B（0，4），
∴AD＝2，CD＝4，
∴A（6，2），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，
∴2＝，解得k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由（1）得A（6，2），
设直线OA解析式为y＝tx，
则2＝6t，解得t＝，
∴直线OA解析式为y＝x，
将直线OA向上平移m个单位后所得直线解析式为y＝x+m，
∵点（3，n）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，
∴n＝＝4，
∴直线OA向上平移m个单位后经过的点是（3，4），
∴4＝+m，
∴m＝3．