2021学年8.2 立体图形的直观图导学案

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 《8.2  立体图形直观图》

导学案

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本节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）

第八章 立体几何初步

8.2  立体图形的直观图

学习目标：

1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，培养直观想象的核心素养；

2.会利用直观图与原图形面积之间的关系进行运算，培养数学运算的核心素养；

3.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图，培养直观想象的核心素养。

学习重难点：

1.重点：了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤

2.难点：会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图

自主预习：

1. 本节所处教材的第     页.
2. 复习——

①　多面体的结构：                                     

②　旋转体的结构：                                     

3. 预习——

     斜二测画法：                                                          

          水平放置的平面图形的直观图：                                           

立体图形的直观图：                                                    

   直观图与原图形面积的关系：                                                      

新课导学 

学习探究

（一）新知导入

 美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系.

【问题】　在画板上画实物图时，其中的直角在图中一定画成直角吗？

（二）斜二测画法

1.斜二测画法的步骤

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴， 两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 平行于x′轴或y′轴的线段．

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

2.用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤

(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．

(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．

(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．

【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　　)

(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行．(　　)

(3)相等的角在直观图中仍相等．(　　)

（4）在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.(    )

（5）建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点.(    )

【点拨】直观图中“变”与“不变”

(1)平面图形用其直观图表示时，一般来说，平行关系不变.

(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化).

(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化，这种变化，目的是使图形富有立体感.

（三）典型例题

1.画水平放置的平面图形的直观图

例1.如图，画出水平放置的等腰梯形的直观图(尺寸自定)．

【类题通法】画水平放置的平面图形的直观图的技巧

(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．

(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定．

(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．

【巩固练习1】画出水平放置的直角梯形的直观图．(尺寸自定)

2.画空间几何体的直观图

例2.已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．

【类题通法】画空间图形的直观图的原则：

(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段．

(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的.　

【巩固练习2】用斜二测画法画出六棱锥P­ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定)．

3.由直观图还原平面图形

例3.如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．

【类题通法】由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．

【巩固练习3】如图，正方形O′A′B′C′的边长为a，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC的周长是多少？

4.直观图与原图形的面积

例4.如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.求原图形的面积．

【类题通法】直观图与原图形的面积问题

方法1：由直观图还原出原图形，进而确定相关的量，从而求出原图形的面积．

方法2：不作图，直接根据面积关系S直＝S原求解.

【巩固练习4】已知正△ABC的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是(　　)

A.a2　　　　　B.a2        C.a2 D.a2

（四）操作演练  素养提升

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(　　)

A．原来相交的仍相交　　　　 B．原来垂直的仍垂直

C．原来平行的仍平行   D．原来共点的仍共点

2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的(　　)

3．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为(　　)

A．2S      B.S      C．2S   D.S

4．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　)

A．平行于z′轴且大小为10 cm                B．平行于z′轴且大小为5 cm

C．与z′轴成45°且大小为10 cm             D．与z′轴成45°且大小为5 cm

课堂小结

1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2.  在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价

【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（  ）

A.很好          B.较好          C.一般           D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：                                  

课后作业

完成教材：第109页  练习     第1，2题

第111页  练习     第1，2,3题

         第111 页   习题8.2  第1,2,3，4,5，6,7题