2021-2022学年河北省保定市雄县九年级(上)期末数学试卷(含答案)

这是一份2021-2022学年河北省保定市雄县九年级(上)期末数学试卷(含答案)，共37页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是
A．厨余垃圾B．可回收物
C．其他垃圾D．有害垃圾
2．（3分）已知关于的方程的一个根是，则值为
A．B．0C．1D．2
3．（3分）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则的值可能是
A．4B．5C．6D．7
4．（3分）对于二次函数的图象，下列说法正确的是
A．开口向下B．当时，有最大值是2
C．对称轴是直线D．顶点坐标是
5．（3分）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到△，点的对应点在边上（不与点，重合），则的度数为
A．B．C．D．
6．（3分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是
A．B．C．D．
7．（3分）如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为
A．B．C．D．
8．（3分）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
9．（3分）已知反比例函数，则下列结论正确的是
A．点在它的图象上
B．其图象分别位于第一、三象限
C．随的增大而减小
D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上
10．（3分）如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形△，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是
A．B．C．D．
11．（2分）如图，中，内切圆Ⅰ和边、、分别相切于点、、，若，，则的度数是
A．B．C．D．
12．（2分）如图，是坐标原点，的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的图象经过顶点，则的值为
A．27B．15C．12D．无法确定
13．（2分）如图，已知与坐标轴交于点，，，点在上，且，若点的坐标为，则劣弧的长为
A．B．C．D．
14．（2分）如图，二次函数的图象经过点，，与轴交于点．下列结论：
①；
②当时，随的增大而增大；
③；
④．
其中正确的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
15．（2分）将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线与这个新图象有3个公共点，则的值为
A．或B．或2C．或2D．或
16．（2分）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称函数和是“和谐函数”．以下函数和是“和谐函数”的是
A．和B．和
C．和D．和
二、填空题.（本大题有4个小题，每空3分，共12分.）
17．（3分）如图，在正方形中，是上一点，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在上，则 ．
18．（3分）如图，正方形中，，，点在上运动（不与、重合），过点作，交于点，则的最大值为 ．
19．（3分）如图，圆的半径为1，内接于圆．若，，则 ．
20．（3分）如图，抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于点，虚线为公共对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为 ．
三、解答题.（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（8分）如图，是等边三角形内一点， 将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．
（1） 求证：；
（2） 连接，若，求的度数 ．
22．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
23．（9分）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量（万支）与月份之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该疫苗生产企业有多少个月的月生产数量不超过90万支？
24．（9分）为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：书法，：绘画，：摄影，：泥塑，剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）张老师调查的学生人数是 名．
（2）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．
25．（10分）如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）小球落点为，求点的坐标；
（3）在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
（4）求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
26．（10分）如图，在中，是边上的中线，以为直径的交于点，过作于点，交的延长线于点，过点作于．
（1）求证：；
（2）求证：直线是的切线．
27．（12分）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知，两点坐标分别是，，连接，．
（1）求抛物线的表达式和所在直线的表达式；
（2）将沿所在直线折叠，得到，点的对应点是否落在抛物线的对称轴上？若点在对称轴上，请求出点的坐标；若点不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接交于点，连接，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点的坐标．
2021-2022学年河北省保定市雄县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题.（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是
A．厨余垃圾B．可回收物
C．其他垃圾D．有害垃圾
【分析】把一个图形绕某一点旋转后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
【解答】解：选项、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与自身重合，所以不是中心对称图形．
选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与自身重合，所以是中心对称图形．
故选：．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）已知关于的方程的一个根是，则值为
A．B．0C．1D．2
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系、以及已知条件求出方程的另一根是，然后将代入原方程，求的值即可．
【解答】解：关于的方程的一个根是，
，即，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．解答该题时，还借用了一元二次方程的根与系数的关系．
3．（3分）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则的值可能是
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据必然事件的意义，进行解答即可．
【解答】解：根据题意可得，的值可能为4．如果是5、7、6，那么与摸出球上的号码小于5”是必然事件相违背．
故选：．
【点评】本题考查随机事件、必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键．
4．（3分）对于二次函数的图象，下列说法正确的是
A．开口向下B．当时，有最大值是2
C．对称轴是直线D．顶点坐标是
【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：二次函数的图象的开口向上，故错误；
当时，函数有最小值2，故错误；
对称轴为直线，故错误；
顶点坐标为，故正确．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点坐标是，，对称轴直线，二次函数的图象具有如下性质：当时，抛物线的开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
5．（3分）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到△，点的对应点在边上（不与点，重合），则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由旋转知，，，从而得出是等腰直角三角形，即可解决问题．
【解答】解：将绕点顺时针旋转得到△，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，明确旋转前后对应角相等、对应线段相等是解题的关键．
6．（3分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是
A．B．C．D．
【分析】利用中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可．
【解答】解：在中，，，，
在、、选项中的三角形都没有，而在选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为1和，
因为，所以选项中的三角形与相似．
故选：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
7．（3分）如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据菱形的性质得到，计算即可．
【解答】解：四边形为的内接四边形，
，
由圆周角定理得：，
四边形为菱形，
，
，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．（3分）如图，正六边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为
A．B．C．D．
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：正六边形的外角和为，
每一个外角的度数为，
正六边形的每个内角为，
正六边形的边长为6，
，
故选：．
【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并牢记扇形的面积计算公式，难度不大．
9．（3分）已知反比例函数，则下列结论正确的是
A．点在它的图象上
B．其图象分别位于第一、三象限
C．随的增大而减小
D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质解答．
【解答】解：、将代入，得到，
点不在反比例函数的图象上，故本选项错误，不符合题意；
、因为比例系数为，则函数图象过二、四象限，故本选项错误，不符合题意；
、由于函数图象在二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，故本选项错误，不符合题意．
、如果点在它的图象上，则点也在它的图象上，故本选项正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查对反比例函数的性质的理解和掌握，能熟练地根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．
10．（3分）如图，中，、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形△，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是
A．B．C．D．
【分析】过点作轴于点，轴于点，根据相似三角形的性质得到，根据位似比求出，计算即可．
【解答】解：过点作轴于点，轴于点，
则，
△，
，
点的坐标是，
，
点的横坐标是，
，
与△是位似图形，位似比为2，
，
，
，
点的对应点的横坐标是，
故选：．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似比求出是解题的关键．
11．（2分）如图，中，内切圆Ⅰ和边、、分别相切于点、、，若，，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】连接、，如图，根据切线的性质得到，利用四边形的内角和得到，再利用圆周角定理得到，然后根据三角形内角和求出，从而可计算出．
【解答】解：连接、，如图，
内切圆和边、分别相切于点、，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质．
12．（2分）如图，是坐标原点，的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的图象经过顶点，则的值为
A．27B．15C．12D．无法确定
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据反比例函数系数的几何意义得，进而求得，进一步得到，根据矩形面积公式即可求得答案．
【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
函数的图象经过顶点，
，
的顶点的坐标为，
，，
，即，
，
，
，
故选：．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，正确得出的长是解题关键．
13．（2分）如图，已知与坐标轴交于点，，，点在上，且，若点的坐标为，则劣弧的长为
A．B．C．D．
【分析】作辅助线，先根据圆周角定理可知：为的直径，由圆心角和圆周角的关系可得：，求得，根据弧长公式可得结论．
【解答】解：连接、，
，
为的直径，
，
，，
，
，
，
的长，
故选：．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧长公式，坐标与图形的性质，根据弧长公式确定其对应的圆心角和半径是关键．
14．（2分）如图，二次函数的图象经过点，，与轴交于点．下列结论：
①；
②当时，随的增大而增大；
③；
④．
其中正确的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】把点，代入二次函数，可得二次函数的解析式为：，由图象可知，函数图象开口向下，所以，可得和的符号，及和的数量关系；由函数解析式可得抛物线对称轴为直线：，根据函数的增减性和最值，可判断②和④的正确性．
【解答】解：把点，代入二次函数，
可得二次函数的解析式为：，
该函数图象开口方向向下，
，
，，
，，①错误，③正确；
对称轴为直线：，
时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；②错误；
当时，函数取得最大值，即对于任意的，有，
，故④正确．
综上，正确的个数有2个，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．
15．（2分）将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线与这个新图象有3个公共点，则的值为
A．或B．或2C．或2D．或
【分析】如图所示，过点作直线，将直线向下平移到恰在点处相切，则一次函数在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点的直线与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点处相切，此时与新图象也有三个公共点，
令，解得：或6，即点坐标，
将一次函数与二次函数表达式联立得：，整理得：，
△，解得：，
当一次函数过点时，将点坐标代入：得：，解得：，
综上，直线与这个新图象有3个公共点，则的值为或；
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．
16．（2分）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称函数和是“和谐函数”．以下函数和是“和谐函数”的是
A．和B．和
C．和D．和
【分析】根据题意，令，若方程有解，则称函数和是“和谐函数”，若无解，则称函数和不是“和谐函数”．
【解答】解：、令，
则，
整理得：，
此方程无解，
函数和不是“和谐函数”，
故不符合题意；
、令，
则，
整理得：，
此方程无解，
函数和不是“和谐函数”，
故不符合题意；
、、令，
则，
整理得：，
此方程无解，
函数和不是“和谐函数”，
故不符合题意；
、、令，
则，
整理得：，
解得：，，
函数和是“和谐函数”，
故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程公式法，根据题意令，然后进行计算是解题的关键．
二、填空题.（本大题有4个小题，每空3分，共12分.）
17．（3分）如图，在正方形中，是上一点，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在上，则 75 ．
【分析】连接，证是等边三角形，得，，再证，得，即可求解．
【解答】解：连接，如图所示：
由旋转的性质得：，，
是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：75．
【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握旋转的性质和正方形的性质，证明是解题的关键．
18．（3分）如图，正方形中，，，点在上运动（不与、重合），过点作，交于点，则的最大值为 4 ．
【分析】先证明，得到与有关的比例式，设，，则，代入解析式，得到与的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
【解答】解：，，
．
又，
．
．
设，，则．
，化简得，
整理得，
所以当时，有最大值为4．
故答案为4．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了数形结合思想．
19．（3分）如图，圆的半径为1，内接于圆．若，，则 ．
【分析】连接，，由三角形内角和可得出，再根据圆周角定理可得，即是等腰直角三角形，又圆半径为1，可得出结论．
【解答】解：如图，连接，，
在中，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等内容，作出正确的辅助线是解题关键．
20．（3分）如图，抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于点，虚线为公共对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为 2 ．
【分析】根据题意可推出，，，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形的面积，利用矩形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：过抛物线的顶点作轴，与轴交于点，如右图所示：
则四边形是矩形，
抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于点，
，，
将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则，
由图可知，阴影部分的面积等于矩形的面积，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是由平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形的面积．
三、解答题.（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（8分）如图，是等边三角形内一点， 将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．
（1） 求证：；
（2） 连接，若，求的度数 ．
【分析】（1） 由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证可得答案；
（2） 由，知为等边三角形， 即，继而由可得 ．
【解答】解： （1）是等边三角形，
，．
线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，．
．
．
在和中，
，
．
．
（2） 如图，
，，
为等边三角形 ．
，
又．
．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质和旋转的性质及全等三角形的判定与性质， 熟练掌握旋转的性质证得三角形的全等是解题的关键 ．
22．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1），
或，
，；
（2），
，
或，
，．
【点评】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
23．（9分）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量（万支）与月份之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题：
（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？
（2）该疫苗生产企业有多少个月的月生产数量不超过90万支？
【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将代入求出相应的的值即可；
（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后与的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意为正整数．
【解答】解：（1）当时，设与的函数关系式为，
点在该函数图象上，
，得，
，
当时，，
即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；
（2）设技术改造完成后对应的函数解析式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
技术改造完成后对应的函数解析式为，
，
解得
为正整数，
，3，4，5，6，7，
答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．
【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
24．（9分）为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：书法，：绘画，：摄影，：泥塑，剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）张老师调查的学生人数是 50 名．
（2）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．
【分析】（1）由的人数除以所占百分比即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）张老师调查的学生人数为：（名，
故答案为：50名；
（2）把2人选修书法的记为、，1人选修绘画的记为，1人选修摄影的记为，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，
所选2人都是选修书法的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
25．（10分）如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）小球落点为，求点的坐标；
（3）在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
（4）求小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度．
【分析】（1）设抛物线的表达式为，把代入即可得到答案；
（2）联立两解析式，可求出交点的坐标；
（3）把分别代入和，即可得到答案；
（4）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）小球到达的最高的点坐标为，
设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解方程，得，，
当时，，
所以；
（3）当时，，，
，
小球能飞过这棵树；
（4）小球在飞行的过程中离斜坡的高度
，
小球在飞行的过程中离斜坡的最大高度为．
【点评】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
26．（10分）如图，在中，是边上的中线，以为直径的交于点，过作于点，交的延长线于点，过点作于．
（1）求证：；
（2）求证：直线是的切线．
【分析】（1）根据圆周角定理得到，得到，根据两角相等的两个三角形相似证明；
（2）证明是的中位线，得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明．
【解答】证明：（1），，
，
以为直径的交于点，
，即，
，
，，
，
；
（2）连接．
，，
是的中位线，
，
又，
，
直线是的切线．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理是解题的关键．
27．（12分）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知，两点坐标分别是，，连接，．
（1）求抛物线的表达式和所在直线的表达式；
（2）将沿所在直线折叠，得到，点的对应点是否落在抛物线的对称轴上？若点在对称轴上，请求出点的坐标；若点不在对称轴上，请说明理由；
（3）若点是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接交于点，连接，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式；
（2）抛物线的表达式为，点坐标为．可证明．继而可证，则将沿所在直线折叠，点一定落在直线上，延长至，使，过点作轴交轴于点，可证，可得坐标．则可判断点是否在抛物线对称轴上；
（3）分别过、作轴的垂线，利用解析式，用同一个字母表示出，的坐标，进而用表示出的值，根据二次函数的性质可以确定出的最大值，进而可确定出此时的点坐标．
【解答】解：（1）抛物线过点，，
，解得：．
抛物线的表达式为．
设直线的表达式为，则
，解得：．
直线的表达式为．
（2）点不在抛物线的对称轴上，理由是：
抛物线的表达式为，
点坐标为．
，，
．
又，
．
．
，
．
将沿所在直线折叠，点一定落在直线上，
延长至，使，过点作轴交轴于点，如图1．
又，
．
，则点横坐标为，
抛物线的对称轴为直线．
故点不在抛物线的对称轴上．
（3）设过点、的直线表达式为，
，，
，解得：．
过点、的直线解析式为．
过点作轴的垂线交的延长线于点，点坐标为，
过点作轴的垂线交于点，垂足为，如图2．
设点坐标为，则点坐标为，
，
，
．
．
若分别以、为底计算和的面积（同高不等底），
则与的面积比为，即．
．
，
当时，的最大值为，此时点坐标为．
【点评】本题以二次函数为背景考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，二次函数中常见辅助线的作法，利用点的坐标表示线段的长度，确定函数最值，关键在于作出垂线段利于用点的坐标表示线段的长度．