第01讲 二次根式单元分类总复习-2023-2024学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(浙教版)

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第1讲 《二次根式》章节总复习
考点一 二次根式有意义的条件
【知识点睛】
v 二次根式的定义：非负数a的算术平方根叫做二次根式
二次根式的判断不需要化简，直接根据定义判断即可，
易错类型：因为，误认为不是二次根式
v 二次根式有意义的条件
中a叫做被开方数，其中二次根式有意义的条件就是a≥0；
1：当二次根式和分式结合时，要注意分式的分母≠0
2：的双重非负性
；故有：前无“-”，本身值不可能是负的
【方法技巧】
若同一题中的二次根式的两个被开方数互为相反数，则被开方数整体=0；
如：



【类题训练】
1．给出下列各式：；②6；；④（m≤0）；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．
【解答】解：①∵3＞0，∴是二次根式；
②6不是二次根式；
②∵﹣12＜0，∴不是二次根式；
④∵m≤0，∴﹣m≥0，∴是二次根式；
⑤∵a2+1＞0，∴是二次根式；
⑥是三次根式，不是二次根式．
所以二次根式有3个．
故选：B．
2．代数式有意义，那么x应满足的条件是（　　）
A．x≥3 B．x＜3 C．x≤3 D．x≠3
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，进而得出答案．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴6﹣2x≥0，
解得：x≤3．
故选：C．
3．当x＝0时，二次根式的值是 　1　．
【分析】把x＝0代入代数式求解即可．
【解答】解：当x＝0时，
原式＝
＝
＝1．
故答案为：1．
4．若代数式有意义，则x的取值范围是 　x≤且x≠﹣　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2﹣3x≥0且2x+1≠0，
解得：x≤且x≠﹣，
故答案为：x≤且x≠﹣．
5．若是整数，则最小的正整数n的值是 　2　．
【分析】若是整数，n是正整数，则2n最小的值是4，故n＝2．
【解答】解：∵是整数，n是正整数，
∴2n最小的值是4，
∴最小的正整数n的值是2．
故答案为：2．
6．若x，y是实数，且y＝++3，求3的值．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x、y的值，根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：由题意得，4x﹣1≥0，1﹣4x≥0，
解得，x＝，
则y＝3，
则3＝3×＝．
7．（1）已知a、b为实数，且＝b+4，求a、b的值．
（2）已知实数a满足|2021﹣a|+＝a，求a﹣20212的值．
【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的值，进而可得出b的值；
（2）根据二次根式有意义的条件可得出a≥2022，然后根据绝对值的性质对原等式进行化简即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意，
∴a＝5，
∴b+4＝0，
∴b＝﹣4；
（2）由题意得，a﹣2022≥0，
∴2021﹣a＜0，
∴原式可化为a﹣2021+＝a，
∴＝2021，
∴a﹣2022＝20212，
∴a﹣20212＝2022．
考点二 二次根式相关概念
【知识点睛】
v 最简二次根式：满足以下2个条件的二次根式成为最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式；②不含开的尽方的因数或因式
☆：判断最简二次根式，被开方数的字母部分次数最高为1次，且不含分母
二次根式的运算，最后结果都要求必须化为最简二次根式
v 同类二次根式：所含被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式
【类题训练】
1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：A、＝2，故该选项不符合题意；
B、＝，故该选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故该选项符合题意；
D、＝，故该选项不符合题意．
故选：C．
2．下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先化简二次根式，根据同类二次根式的定义即可得出答案．
【解答】解：A．，不能与合并，故该选项不符合题意；
B．，能与合并，故该选项符合题意；
C．，不能与合并，故该选项不符合题意；
D．，不能与合并，故该选项不符合题意．
故选：B．
3．若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　3　．
【分析】根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式即可求解．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴4m﹣1＝2+3m，
解得m＝3，
故答案为：3．
4．已知．
（1）将m化为最简二次根式 　　；
（2）若m÷■＝，则“■”表示的数是 　　．
【分析】（1）根据＝•（a≥0，b≥0）化简即可；
（2）根据除数＝被除数÷商计算即可．
【解答】解：（1）＝
＝×
＝3；
故答案为：3；
（2）3÷
＝÷
＝
＝．
故答案为：．
5．把下列二次根式化简最简二次根式：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）把32写成16×2，然后化简；
（2）把40写成4×10，然后化简；
（3）先把小数写成分数，然后把分母有理化；
（4）分子分母都乘以3，然后化简．
【解答】解：（1）＝＝4；

（2）＝＝2；

（3）＝＝＝；

（4）＝＝．
6．将一组数，，3，2，，…，，3，按下面的方式进行排列：
，，3，2，，
3，，2，3，，
…
按这样的方式进行下去，将2所在的位置记为（1，4），所在的位置记为（2，5），那么在（4，1）的位置上的数是 　4　（结果写成最简二次根式的形式）．
【分析】根据二次根式的规律得到在（4，1）的位置上的数是，化简即可得出答案．
【解答】解：在（4，1）的位置上的数是＝4．
故答案为：4．

公式①、②、③常用于以下两种题型：
（1） 化简求值
（2） 无理数比较大小
常见比较大小的三种方式：
（1） 利用近似值比较大小
（2） 把系数移到根号内比较
（3） 分别平方，然后比较大小
以上方法注意两数的正负号
考点三 二次根式的运算
【知识点睛】
v 二次根式乘法公式：
公式④及其变形常用于分母有理化的化简，即分式的分子分母同乘分母的无理化因式，使分母变为整数。
v 二次根式除法公式：


【方法技巧】
二次根式的混合运算中，运算顺序同有理数运算顺序一样，先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，且最后的计算结果必须是最简二次根式



【类题训练】
1．若，则x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
【分析】根据题意可知x﹣3≥0，直接解答即可．
【解答】解：∵，
即x﹣3≥0，
解得x≥3，
故选：B．
2．下列式子正确的是（　　）
A． B． C．＝﹣1 D．
【分析】利用开平方的性质和开立方的性质计算．
【解答】解：根据二次根式的性质：
A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、属于立方根的运算，故C正确；
D、＝2，故D错误．
故选：C．
3．化简的结果为（　　）
A．2+ B．2﹣ C．﹣2+ D．﹣2﹣
【分析】分子和分母都乘以2+，再求出即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2+．
故选：A．
4．已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　）
A．相等 B．互为相反数
C．互为倒数 D．互为有理化因式
【分析】求出a与b的值即可求出答案．
【解答】解：∵a＝＝+2，b＝2+，
∴a＝b，
故选：A．
5．计算的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则化简，进而得出答案．
【解答】解：
＝
＝
＝．
故选：C．
6．若a＝﹣+﹣，则a的值所在范围为（　　）
A．a≥0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜2 D．a＞2
【分析】先把含有二次根式的分式分母有理化，再合并同类二次根式，然后求出的取值范围，进而可求a的取值范围．
【解答】解：∵a＝3+﹣（+）+（+）﹣（+）＝3﹣
又∵2＜＜3，
∴0＜a＜1．
故选：B．
7．计算：＝　　．
【分析】分子分母同乘以﹣，再化简即可．
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
8．如果a＜0，b＜0，那么下列各式，①＝；②×＝1；③÷＝﹣b，④＝﹣ab，正确的有 　②③　．
【分析】根据二次根式的性质逐一进行化简即可．
【解答】解：∵a＜0，b＜0，
∴，没有意义，
故①选项不符合题意；
②×＝1，
故②选项符合题意；
③÷
＝
＝
＝﹣b，
故③选项符合题意；
④（）2＝ab，
故④选项不符合题意，
综上所述，符合题意的有②③，
故答案为：②③．
9．计算：3•÷（﹣）．
【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣3××）•
＝﹣2•
＝﹣2y．
10．计算：2x÷3•
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝×
＝×
＝．
11．计算：2×÷．
【分析】根据二次根式的乘除运算法则求解．
【解答】解：2×÷
＝2
＝2
＝．
12．化简：．
【分析】利用二次根式的乘法的法则及除法的法则进行运算即可．
【解答】解：
＝÷10
＝4×
＝．
13．计算．
【分析】根据二次根式的乘除法则及二次根式的化简进行运算
【解答】解：原式＝×
＝﹣
＝﹣a2b
＝．
14．你能找出规律吗？
（1）计算：＝　6　，＝　6　；＝　20　，＝　20　．
（2）由（1）的结果猜想：＝　　．（a≥0，b≥0）
（3）按照找到规律计算：①；②．
【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可；
（2）根据规律得出结论；
（3）①利用规律进行计算即可；
②将小数化成分式，再根据规律进行计算即可．
【解答】解：（1）×＝2×3＝6，＝＝6；
×＝4×5＝20，＝＝20，
故答案为：6，6；20，20；
（2）×＝，
故答案为：；
（3）①×＝＝＝20；
②×＝＝＝4．
15．观察下列各式及其验证过程：
＝，
验证：＝＝＝；
＝，
验证：＝＝＝；
＝；
验证：＝＝＝．
（1）按照上述三个等式及其验证过程，猜想的结果；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n是大于等于2的自然数）表示的等式．
【分析】（1）仔细观察所给的式子，发现等式左边根号里是一个分数和一个带括号的分数减法运算的乘积，结果是一个分数与一个根式的乘积，分数是等号左边根号里减法运算中的被减数；根式中的分子是左边根号里减法运算中的被减数的分母，根式中的分母是左边根号里分数的分母与分数运算中减数分母的乘积，再结合二次根式的运算，进行即可解答；
（2）利用（1）中的关系，结合运算中各个量之间的大小关系，即可得到关于n的等式．
【解答】解：（1）＝，
验证：左边＝，
＝＝＝右边，故正确；
（2）＝
验证：左边＝，
＝＝＝右边，故正确．
考点四 二次根式的化简求值及简单应用
【知识点睛】
v 二次根式的化简求值解题步骤：
①根据实数的混合运算法则和二次根式的性质公式将所给代数式化到最简
B
②将所给字母的值带入计算
☆化简求值问题所得结果必须是最简二次根式或者实数
v 图形的坡比：
C
A
直线AB的坡比i=
【类题训练】
1．已知x＝+1，则x2﹣2x+1的值为（　　）
A．0 B．3 C．1 D．
【分析】先利用完全平方公式把代数式因式分解，再进一步代入求得数值即可．
【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
当x＝+1时，
原式＝（+1﹣1）2＝3．
故选：B．
2．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　）
A．2+10 B．4+5
C．4+10 D．4+5或2+10
【分析】分腰长为和两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角形的三边关系进行验证，可求得其周长．
【解答】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，不满足三角形的三边关系；
当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，满足三角形的三边关系，此时周长为2+10．
综上可知，三角形的周长为2+10．
故选：A．
3．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　）

A．11 B．10 C．9 D．8
【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【解答】解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为2﹣6，
∴一个空白长方形面积＝，
∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，
∴大正方形边长＝，重叠部分边长＝，
∴空白部分的长＝，
设空白部分宽为x，可得：，
解得：x＝，
∴小正方形的边长＝空白部分的宽+阴影部分边长＝，
∴小正方形面积＝＝10，
故选：B．
4．设a＝，b＝，则a2021b2022的值是 　﹣　．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a＝，b＝，
∴ab＝（+）（﹣）＝7﹣6＝1，
∴a2021b2022
＝a2021b2021•b
＝（ab）2021•b
＝12021•b
＝1×（﹣）
＝﹣，
故答案为：﹣．
5．已知x＝，y＝，+﹣4＝　30　．
【分析】先分母有理化，进一步得到xy，x+y，再将+﹣4变形后代入计算即可求解．
【解答】解：∵x＝＝3+2，y＝＝3﹣2，
∴x+y＝6，xy＝9﹣8＝1，
∴+﹣4＝﹣4＝﹣4＝﹣4＝34﹣4＝30．
故答案为：30．
6．解关于x的方程：，则x＝　　．
【分析】先根据＝﹣，将方程左边化简，再解方程即可．
【解答】解：∵＝﹣，
∴原方程可化为（﹣）x+（﹣）x+（﹣）x+……+（﹣）x＝1，
整理得（﹣）x＝1，
解得x＝．
故答案为：．
7．计算：2+﹣12．
【分析】先化简，再进行加减运算即可．
【解答】解：2+﹣12
＝4+5﹣4
＝5．
8．．
【分析】先将式子中二次根式化简成最简二次根式，再根据二次根式的加减法法则即可求解．
【解答】解：
＝4﹣4×+
＝4﹣2+
＝3．
9．计算：3+|﹣2|﹣．
【分析】首先去绝对值符号、化简，再合并即可求得结果．
【解答】解：原式＝3+2﹣﹣2
＝2．
10．计算：（6﹣）﹣（+）．
【分析】直接化简二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝6×﹣﹣﹣
＝6×﹣﹣﹣
＝﹣﹣﹣
＝3﹣．
11．计算：
（1）；
（2）．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝4+2﹣2
＝2+3．
（2）原式＝4+﹣1×+8+4+（）2
＝5+3
＝11+4+5．
12．阅读与思考
请仔细阅读并完成相应任务：在解决问题“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝+1
∴．a﹣1＝，∴a2﹣2a＝1，
∴3a2﹣6a＝3，3a2﹣6a﹣1＝2．
任务：请你根据小明的分析过程，解决如下问题：若a＝，求2a2﹣12a+1的值．
【分析】先利用分母有理化化简a，再利用完全平方公式求出a2﹣6a的值，最后整体代入．
【解答】解：∵
＝
＝，
，
∴（a﹣3）2＝7，
即a2﹣6a+9＝7，
∴a2﹣6a＝﹣2，
∴2a2﹣12a＝﹣4，
∴2a2﹣12a+1＝﹣4+1＝﹣3．
即2a2﹣12a+1的值为﹣3．
13．（1）先化简再求值：，其中．
（2）已知a、b、c为△ABC的三边，化简：
．
【分析】（1）根据分式的混合运算法则把原式化简，把a、b的值代入计算即可；
（2）根据三角形的三边关系、二次根式的性质把原式化简，合并同类项得到答案．
【解答】解：（1）原式＝÷（﹣）
＝÷
＝﹣•
＝，
当a＝2+，b＝2﹣时，原式＝＝﹣；
（2）∵a、b、c为△ABC的三边，
∴a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0，
则原式＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b+c﹣a﹣b＝4c．
14．小明家装修，电视背景墙长BC为，宽AB为，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（图中阴影部分）．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为6元/m2，大理石的造价为200元/m2，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）

【分析】（1）根据矩形的面积公式求解；
（2）先求大理石和壁布的面积，再求总费用．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长为：2（+）＝2（3+2）＝（6+4）m，
答：长方形ABCD的周长是（6+4）m；
（2）长方形ABCD的面积：，
大理石的面积：，
壁布的面积：，
整个电视墙的总费用：（元），
答：整个电视墙需要花费424元．
15．如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．
（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；
（2）求阴影部分的面积．

【分析】（1）根据正方形的面积公式求得边长；
（2）先求出直角三角形BFG、ABD的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，这就是阴影部分的面积．
【解答】解：（1）正方形ABCD的边长为：BC＝，
正方形ECFG的边长为：CF＝；
（2）∵BF＝BC+CF，BC＝2，CF＝4，
∴BF＝6；
∴S△BFG＝GF•BF＝24；
又S△ABD＝AB•AD＝4，
∴S阴影＝S正方形ABCD+S正方形ECFG﹣S△BFG﹣S△ABD
＝8+32﹣24﹣4，
＝12．
16．（1）图1中三角形ABC的面积为 　3　．
（2）在图2中画出边长为、、3的三角形并求其面积．

【分析】（1）利用长方形面积减去三个三角形面积即是所求三角形的面积；
（2）利用勾股定理确定，线段的长，再画出三角形，求出三角形的面积即可．
【解答】解：（1）三角形ABC的面积为：
2×4﹣×1×2﹣×1×3﹣×1×4
＝8﹣1﹣﹣2
＝3；
故答案为：3．
（2）如下图，三角形ABC就是边长为、、3的三角形．

三角形ABC的面积为：
×3×1
＝．
17．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长200米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD））急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案：沿背水坡面用混泥土进行加固，加固后背水坡DE的坡比i＝1：．
（1）求加固后坝底增加的宽度AE；（结果保留根号）
（2）求完成这项工程需要多少方混泥土？（结果精确到1立方米，≈1.73）

【分析】（1）过D作AB的垂线，设垂足为F．在Rt△EFD中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出水平宽EF的长；同理可在Rt△AFD中求出AF的长；由AE＝EF﹣AF求出AE的长．
（2）根据三角形面积公工求得△EFD面积．△EFD的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．
【解答】解：（1）过D作AB的垂线，设垂足为F．

在Rt△EFD中，，
∵DF＝10米，
∴米，
在Rt△AFD中，
∵∠DAF＝45°，
∴∠ADF＝∠DAF＝45°，
∴AF＝DF＝10米，
∴米；
（2）∵平方米，
∴加宽部分的体积V＝S△AED×坝长＝立方米．
答：完成这项工程需要7300方混泥土．