2023届高考数学一轮复习作业平面向量的概念及线性运算新人教B版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业平面向量的概念及线性运算新人教B版（答案有详细解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0．④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．]
2．设a，b是非零向量，则“存在实数λ，使得a＝λb”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [当λ＜0时，|a＋b|≠|a|＋|b|；
当λ＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b|．故选B．]
3．设a，b不共线，eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋3b，eq \(BC,\s\up7(→))＝a＋2b，eq \(CD,\s\up7(→))＝3a＋mb，若A，C，D三点共线，则实数m的值是 ( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,5) C．eq \f(7,2) D．eq \f(15,2)
D [eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＝2a＋5b，eq \(CD,\s\up7(→))＝3a＋mb，
若点A，C，D三点共线，则eq \(AC,\s\up7(→))＝λeq \(CD,\s\up7(→))，即2a＋5b＝λ(3a＋mb)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝3λ，,5＝mλ，))解得λ＝eq \f(2,3)，m＝eq \f(15,2)．]
4．如图，在平行四边形ABCD中，eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(→))，若eq \(ED,\s\up7(→))＝λeq \(AD,\s\up7(→))＋μeq \(AB,\s\up7(→))，则λ＋μ＝( )
A．－eq \f(1,3) B．1
C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,3)
D [eq \(ED,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))，
又∵eq \(ED,\s\up7(→))＝λeq \(AD,\s\up7(→))＋μeq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(AB,\s\up7(→))不共线，根据平面向量基本定理可得λ＝eq \f(2,3)，μ＝－eq \f(1,3)，
∴λ＋μ＝eq \f(1,3)，故选D．]
5．在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边CD上，且满足eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(→))，eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up7(→))，则eq \(EF,\s\up7(→))＝( )
A．eq \f(1,12)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up7(→)) B．－eq \f(1,12)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up7(→))
C．eq \f(1,12)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up7(→)) D．－eq \f(1,12)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up7(→))
A [eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(EC,\s\up7(→))＋eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→)))＋eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→)))－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,12)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up7(→))，故选A．]
6．(2021·河南安阳高三模拟)已知a，b是不共线向量，且eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋5b，eq \(BC,\s\up7(→))＝－2a＋8b，eq \(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，则( )
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
A [选项A：由eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝eq \(AB,\s\up7(→))，
即eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))，所以A，B，D三点共线，故选项A正确．
选项B：由eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋5b，eq \(BC,\s\up7(→))＝－2a＋8b，可得向量eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(BC,\s\up7(→))不共线，
所以A，B，C三点不共线，故选项B不正确．
选项C：由eq \(BC,\s\up7(→))＝－2a＋8b，eq \(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，可得向量eq \(CD,\s\up7(→))与eq \(BC,\s\up7(→))不共线，
所以B，C，D三点不共线，故选项C不正确．
选项D：由eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＝a＋5b＋(－2a＋8b)＝－a＋13b，即eq \(AC,\s\up7(→))＝－a＋13b，
又eq \(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，显然可得向量eq \(CD,\s\up7(→))与eq \(AC,\s\up7(→))不共线，
所以A，C，D三点不共线，故选项D不正确．]
7．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋2eq \(OC,\s\up7(→))＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B [如图，∵D为AB的中点，则eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→)))，又eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋2eq \(OC,\s\up7(→))＝0，
∴eq \(OD,\s\up7(→))＝－eq \(OC,\s\up7(→))，
∴O为CD的中点，
又∵D为AB中点，∴S△AOC＝eq \f(1,2)S△ADC＝eq \f(1,4)S△ABC，则eq \f(S△ABC,S△AOC)＝4．]
8．如图所示，平面内有三个向量eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))，eq \(OC,\s\up7(→))，其中eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(OB,\s\up7(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(OC,\s\up7(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up7(→))|＝eq \r(3)，若eq \(OC,\s\up7(→))＝λeq \(OA,\s\up7(→))＋μeq \(OB,\s\up7(→))，则λ＋μ＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [法一：∵eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(OB,\s\up7(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(OC,\s\up7(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up7(→))|＝eq \r(3)，∴由eq \(OC,\s\up7(→))＝λeq \(OA,\s\up7(→))＋μeq \(OB,\s\up7(→))，两边平方得3＝λ2－λμ＋μ2，①
由eq \(OC,\s\up7(→))＝λeq \(OA,\s\up7(→))＋μeq \(OB,\s\up7(→))，两边同乘eq \(OA,\s\up7(→))得eq \f(3,2)＝λ－eq \f(μ,2)，两边平方得eq \f(9,4)＝λ2－λμ＋eq \f(μ2,4)，②
①－②得eq \f(3μ2,4)＝eq \f(3,4)．根据题图知μ＞0，∴μ＝1．代入eq \f(3,2)＝λ－eq \f(μ,2)得λ＝2，∴λ＋μ＝3．故选C．
法二：建系如图：
由题意可知A(1,0)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))＝λ(1,0)＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2)μ，\f(\r(3),2)μ))．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2)μ＝\f(3,2)，,\f(\r(3),2)μ＝\f(\r(3),2)，))∴μ＝1，λ＝2．∴λ＋μ＝3．]
二、填空题
9．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为 ．
－eq \f(1,2) [由于c与d共线反向，则存在实数k使
c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b．
由于a，b不共线，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝k，,2λk－k＝1，))
整理得2λ2－λ－1＝0，
解得λ＝1或λ＝－eq \f(1,2)．
又因为k＜0，
所以λ＜0，故λ＝－eq \f(1,2)．]
10．在等腰梯形ABCD中， eq \(AB,\s\up7(→))＝2eq \(DC,\s\up7(→))，点E是线段BC的中点，若eq \(AE,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋μeq \(AD,\s\up7(→))，则λ＝ ，μ＝ ．
eq \f(3,4) eq \f(1,2) [取AB的中点F，连接CF(图略)，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD．
∵eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)(eq \(FC,\s\up7(→))－eq \(FB,\s\up7(→)))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up7(→))－\f(1,2)\(AB,\s\up7(→))))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))，∴λ＝eq \f(3,4)，μ＝eq \f(1,2)．]
11．已知△ABC和点M满足eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(MB,\s\up7(→))＋eq \(MC,\s\up7(→))＝0，若存在实数m使得eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝meq \(AM,\s\up7(→))成立，则m＝ ．
3 [由已知条件得eq \(MB,\s\up7(→))＋eq \(MC,\s\up7(→))＝－eq \(MA,\s\up7(→))，M为△ABC的重心，∴eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))，
即eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝3eq \(AM,\s\up7(→))，则m＝3．]
12．下列命题正确的是 ．(填序号)
①向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；
②在△ABC中，eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CA,\s\up7(→))＝0；
③只有方向相同或相反的向量是平行向量；
④若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线．
④ [易知①②③错误．
∵向量a与b不共线，∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．
若a＋b与a－b共线，则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－1＝0，,1＋λ＝0，))此时λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不共线．]
1．(2021·广东佛山高三模拟)已知正六边形ABCDEF中，eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(EF,\s\up7(→))＝( )
A．eq \(AF,\s\up7(→)) B．eq \(BE,\s\up7(→)) C．eq \(CD,\s\up7(→)) D．0
D [如图，连接AD，BE，设AD与BE交于O点，则：
eq \(BO,\s\up7(→))＝eq \(CD,\s\up7(→))，eq \(OA,\s\up7(→))＝eq \(EF,\s\up7(→))，∴eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＋eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BO,\s\up7(→))＋eq \(OA,\s\up7(→))＝eq \(AO,\s\up7(→))＋eq \(OA,\s\up7(→))＝0．]
2．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，AD上的点，且eq \(BM,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(AN,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(→))，连接AC，MN交于P点，若eq \(AP,\s\up7(→))＝λeq \(AC,\s\up7(→))，则λ的值为( )
A．eq \f(4,7) B．eq \f(4,13) C．eq \f(5,7) D．eq \f(7,13)
A [因为eq \(BM,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(→))，所以eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BM,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))，
又因为eq \(AN,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(→))，所以eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(3,2)eq \(AN,\s\up7(→))，eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(AM,\s\up7(→))－eq \f(3,4)eq \(AN,\s\up7(→))，
又eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AM,\s\up7(→))＋eq \f(3,4)eq \(AN,\s\up7(→))，且eq \(AP,\s\up7(→))＝λeq \(AC,\s\up7(→))，所以eq \(AP,\s\up7(→))＝λeq \(AM,\s\up7(→))＋eq \f(3,4)λeq \(AN,\s\up7(→))，
因为M，N，P三点共线，所以λ＋eq \f(3,4)λ＝1，解得λ＝eq \f(4,7)，故选A．]