河北省承德市第七中学2021-2022学年上学期九年级第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份河北省承德市第七中学2021-2022学年上学期九年级第一次月考数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年河北省承德七中九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题.（本大题有16个小题，共42分.1~10小题各3分，11~16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．m≠±1 B．m＝1 C．m≠﹣1 D．m≠1
2．（3分）若方程化成一般形式后，二次项的系数为，则它的一次项是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣3x D．3x
3．（3分）下列各点不在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上的是（　　）
A．（0，﹣1） B．（1，0） C．（2，﹣1） D．（3，0）
4．（3分）下列未知数的值中，是方程x2+2x﹣3＝0的根是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝2
5．（3分）抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（　　）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
6．（3分）已知x＝﹣1是方程x2+mx+1＝0的一个实数根，则m的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
7．（3分）下列抛物线，顶点坐标为（1，）的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（　　）
A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2
9．（3分）若x＝2是方程x2﹣mx+2n＝0的一个根，则m﹣n的值为（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．无法确定
10．（3分）二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2分）关于x＝﹣1的方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
12．（2分）方程x2﹣9x+14＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　）
A．11 B．16 C．11或16 D．不能确定
13．（2分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列说法正确的是（　　）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象向右平移2个单位长度是y＝﹣（x+1）2+5
C．当x＝1时，y有最大值5
D．该函数的图象与坐标轴有两个交点
14．（2分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　）
A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1
15．（2分）当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是（　　）
A．﹣3≤a≤1 B．﹣2≤a≤1 C．﹣3＜a＜1 D．﹣2＜a＜1
16．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝2，且过点（4，0），则下列说法正确的有（　　）
①ac＞0；②4a+b＝0；③a+b+c＞0；④对于任意实数m，都有m（am+b）≤2a+b．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题.（本大题有3个大题，共12分.17~18小题各3分；19小题有三个空，每空2分）
17．（3分）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的新抛物线的解析式为 　 　．
18．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为：　 　．
19．（6分）已知一次函数y＝ax+b（ab≠0）和二次函数y＝ax2+bx﹣2，其中一次函数的图象经过第一、三、四象限．
（1）二次函数图象在y轴的左侧部分，y随x的增大而 　 　；
（2）二次函数图象的顶点所在的象限是第 　 　象限；
（3）一次函数图象与二次函数图象的交点有 　 　个．
三、解答题.（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）用适当方法解下列方程
（1）x2+6x﹣40＝0；
（2）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2．
21．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（5，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．

22．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，求x2﹣3x+k＝0的解．
（3）在（2）的条件下，若一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+2＝0有一个相同的根，求此时m的值．
23．（9分）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求a，b的值；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B移动，同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D移动（点P到达点B停止时，点Q也随之停止运动），设点P运动时间为t秒．

（1）试求当t为何值时四边形APQD为矩形；
（2）P、Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为5cm．
25．（10分）2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．
（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；
（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包价格在3月的基础上，每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？
26．（12分）图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）设M为该抛物线的顶点，D为抛物线的对称轴与x轴的交点，如图2所示，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


2021-2022学年河北省承德七中九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.（本大题有16个小题，共42分.1~10小题各3分，11~16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．m≠±1 B．m＝1 C．m≠﹣1 D．m≠1
【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于m的不等式，解之即可．
【解答】解：根据题意得：
m﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选：D．
2．（3分）若方程化成一般形式后，二次项的系数为，则它的一次项是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣3x D．3x
【分析】先根据移项化成x2+3x﹣17＝0，再得出答案即可．
【解答】解：方程化成一般形式为：x2+3x﹣17＝0，则一次项是3x，
故选：D．
3．（3分）下列各点不在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上的是（　　）
A．（0，﹣1） B．（1，0） C．（2，﹣1） D．（3，0）
【分析】将各选项点的横坐标代入解析式，算出纵坐标，即可判断点是否在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上．
【解答】解：在y＝﹣x2+2x﹣1中，
令x＝0得y＝﹣1，
∴（0，﹣1）在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，A不符合题意；
令x＝1得y＝﹣1+2﹣1＝0，
∴（1，0）在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，B不符合题意；
令x＝2得y＝﹣4+4﹣1＝﹣1，
∴（2，﹣1）在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，C不符合题意；
令x＝3得y＝﹣9+6﹣1＝﹣4，
∴（3，0）不在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，D符合题意；
故选：D．
4．（3分）下列未知数的值中，是方程x2+2x﹣3＝0的根是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝2
【分析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：∵x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
故选：C．
5．（3分）抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（　　）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝1 D．直线x＝﹣1
【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【解答】解：∵y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x﹣1）2+5，
∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x＝1．
故选：C．
6．（3分）已知x＝﹣1是方程x2+mx+1＝0的一个实数根，则m的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
【分析】把x＝﹣1代入方程x2+mx+1＝0得出1﹣m+1＝0，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+mx+1＝0得：1﹣m+1＝0，
解得：m＝2，
故选：C．
7．（3分）下列抛物线，顶点坐标为（1，）的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据各个选项中的顶点式，可以写出相应的顶点坐标，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：y＝（x+1）2+的顶点坐标为（﹣1，），故选项A不符合题意；
y＝（x﹣1）2﹣的顶点坐标为（1，﹣），故选项B不符合题意；
y＝﹣（x﹣1）2+的顶点坐标为（1，），故选项C符合题意；
y＝﹣（x+1）2﹣的顶点坐标为（﹣1，﹣），故选项D不符合题意；
故选：C．
8．（3分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（　　）
A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1 C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2
【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．
【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；
当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；
所以2＞y1＞y2．
故选：A．
9．（3分）若x＝2是方程x2﹣mx+2n＝0的一个根，则m﹣n的值为（　　）
A．﹣2 B．0 C．2 D．无法确定
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝2代入一元二次方程x2﹣mx+2n＝0，即可求得m+n的值．
【解答】解：∵x＝2是一元二次方程x2﹣mx+2n＝0的一个根，
∴x＝满足一元二次方程x2﹣mx+2n＝0，
∴22﹣2m+2n＝0，
∴m﹣n＝2；
故选：C．
10．（3分）二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据解析式确定抛物线的顶点坐标、对称轴，然后对图象进行讨论选择．
【解答】解：∵a＝2＞0，
∴抛物线开口方向向上；
∵二次函数解析式为y＝2（x+2）2﹣1，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴x＝﹣2．
故选：C．
11．（2分）关于x＝﹣1的方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【分析】首先根据题意求得判别式Δ＝4+4m＞0，然后根据Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；求得答案．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m，
∵关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴4+4m＞0，
解得：m＞﹣1，
则m的值可以是：0，
故选：D．
12．（2分）方程x2﹣9x+14＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　）
A．11 B．16 C．11或16 D．不能确定
【分析】先利用因式分解法解方程求出x的值，再分情况讨论求解可得．
【解答】解：∵x2﹣9x+14＝0，
∴（x﹣2）（x﹣7）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣7＝0，
解得x＝2或x＝7，
当等腰三角形的腰长为2，底边长为7，此时2+2＜7，不能构成三角形，舍去；
当等腰三角形的腰长为7，底边长为2，此时周长为7+7+2＝16，
故选：B．
13．（2分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列说法正确的是（　　）
A．该函数图象开口向上
B．该函数图象向右平移2个单位长度是y＝﹣（x+1）2+5
C．当x＝1时，y有最大值5
D．该函数的图象与坐标轴有两个交点
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；
该函数图象向右平移2个单位长度是y＝﹣（x﹣1﹣2）2+5＝﹣（x﹣3）2+5，故选项B不符合题意；
当x＝1时，y有最大值5，故选项C符合题意；
22﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，该函数的图象与坐标轴有三个交点，故选项D不符合题意；
故选：C．
14．（2分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　）
A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1
【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设这两年该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
9（1﹣x）2＝1，
故选：B．
15．（2分）当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是（　　）
A．﹣3≤a≤1 B．﹣2≤a≤1 C．﹣3＜a＜1 D．﹣2＜a＜1
【分析】求出当0≤x≤3时，y的取值范围，进而求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣3），
∴将x＝3代入y＝（x﹣1）2﹣3得y＝4﹣3＝1，
∴0≤x≤3时，﹣3≤y≤1，
∴a的取值范围是﹣3≤a≤1．
故选：A．
16．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝2，且过点（4，0），则下列说法正确的有（　　）
①ac＞0；②4a+b＝0；③a+b+c＞0；④对于任意实数m，都有m（am+b）≤2a+b．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线对称轴及抛物线经过（4，0），可得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而判断①②③，由x＝2时y取最大值可判断④．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，经过点（4，0），
∴抛物线经过（0，0），
∴c＝0，ac＝0，①错误，
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，②正确．
∵抛物线与x轴交点坐标为（0，0），（4，0），抛物线开口向下，
∴x＝1时，y＝a+b+c＞0，③正确．
∵x＝2时y取最大值，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，
∴m（am+b）≤2a+b，④正确．
故选：C．
二、填空题.（本大题有3个大题，共12分.17~18小题各3分；19小题有三个空，每空2分）
17．（3分）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的新抛物线的解析式为 　y＝﹣x2+5　．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【解答】解：把将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的新抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2﹣2）2+2+3，即y＝﹣x2+5；
故答案为：y＝﹣x2+5．
18．（3分）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为：　y＝（x﹣4）2﹣25　．
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣9﹣16＝（x﹣4）2﹣25，
故答案是：y＝（x﹣4）2﹣25．
19．（6分）已知一次函数y＝ax+b（ab≠0）和二次函数y＝ax2+bx﹣2，其中一次函数的图象经过第一、三、四象限．
（1）二次函数图象在y轴的左侧部分，y随x的增大而 　减小　；
（2）二次函数图象的顶点所在的象限是第 　四　象限；
（3）一次函数图象与二次函数图象的交点有 　2　个．
【分析】（1）由直线y＝ax+b经过第一、三、四象限可得a＞0，b＜0，从而可得抛物线开口方向及对称轴位置，进而求解．
（2）由a＞0，b＜0可得抛物线与x轴由两个交点，从而可得顶点位置．
（3）联立直线与抛物线方程，根据判别式的符号判断交点个数．
【解答】解：（1）∵直线y＝ax+b经过第一、三、四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣2开口向上，
∵﹣＞0，
∴x＜0时，y随x增大而减小，
故答案为：减小．
（2）∵a＞0，b＜0，
∴Δ＝b2+8a＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，即抛物线顶点在x轴下方，
∴抛物线顶点在第四象限，
故答案为：四．
（3）令ax2+bx﹣2＝ax+b，
整理得ax2+（b﹣a）x﹣2﹣b＝0，
∴Δ＝（b﹣a）2+4a（2+b）＝a2﹣2ab+b2+4ab+8a＝（a+b）2+8a＞0，
∴一次函数图象与二次函数图象的交点有2个，
故答案为：2．
三、解答题.（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）用适当方法解下列方程
（1）x2+6x﹣40＝0；
（2）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2．
【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）两边直接开平方，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）∵x2+6x﹣40＝0，
∴（x+10）（x﹣4）＝0，
则x+10＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝﹣10，x2＝4；
（2）∵（x﹣4）2＝（5﹣2x）2，
∴x﹣4＝5﹣2x或x﹣4＝2x﹣5，
解得x1＝3，x2＝1．
21．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（5，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．

【分析】（1）将点（5，0），代入y＝﹣x2+mx+5，得其解析式，从而求出m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）利用“将军饮马”思路，点A关于抛物线对称轴l对称的点是点B，进而解决问题．
【解答】解：（1）将点（5，0）代入y＝﹣x2+mx+5得，
0＝﹣25+5m+5，m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5
y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线的顶点坐标为（2，9）；
（2）如下图，点A与点B是关于直线l成轴对称，根据其性质有，
PA+PC＝PC+PB，
当点C、点P、点B共线时，PC+PB＝BC为最小值，即为PA+PC的最小值，
由抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，可得点C坐标为（0，5），点B坐标为（5，0），对称轴l为x＝2，
设直线BC的解释为y＝kx+b，将点C（0，5），点B（5，0），代入y＝kx+b得，
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5，联立方程，
，解得，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（2，3）．

22．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，求x2﹣3x+k＝0的解．
（3）在（2）的条件下，若一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+2＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根，得出9﹣4k≥0，即可求出k的取值范围；
（2）先求出k的值，再代入方程x2﹣3x+k＝0，求出x的值；
（3）把x＝2或x＝1代入方程求出m的值即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4k≥0，
解得：k≤；
∴k的取值范围是k≤；

（2）当k≤时的最大整数值是2，
则关于x的方程x2﹣3x+k＝0是x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2；

（3）∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，
∴当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，
解得m＝1；
而m﹣1≠0，所以m＝1舍去，
当x＝1时，（m﹣1）+1+m﹣3＝0，
解得，m＝，
∴m的值为．
23．（9分）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求a，b的值；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
【分析】（1）利用待定系数法即可求出a，b的值；
（2）先根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系，从而可得出A，B两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：．
∴a＝1，b＝30；
（2）由（1）得：y＝x2+30x，
设A，B两城生产这批产品的总成本为w，
则w＝x2+30x+70（100﹣x）
＝x2﹣40x+7000
＝（x﹣20）2+6600，
由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．
答：A城生产20件，B城生产80件．
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B移动，同时，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D移动（点P到达点B停止时，点Q也随之停止运动），设点P运动时间为t秒．

（1）试求当t为何值时四边形APQD为矩形；
（2）P、Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为5cm．
【分析】（1）根据矩形的对边相等得到AP＝PQ，由时间×速度＝路程求得线段AP、PQ的长度，然后等量关系AP＝PQ列出方程并解答；
（2）过点P作PE⊥CD于点E，利用勾股定理列出关于t的方程，通过解方程求得答案．
【解答】解：（1）∵四边形APQD为矩形，
∴AP＝PQ，
∴2t＝6﹣t，
∴3t＝6，
∴t＝2．

（2）过点P作PE⊥CD于点E，
∵∠A＝∠D＝∠DEP＝90°，
∴四边形APED是矩形．
∴AP＝DE＝2t，
∴EQ＝CD﹣DE﹣CQ＝6﹣3t，
在Rt△PQE中，PE2+EQ2＝PQ2，即（6﹣3t）2＝9，
解得t1＝1，t2＝3，
答：当出发1s或3s时，线段PQ的长度为5cm．

25．（10分）2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．
（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；
（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包价格在3月的基础上，每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？
【分析】（1）根据题意，可知1月销量×（1+x）2＝3月的销量，然后计算，即可得到a的值；
（2）先设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元，然后根据“利润＝（售价﹣进价）×数量”列出方程并解答即可．
【解答】解：（1）设2、3这两个月的月平均增长率为x．
由题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝25%，x2＝﹣225%（舍去），
即2、3这两个月的月平均增长率为25%，
即a的值是25；

（2）设当农产品礼包每包降价m元时，这种农产品在4月份可获利4620元．
根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4620，
解得：m1＝4，m2＝﹣69（舍去），
答：当农产品礼包每包降价4元时，这种农产品在4月份可获利4620元．
26．（12分）图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）设M为该抛物线的顶点，D为抛物线的对称轴与x轴的交点，如图2所示，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由y＝0，可得关于x的一元二次方程，解方程，可得点A与点B的坐标，由x＝0可求得点C的坐标；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，先求出BC的解析式，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），由三角形面积公式可得S△PBC＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，由二次函数的性质可求解；
（3）设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，先求出点A，点M坐标，可求MC解析式，可得DE＝4＝MD，由等腰直角三角形的性质可得MQ＝NQ＝MN，由两点距离公式可列（|4﹣n|）2＝4+n2，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得，x1＝3，x2＝﹣1；
当x＝0时，y＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）；

（2）∵点B（3，0），点C（0，3），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，
如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，

设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），
∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵S△PBC＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S△PBC有最大值，
∴点P（，）；

（3）存在N满足条件，
理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，
∴点A（﹣1，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M为（1，4），
∵点M为（1，4），点C（0，3），
∴直线MC的解析式为：y＝x+3，
如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，

∴点E（﹣3，0），
∴DE＝4＝MD，
∴∠NMQ＝45°，
∵NQ⊥MC，
∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，
∴MQ＝NQ，
∴MQ＝NQ＝MN，
设点N（1，n），
∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，
∴NQ＝AN，
∴NQ2＝AN2，
∴（MN）2＝AN2，
∴（|4﹣n|）2＝4+n2，
∴n2+8n﹣8＝0，
∴n＝﹣4±2，
∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．