2023届高考数学一轮复习作业平面向量的基本定理及坐标表示新人教B版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业平面向量的基本定理及坐标表示新人教B版（答案有详细解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b等于( )
A．(6,3) B．(－2，－6)
C．(2,1) D．(7,2)
B [2a－3b＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．]
2．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1,3)，则下列向量与2a＋b平行的是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2,3))) B．(1，－3)
C．(1，－2) D．(0,2)
A [因为a＝(2，－1)，b＝(－1,3)，所以2a＋b＝(3,1)，
故若向量(x，y)满足3y－x＝0，则向量(x，y)与2a＋b平行．
A中，由3×eq \f(2,3)－2＝0成立，知2a＋b与向量eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2,3)))平行，A正确；
B中，由3×(－3)－1≠0知，2a＋b与(1，－3)不平行，B错误；
C中，由3×(－2)－1≠0知，2a＋b与向量(1，－2)不平行，C错误；
D中，由3×2－0≠0知，2a＋b与向量(0,2)不平行，D错误．]
3．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2,0)，若向量ma＋b与2a－nb共线，则mn＝( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
D [因为a＝(1，－1)，b＝(2,0)，所以1×0－(－1)×2≠0，
∴a与b不共线，则a与b可以作为平面内的一组基底，
因为ma＋b与2a－nb共线，又ma＋b＝(m＋2，－m)，2a－nb＝(2－2n，－2)，
所以(m＋2)×(－2)＝－m(2－2n)，即mn＝－2，故选D．]
4．(2021·山东菏泽高三模拟)如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记a＝eq \(BA,\s\up7(→))，b＝eq \(BC,\s\up7(→))，则eq \(CF,\s\up7(→))＝( )
A．eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B．eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
C．－eq \f(1,4)a＋eq \f(3,8)b D．eq \f(3,4)a－eq \f(5,8)b
D [取a＝eq \(BA,\s\up7(→))，b＝eq \(BC,\s\up7(→))作为基底，则eq \(BE,\s\up7(→))＝a＋eq \f(1,2)b．
因为BF＝3FE，所以eq \(BF,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)eq \(BE,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))＝eq \f(3,4)a＋eq \f(3,8)b，
所以eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \(BF,\s\up7(→))－eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)a＋eq \f(3,8)b－b＝eq \f(3,4)a－eq \f(5,8)b．]
5．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AC,\s\up7(→))＝b，则eq \(AD,\s\up7(→))＝( )
A．a－eq \f(1,2)b B．eq \f(1,2)a－b
C．a＋eq \f(1,2)b D．eq \f(1,2)a＋b
D [连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a，
所以eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝b＋eq \f(1,2)a．]
6．在△OAB中，eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，eq \(OP,\s\up7(→))＝p，若p＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,|a|)＋\f(b,|b|)))，t∈R，则点P在( )
A．∠AOB平分线所在直线上
B．线段AB中垂线上
C．AB边所在直线上
D．AB边的中线上
A [∵eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|)均为单位向量，且p＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,|a|)＋\f(b,|b|)))
∴p落在以eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|)为邻边的菱形的对角线上，即∠AOB平分线所在直线上，故选A．]
7．(2021·山东泰安市高三三模)已知平面四边形ABCD满足eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up7(→))，平面内点E满足eq \(BE,\s\up7(→))＝3eq \(CE,\s\up7(→))，CD与AE交于点M，若eq \(BM,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋yeq \(AD,\s\up7(→))，则x＋y＝( )
A．eq \f(5,2) B．－eq \f(5,2) C．eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
C [易知BC＝4AD，CE＝2AD，
eq \(BM,\s\up7(→))＝eq \(AM,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(AE,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→)))－eq \(AB,\s\up7(→))
＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up7(→))＋6eq \(AD,\s\up7(→)))－eq \(AB,\s\up7(→))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(→))＋2eq \(AD,\s\up7(→))，∴x＋y＝eq \f(4,3)，故选C ．]
8．如图，每个小正方格的边长都是1，eq \(AD,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋μeq \(AC,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，则λ·μ的值为( )
A．1 B．eq \f(1,2) C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(3,2)
C [建立如图所示的平面直角坐标系：
可得A(0,0)，D(1,2)，B(2,1)，C(4，－1)，
所以eq \(AD,\s\up7(→))＝(1,2)，eq \(AB,\s\up7(→))＝(2,1)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(4，－1)，
由eq \(AD,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋μeq \(AC,\s\up7(→))，有(1,2)＝λ(2,1)＋μ(4，－1)＝(2λ＋4μ，λ－μ)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ＋4μ＝1，,λ－μ＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(3,2)，,μ＝－\f(1,2)，))所以λ·μ＝－eq \f(3,4)．]
二、填空题
9．在▱ABCD中，AC为一条对角线，eq \(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，则向量eq \(BD,\s\up7(→))的坐标为 ．
(－3，－5) [∵eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))，∴eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝(－1，－1)，
∴eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝(－3，－5)．]
10．已知A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O为坐标原点，且eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(CB,\s\up7(→)))，则|eq \(BD,\s\up7(→))|＝ ．
2eq \r(2) [由eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(CB,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))知，点D是线段AC的中点，故D(2,2)，
所以eq \(BD,\s\up7(→))＝(－2,2)．
故|eq \(BD,\s\up7(→))|＝eq \r(－22＋22)＝2eq \r(2)．]
11．已知向量eq \(OA,\s\up7(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up7(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up7(→))＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是 ．
{k|k≠1} [由题意可知eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝(1,2)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(k，k＋1)．要使A，B，C三点能构成三角形，则eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(AC,\s\up7(→))不共线，
∴1×(k＋1)－2k≠0，即k≠1．]
12．平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(→))＝e1，eq \(AC,\s\up7(→))＝e2，eq \(NC,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(→))，eq \(BM,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC,\s\up7(→))，则eq \(MN,\s\up7(→))＝ ．(用e1，e2表示)
－eq \f(2,3)e1＋eq \f(5,12)e2 [如图，eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \(CN,\s\up7(→))－eq \(CM,\s\up7(→))＝eq \(CN,\s\up7(→))＋2eq \(BM,\s\up7(→))＝eq \(CN,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up7(→))
＝－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→)))
＝－eq \f(1,4)e2＋eq \f(2,3)(e2－e1)
＝－eq \f(2,3)e1＋eq \f(5,12)e2．]
1．(2021·吉林东北师大附中高三模拟)如图，在同一个平面内，向量eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(OC,\s\up7(→))的夹角为α，且tan α＝7，向量eq \(OB,\s\up7(→))与eq \(OC,\s\up7(→))的夹角为45°，且|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up7(→))|＝eq \r(2)．若eq \(OC,\s\up7(→))＝meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→))(m∈R，n∈R)，则n－m＝ ．
eq \f(1,2) [由已知条件可知，α为锐角，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α＝\f(sin α,cs α)＝7，,sin2α＋cs2α＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(7\r(2),10)，,cs α＝\f(\r(2),10)，))
以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设点A在第四象限，
因为|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up7(→))|＝eq \r(2)，由已知条件可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),10)，－\f(7\r(2),10)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，C(eq \r(2)，0)，
因为eq \(OC,\s\up7(→))＝meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→))(m∈R，n∈R)，
所以，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),10)m＋\f(\r(2),2)n＝\r(2)，,－\f(7\r(2),10)m＋\f(\r(2),2)n＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,4)，,n＝\f(7,4).))
因此，n－m＝eq \f(1,2)．]
2．(2021·河北保定高三模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若eq \(AF,\s\up7(→))＝xeq \(AE,\s\up7(→))＋yeq \(DC,\s\up7(→))(x>0，y>0)，则eq \f(2－3x,4y2＋1)的最大值为 ．
eq \f(1,2) [如图，设BD与AE的交点为O，则由DE∥AB，得eq \f(AO,AE)＝eq \f(AB,AB＋DE)＝eq \f(2,3)，所以eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(3,2)eq \(AO,\s\up7(→))，所以eq \(AF,\s\up7(→))＝xeq \(AE,\s\up7(→))＋yeq \(DC,\s\up7(→))＝eq \f(3x,2)eq \(AO,\s\up7(→))＋yeq \(AB,\s\up7(→))．由点O，
F，B共线，得eq \f(3x,2)＋y＝1，所以eq \f(2－3x,4y2＋1)＝eq \f(2y,4y2＋1)＝eq \f(2,4y＋\f(1,y))≤eq \f(1,2)，当且仅当y＝eq \f(1,2)，x＝eq \f(1,3)时取等号，即eq \f(2－3x,4y2＋1)的最大值为eq \f(1,2)．]