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河北省承德市丰宁县人教版2021-2022学年七年级（上）期末数学试卷(解析版)
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这是一份河北省承德市丰宁县人教版2021-2022学年七年级（上）期末数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了下列计算正确的是，将方程去分母后，得到3等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河北省承德市丰宁县七年级第一学期期末数学试卷
一．选择题（本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分；11～16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确的答案填在下表内对应题号的下面）
1．如果2×□＝1，那么“☐”内应填的数是（ ）
A． B．2 C． D．﹣2
2．将下面四个图形绕着虚线旋转一周，能够得到如图所说的 立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2a+2b＝4ab B．5x﹣3x＝2
C．2m2﹣3m＝﹣m D．﹣2ab+3ab＝ab
4．中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为（ ）
A．37×104 B．3.7×104 C．0.37×106 D．3.7×105
5．数轴上点A，B表示的数分别是2和﹣5，则它们之间的距离是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
6．如果关于m的方程2m+b＝m﹣1的解是﹣4，则b的值是（ ）
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
7．如果单项式﹣3xa+3y2与2xyb﹣3能合并成一项，那么ab的结果为（ ）
A．10 B．﹣10 C．﹣12 D．12
8．将方程去分母后，得到3（2x﹣1）﹣2x+1＝6的结果错在（ ）
A．最简公分母找错
B．去分母时漏乘3项
C．去分母时分子部分没有加括号
D．去分母时各项所乘的数不同
9．一个角的补角为138°，那么这个角的余角是（ ）
A．32° B．42° C．48° D．132°
10．已知A＝5x2﹣3x+4，B＝3x2﹣3x﹣2，则A与B的大小关系为（ ）
A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．不能确定
11．若有理数a在数轴上对应点A的位置如图所示，则下面各数中最小的是（ ）
A．|a| B．a2 C．﹣2a D．3a
12．如图，AB＝8，点M是AB的中点，点N在BM上，且MN＝3BN，则AN的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
13．下列说法正确的是（ ）
A．锐角的补角不一定是钝角
B．一个角的补角一定大于这个角
C．若两个角是同一个角的补角，则此两角相等
D．锐角和钝角互补
14．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，如果∠AOD＝150°，那么∠BOC等于（ ）
A．20° B．30° C．50° D．40°
15．某项工程由甲队单独做需要20天完成，由乙队单独做只需甲队的一半时间就能完成．设两队合作需要x天完成，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
16．观察下面的数：
按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（ ）
A．﹣121 B．﹣123 C．﹣125 D．﹣127
二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．把答案直接填写在题中的横线上）
17．语句“a的4倍与b的差”用式子表示为 ．
18．如果|m|＝2，那么代数式1﹣m+2m2的值为 ．
19．如图，平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个代数式的值相等，则x+y+z＝ ．
20．如图，O为模拟钟面圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON同时出发，绕点O按顺时针方向转动，OA运动速度为每秒12°，OB运动速度为每秒4°，当一根指针与起始位置重合时，转动停止，设转动的时间为t秒，当t＝ 秒时，∠AOB＝60°．
三．解答题（本大题共6个小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（1）；
（2）﹣12022+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|．
22．（1）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b），其中（a﹣2）2+|b+1|＝0．
（2）解下列方程：
①2﹣3x＝4﹣2x；
②．
23．（1）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
①画直线AB；
②画射线DC交直线AB于点E；
③连接BD，反向延长BD到点F，使得BF＝BD．
（2）如图，某小区将铺设一个长方形绿化带，四个角都铺一块半径相同的四分之一圆形的花卉区，其余地带都铺设草坪．若圆形的半径为R，长方形的长为a，宽为b．
①用式子表示花卉区的面积为 m2，草坪的面积为 m2；
②若长方形的长为100m，宽为50m，圆形的半径为10m，铺设每平方米草坪的费用是10元，求铺设草坪大约共需支付多少钱？（π≈3）．
24．如图，已知AB，OC相交于点O，∠AOC＝90°，∠BOD＝32°，ON平分∠COD，OM平分∠AOD，求∠MON．
25．粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
26．如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为﹣24，﹣10，10，动点P从A点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．
（1）用含t的式子表示P点到A点和C点的距离，PA＝ ，PC＝ ；
（2）当点P运动至点B时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到时达C点时，整个运动结束．
试问：在点Q开始运动后，PQ两点之间的距离能否为2个单位长度？若能，请求出点P所表示的数；若不能，请说明理由．
参考答案
一．选择题（本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分；11～16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确的答案填在下表内对应题号的下面）
1．如果2×□＝1，那么“☐”内应填的数是（ ）
A． B．2 C． D．﹣2
【分析】根据乘积为1的数互为倒数即可求解．
解：∵2×□＝1，
∴□＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法及倒数，理解题意掌握倒数的定义是解题的关键．
2．将下面四个图形绕着虚线旋转一周，能够得到如图所说的 立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据面动成体结合常见立体图形的形状解答即可．
解：根据面动成体结合常见立体图形的形状得出只有A选项符合，
故选：A．
【点评】本题考查了点、线、面、体的知识，是基础题，熟悉常见几何体的形成是解题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2a+2b＝4ab B．5x﹣3x＝2
C．2m2﹣3m＝﹣m D．﹣2ab+3ab＝ab
【分析】利用合并同类项法则解答即可．
解：A．2a与2b不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B．5x﹣3x＝2x，原计算错误，故此选项不符合题意；
C．2m2﹣3m不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
D．﹣2ab+3ab＝ab，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解决本题的关键．
4．中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为（ ）
A．37×104 B．3.7×104 C．0.37×106 D．3.7×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：370000＝3.7×105，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．数轴上点A，B表示的数分别是2和﹣5，则它们之间的距离是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【分析】根据题意可得AB＝|2﹣（﹣5）|＝7．
解：∵点A，B表示的数分别是2和﹣5，
∴AB＝|2﹣（﹣5）|＝7，
故选：D．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，会求数轴上两点间的距离是解题的关键．
6．如果关于m的方程2m+b＝m﹣1的解是﹣4，则b的值是（ ）
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
【分析】将m＝﹣4代入可得关于b的方程，解出即可．
解：把m＝﹣4代入方程2m+b＝m﹣1中，
得：2×（﹣4）+b＝（﹣4）﹣1，
解得：b＝3，
故选：A．
【点评】本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式．
7．如果单项式﹣3xa+3y2与2xyb﹣3能合并成一项，那么ab的结果为（ ）
A．10 B．﹣10 C．﹣12 D．12
【分析】根据题意可知两个单项式是同类项，然后可求得m、n的值即可．
解：∵单项式﹣3xa+3y2与2xyb﹣3能合并成一项，
∴单项式﹣3xa+3y2与2xyb﹣3是同类项．
∴a+3＝1，b﹣3＝2．
解得；a＝﹣2，b＝5．
∴ab＝﹣2×5＝﹣10．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是同类项的定义、求代数式的值，求得m、n的值是解题的关键．
8．将方程去分母后，得到3（2x﹣1）﹣2x+1＝6的结果错在（ ）
A．最简公分母找错
B．去分母时漏乘3项
C．去分母时分子部分没有加括号
D．去分母时各项所乘的数不同
【分析】按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答．
解：将方程
去分母得：3（2x﹣1）﹣2（x+1）＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
9．一个角的补角为138°，那么这个角的余角是（ ）
A．32° B．42° C．48° D．132°
【分析】根据互补的两角之和为180°，互余的两角之和为90°即可解答．
解：∵这个角＝180°﹣148°＝42°，
∴这个角的余角＝90°﹣42°＝48°．
故选：C．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，关键是掌握互补的两角之和为180°，互余的两角之和为90°．
10．已知A＝5x2﹣3x+4，B＝3x2﹣3x﹣2，则A与B的大小关系为（ ）
A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．不能确定
【分析】先计算出A﹣B的值，然后和0比较大小，即可得到A与B的大小关系．
解：∵A＝5x2﹣3x+4，B＝3x2﹣3x﹣2，
∴A﹣B
＝（5x2﹣3x+4）﹣（3x2﹣3x﹣2）
＝5x2﹣3x+4﹣3x2+3x+2
＝2x2+6＞0，
∴A＞B，
故选：A．
【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．
11．若有理数a在数轴上对应点A的位置如图所示，则下面各数中最小的是（ ）
A．|a| B．a2 C．﹣2a D．3a
【分析】根据有理数a在数轴上的位置可知﹣3＜a＜﹣2，可设a＝﹣2.5，再代入各选项进行计算，比较出结果的大小即可．
解：由题意可知，﹣3＜a＜﹣2，可设a＝﹣2.5，
则|a|＝|﹣2.5|＝2.5，a2＝（﹣2.5）2＝6.25，﹣2a＝﹣2×（﹣2.5）＝5，3a＝3×（﹣2.5）＝﹣7.5，
∵﹣7.5＜2.5＜5＜6.25，
∴3a＜|a|＜﹣2a＜a2．
故选：D．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数比左边的大是解题的关键．
12．如图，AB＝8，点M是AB的中点，点N在BM上，且MN＝3BN，则AN的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】先根据线段中点的定义求出AM＝BM＝4，然后根据MN＝3BN求出BN＝1，则AN＝AB﹣BN＝7．
解：∵AB＝8，点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝4，
∵MN＝3BN，
∴BM＝MN+BN＝3BN+BN＝4，
∴BN＝1，
∴AN＝AB﹣BN＝8﹣1＝7．
故选：A．
【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分，连接两点间的线段的长度叫两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．
13．下列说法正确的是（ ）
A．锐角的补角不一定是钝角
B．一个角的补角一定大于这个角
C．若两个角是同一个角的补角，则此两角相等
D．锐角和钝角互补
【分析】根据余角和补角的概念判断即可．
解：A、因为锐角的补角与锐角之和为180°，所以锐角的补角一定是钝角，所以本说法不符合题意；
B、当这个角为120°时，120°的补角是60°，所以本说法不符合题意；
C、根据等角的补角相等．所以本说法符合题意；
D、锐角和钝角的度数不确定，不能确定锐角和钝角是否互补，所以本说法不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是余角和补角的概，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．
14．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，如果∠AOD＝150°，那么∠BOC等于（ ）
A．20° B．30° C．50° D．40°
【分析】先求出∠COD的度数，然后根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．
解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝140°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝70°，
∵∠BOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD
＝90°﹣70°
＝20°．
故选：A．
【点评】本题主查了角的计算能力，掌握角相互间的和差关系是关键．
15．某项工程由甲队单独做需要20天完成，由乙队单独做只需甲队的一半时间就能完成．设两队合作需要x天完成，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得乙单独完成需要18天，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据题意可得等量关系：甲乙合作的工作效率×工作时间＝工作量1，根据等量关系列出方程即可．
解：设两队合做需x天完成，由题意得：
（+）x＝1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，表示出甲和乙的工作效率，掌握工作效率×工作时间＝工作量．
16．观察下面的数：
按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（ ）
A．﹣121 B．﹣123 C．﹣125 D．﹣127
【分析】先根据行数确定出最后一个数的变化规律，再根据得出的规律确定出第11行的数，然后用11行的最后一个数的绝对值与4相加即可解答．
解：因为行数是偶数时，它的最后一个数是行数的平方，
当行数是奇数时，它的最后一个数是行数的平方的相反数，
所以第11行最后一个数字是：﹣11×11＝﹣121，
它的绝对值是121，
第12行从左边第4个数的绝对值是：121+4＝125．
故第12行从左边第4个数是﹣125．
故选：C．
【点评】此题考查了数字的变化类，找出最后一个数的变化规律，确定出第11行最后一个数是解题关键．
二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．把答案直接填写在题中的横线上）
17．语句“a的4倍与b的差”用式子表示为 4a﹣b ．
【分析】根据文字表示代数式的时候，一要注意运算顺序；二要注意代数式的正确书写．被减数为a的4倍，减数为b．
解：根据题意知：4a﹣b．
故答案为：4a﹣b．
【点评】此题考查了列代数式；解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意书写代数式的时候，数字应写在字母的前面．
18．如果|m|＝2，那么代数式1﹣m+2m2的值为 7或11 ．
【分析】根据条件求出m的值，再将m的值代入所求的代数式求值即可．
解：∵|m|＝2，
∴m＝2或m＝﹣2，
当m＝2时，1﹣m+2m2＝1﹣2+2×4＝7，
当m＝﹣2时，1﹣m+2m2＝1+2+2×4＝11，
故答案为：7或11．
【点评】本题考查代数式求值，熟练掌握绝对值的定义，准确求出m的值是解题的关键．
19．如图，平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个代数式的值相等，则x+y+z＝ 5 ．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定出相对面，然后列出方程求出x、y的值，再相加计算即可得解．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“5”与“y+2”是相对面，
“5x﹣2”与“8”是相对面，
“3z”与“3”是相对面，
∵相对面上的两个代数式值相等，
∴5x﹣2＝8，
y+2＝5，
解得x＝2，
y＝3，
x+y＝2+3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
20．如图，O为模拟钟面圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON同时出发，绕点O按顺时针方向转动，OA运动速度为每秒12°，OB运动速度为每秒4°，当一根指针与起始位置重合时，转动停止，设转动的时间为t秒，当t＝ 15或30 秒时，∠AOB＝60°．
【分析】根据题意得出OA旋转的角度为12t°，OB旋转的角度为4t°，再分OA与OB重合前和重合后两种情况，根据角度间的熟练关系列出方程求解可得．
解：根据题意知OA旋转的角度为12t°，OB旋转的角度为4t°，
①OA与OB重合前，12t+60＝180+4t，
解得：t＝15；
②OA与OB重合后，4t+60+180＝12t，
解得：t＝30；
综上，当t＝15或30时，∠AOB＝60°；
故答案为：15或30．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（本大题共6个小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（1）；
（2）﹣12022+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|．
【分析】（1）利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先计算乘方和绝对值，再计算除法，进一步计算即可．
解：（1）原式＝24×﹣24×+24×
＝8﹣9+20
＝19；
（2）原式＝﹣1+16÷（﹣8）×4
＝﹣1﹣2×4
＝﹣1﹣8
＝﹣9．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
22．（1）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b），其中（a﹣2）2+|b+1|＝0．
（2）解下列方程：
①2﹣3x＝4﹣2x；
②．
【分析】（1）根据整式的加减运算法则进行化简，然后将a与b的值求出代入原式即可求出答案．
（2）根据一元一次方程的解法即可求出答案．
解：（1）原式＝15a2b﹣5ab2+4ab2﹣12a2b
＝15a2b﹣12a2b﹣5ab2+4ab2
＝3a2b﹣ab2，
由题意可知：a﹣2＝0，b+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
原式＝3ab（a﹣b）
＝3×2×1×（2+1）
＝6×3
＝18．
（2）①2﹣3x＝4﹣2x，
2﹣4＝3x﹣2x，
x＝﹣2．
②﹣1＝，
3（x+1）﹣6＝2（2﹣3x）
3x+3﹣6＝4﹣6x，
3x﹣3＝4﹣6x，
3x+6x＝4+3，
9x＝7，
x＝．
【点评】本题考查整式的加减运算以及解一元一次方程，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及一元一次方程的解法，本题属于基础题型．
23．（1）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
①画直线AB；
②画射线DC交直线AB于点E；
③连接BD，反向延长BD到点F，使得BF＝BD．
（2）如图，某小区将铺设一个长方形绿化带，四个角都铺一块半径相同的四分之一圆形的花卉区，其余地带都铺设草坪．若圆形的半径为R，长方形的长为a，宽为b．
①用式子表示花卉区的面积为 πR2 m2，草坪的面积为 ab m2；
②若长方形的长为100m，宽为50m，圆形的半径为10m，铺设每平方米草坪的费用是10元，求铺设草坪大约共需支付多少钱？（π≈3）．
【分析】（1）根据画图语句进行画图即可；
（2）①根据题意即可得长方形的面积，四个四分之一圆形的花卉区的面积；
②根据草坪的面积等于长方形的面积减去四个四分之一圆形的花卉区的面积将相应的数代入计算即可得．
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）①根据题意得：花卉区的面积为πR2 m2，草坪的面积为abm2；
故答案为：πR2，ab；
②S草坪＝S长方形﹣S圆形花卉区
＝（ab﹣πR2）平方米，
当a＝100m，b＝50m，R＝10米时，
（ab﹣πR2）＝100×50﹣π×102
＝（5000﹣100π） m2，
∴铺设草坪大约共需支付：（5000﹣100π）×10≈47000（元）．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，列代数式、代数式求值等知识点，依据题意，正确列出代数式是解题关键．
24．如图，已知AB，OC相交于点O，∠AOC＝90°，∠BOD＝32°，ON平分∠COD，OM平分∠AOD，求∠MON．
【分析】先根据∠AOC＝90°，∠BOD＝32°求出∠COD＝58°，∠AOD＝148°，再根据角平分线的定义求出∠CON＝∠COD＝29°，∠AOM＝∠AOD＝74°，所以∠COM＝16°，则利用∠MON＝∠COM+∠CON计算即可．
解：∵∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵∠BOD＝32°，
∴∠COD＝90°﹣32°＝58°，∠AOD＝180°﹣32°＝148°，
∵ON平分∠COD，
∴∠CON＝∠COD＝29°，
∵OM平分∠AOD，
∴∠AOM＝∠AOD＝74°，
∴∠COM＝90°﹣74°＝16°，
∴∠MON＝∠COM+∠CON＝16°+29°＝45°，
即∠MON的度数为45°．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟记概念并灵活运用是解题的关键，邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
25．粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
【分析】（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%，列出算式即可求解；
（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程求解即可．
解：（1）50×（1﹣50%）＝25（万元）．
故明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；
（2）设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260﹣x）辆，依题意有
50（260﹣x）+25x＝9000，
解得x＝160．
故明年改装的无人驾驶出租车是160辆．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题关键．
26．如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为﹣24，﹣10，10，动点P从A点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．
（1）用含t的式子表示P点到A点和C点的距离，PA＝ t ，PC＝ 34﹣t ；
（2）当点P运动至点B时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到时达C点时，整个运动结束．
试问：在点Q开始运动后，PQ两点之间的距离能否为2个单位长度？若能，请求出点P所表示的数；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据P点位置进而得出PA，PC的距离；
（2）分别根据P点与Q点相遇前以及相遇后进而分别分析得出即可．
解：（1）∵动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒，
∴P到点A的距离为：PA＝t，P到点C的距离为：PC＝（24+10）﹣t＝34﹣t；
故答案为：t，34﹣t；
（2）当P点在Q点右侧，且Q点还没有追上P点时，
3（t﹣14）+2＝t
解得：t＝20，
∴此时点P表示的数为﹣4，
当P点在Q点左侧，且Q点追上P点后，相距2个单位，
3（t﹣14）﹣2＝t
解得：t＝22，
∴此时点P表示的数为﹣2，
当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，
t+2+3（t﹣14）﹣34＝34
解得：t＝27，
∴此时点P表示的数为3，
综上所述：点P表示的数为﹣4，﹣2，3．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及利用数轴确定点的位置，利用分类讨论得出是解题关键．
2021-2022学年河北省承德市丰宁县七年级第一学期期末数学试卷
一．选择题（本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分；11～16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确的答案填在下表内对应题号的下面）
1．如果2×□＝1，那么“☐”内应填的数是（ ）
A． B．2 C． D．﹣2
2．将下面四个图形绕着虚线旋转一周，能够得到如图所说的 立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2a+2b＝4ab B．5x﹣3x＝2
C．2m2﹣3m＝﹣m D．﹣2ab+3ab＝ab
4．中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为（ ）
A．37×104 B．3.7×104 C．0.37×106 D．3.7×105
5．数轴上点A，B表示的数分别是2和﹣5，则它们之间的距离是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
6．如果关于m的方程2m+b＝m﹣1的解是﹣4，则b的值是（ ）
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
7．如果单项式﹣3xa+3y2与2xyb﹣3能合并成一项，那么ab的结果为（ ）
A．10 B．﹣10 C．﹣12 D．12
8．将方程去分母后，得到3（2x﹣1）﹣2x+1＝6的结果错在（ ）
A．最简公分母找错
B．去分母时漏乘3项
C．去分母时分子部分没有加括号
D．去分母时各项所乘的数不同
9．一个角的补角为138°，那么这个角的余角是（ ）
A．32° B．42° C．48° D．132°
10．已知A＝5x2﹣3x+4，B＝3x2﹣3x﹣2，则A与B的大小关系为（ ）
A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．不能确定
11．若有理数a在数轴上对应点A的位置如图所示，则下面各数中最小的是（ ）
A．|a| B．a2 C．﹣2a D．3a
12．如图，AB＝8，点M是AB的中点，点N在BM上，且MN＝3BN，则AN的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
13．下列说法正确的是（ ）
A．锐角的补角不一定是钝角
B．一个角的补角一定大于这个角
C．若两个角是同一个角的补角，则此两角相等
D．锐角和钝角互补
14．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，如果∠AOD＝150°，那么∠BOC等于（ ）
A．20° B．30° C．50° D．40°
15．某项工程由甲队单独做需要20天完成，由乙队单独做只需甲队的一半时间就能完成．设两队合作需要x天完成，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
16．观察下面的数：
按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（ ）
A．﹣121 B．﹣123 C．﹣125 D．﹣127
二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．把答案直接填写在题中的横线上）
17．语句“a的4倍与b的差”用式子表示为 ．
18．如果|m|＝2，那么代数式1﹣m+2m2的值为 ．
19．如图，平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个代数式的值相等，则x+y+z＝ ．
20．如图，O为模拟钟面圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON同时出发，绕点O按顺时针方向转动，OA运动速度为每秒12°，OB运动速度为每秒4°，当一根指针与起始位置重合时，转动停止，设转动的时间为t秒，当t＝ 秒时，∠AOB＝60°．
三．解答题（本大题共6个小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（1）；
（2）﹣12022+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|．
22．（1）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b），其中（a﹣2）2+|b+1|＝0．
（2）解下列方程：
①2﹣3x＝4﹣2x；
②．
23．（1）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
①画直线AB；
②画射线DC交直线AB于点E；
③连接BD，反向延长BD到点F，使得BF＝BD．
（2）如图，某小区将铺设一个长方形绿化带，四个角都铺一块半径相同的四分之一圆形的花卉区，其余地带都铺设草坪．若圆形的半径为R，长方形的长为a，宽为b．
①用式子表示花卉区的面积为 m2，草坪的面积为 m2；
②若长方形的长为100m，宽为50m，圆形的半径为10m，铺设每平方米草坪的费用是10元，求铺设草坪大约共需支付多少钱？（π≈3）．
24．如图，已知AB，OC相交于点O，∠AOC＝90°，∠BOD＝32°，ON平分∠COD，OM平分∠AOD，求∠MON．
25．粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
26．如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为﹣24，﹣10，10，动点P从A点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．
（1）用含t的式子表示P点到A点和C点的距离，PA＝ ，PC＝ ；
（2）当点P运动至点B时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到时达C点时，整个运动结束．
试问：在点Q开始运动后，PQ两点之间的距离能否为2个单位长度？若能，请求出点P所表示的数；若不能，请说明理由．
参考答案
一．选择题（本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分；11～16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确的答案填在下表内对应题号的下面）
1．如果2×□＝1，那么“☐”内应填的数是（ ）
A． B．2 C． D．﹣2
【分析】根据乘积为1的数互为倒数即可求解．
解：∵2×□＝1，
∴□＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法及倒数，理解题意掌握倒数的定义是解题的关键．
2．将下面四个图形绕着虚线旋转一周，能够得到如图所说的 立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据面动成体结合常见立体图形的形状解答即可．
解：根据面动成体结合常见立体图形的形状得出只有A选项符合，
故选：A．
【点评】本题考查了点、线、面、体的知识，是基础题，熟悉常见几何体的形成是解题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2a+2b＝4ab B．5x﹣3x＝2
C．2m2﹣3m＝﹣m D．﹣2ab+3ab＝ab
【分析】利用合并同类项法则解答即可．
解：A．2a与2b不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B．5x﹣3x＝2x，原计算错误，故此选项不符合题意；
C．2m2﹣3m不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
D．﹣2ab+3ab＝ab，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解决本题的关键．
4．中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为（ ）
A．37×104 B．3.7×104 C．0.37×106 D．3.7×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：370000＝3.7×105，
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．数轴上点A，B表示的数分别是2和﹣5，则它们之间的距离是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
【分析】根据题意可得AB＝|2﹣（﹣5）|＝7．
解：∵点A，B表示的数分别是2和﹣5，
∴AB＝|2﹣（﹣5）|＝7，
故选：D．
【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，会求数轴上两点间的距离是解题的关键．
6．如果关于m的方程2m+b＝m﹣1的解是﹣4，则b的值是（ ）
A．3 B．5 C．﹣3 D．﹣5
【分析】将m＝﹣4代入可得关于b的方程，解出即可．
解：把m＝﹣4代入方程2m+b＝m﹣1中，
得：2×（﹣4）+b＝（﹣4）﹣1，
解得：b＝3，
故选：A．
【点评】本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式．
7．如果单项式﹣3xa+3y2与2xyb﹣3能合并成一项，那么ab的结果为（ ）
A．10 B．﹣10 C．﹣12 D．12
【分析】根据题意可知两个单项式是同类项，然后可求得m、n的值即可．
解：∵单项式﹣3xa+3y2与2xyb﹣3能合并成一项，
∴单项式﹣3xa+3y2与2xyb﹣3是同类项．
∴a+3＝1，b﹣3＝2．
解得；a＝﹣2，b＝5．
∴ab＝﹣2×5＝﹣10．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是同类项的定义、求代数式的值，求得m、n的值是解题的关键．
8．将方程去分母后，得到3（2x﹣1）﹣2x+1＝6的结果错在（ ）
A．最简公分母找错
B．去分母时漏乘3项
C．去分母时分子部分没有加括号
D．去分母时各项所乘的数不同
【分析】按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答．
解：将方程
去分母得：3（2x﹣1）﹣2（x+1）＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
9．一个角的补角为138°，那么这个角的余角是（ ）
A．32° B．42° C．48° D．132°
【分析】根据互补的两角之和为180°，互余的两角之和为90°即可解答．
解：∵这个角＝180°﹣148°＝42°，
∴这个角的余角＝90°﹣42°＝48°．
故选：C．
【点评】本题考查了余角和补角的知识，关键是掌握互补的两角之和为180°，互余的两角之和为90°．
10．已知A＝5x2﹣3x+4，B＝3x2﹣3x﹣2，则A与B的大小关系为（ ）
A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．不能确定
【分析】先计算出A﹣B的值，然后和0比较大小，即可得到A与B的大小关系．
解：∵A＝5x2﹣3x+4，B＝3x2﹣3x﹣2，
∴A﹣B
＝（5x2﹣3x+4）﹣（3x2﹣3x﹣2）
＝5x2﹣3x+4﹣3x2+3x+2
＝2x2+6＞0，
∴A＞B，
故选：A．
【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．
11．若有理数a在数轴上对应点A的位置如图所示，则下面各数中最小的是（ ）
A．|a| B．a2 C．﹣2a D．3a
【分析】根据有理数a在数轴上的位置可知﹣3＜a＜﹣2，可设a＝﹣2.5，再代入各选项进行计算，比较出结果的大小即可．
解：由题意可知，﹣3＜a＜﹣2，可设a＝﹣2.5，
则|a|＝|﹣2.5|＝2.5，a2＝（﹣2.5）2＝6.25，﹣2a＝﹣2×（﹣2.5）＝5，3a＝3×（﹣2.5）＝﹣7.5，
∵﹣7.5＜2.5＜5＜6.25，
∴3a＜|a|＜﹣2a＜a2．
故选：D．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数比左边的大是解题的关键．
12．如图，AB＝8，点M是AB的中点，点N在BM上，且MN＝3BN，则AN的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】先根据线段中点的定义求出AM＝BM＝4，然后根据MN＝3BN求出BN＝1，则AN＝AB﹣BN＝7．
解：∵AB＝8，点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝4，
∵MN＝3BN，
∴BM＝MN+BN＝3BN+BN＝4，
∴BN＝1，
∴AN＝AB﹣BN＝8﹣1＝7．
故选：A．
【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分，连接两点间的线段的长度叫两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．
13．下列说法正确的是（ ）
A．锐角的补角不一定是钝角
B．一个角的补角一定大于这个角
C．若两个角是同一个角的补角，则此两角相等
D．锐角和钝角互补
【分析】根据余角和补角的概念判断即可．
解：A、因为锐角的补角与锐角之和为180°，所以锐角的补角一定是钝角，所以本说法不符合题意；
B、当这个角为120°时，120°的补角是60°，所以本说法不符合题意；
C、根据等角的补角相等．所以本说法符合题意；
D、锐角和钝角的度数不确定，不能确定锐角和钝角是否互补，所以本说法不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是余角和补角的概，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．
14．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，如果∠AOD＝150°，那么∠BOC等于（ ）
A．20° B．30° C．50° D．40°
【分析】先求出∠COD的度数，然后根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．
解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝140°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝70°，
∵∠BOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD
＝90°﹣70°
＝20°．
故选：A．
【点评】本题主查了角的计算能力，掌握角相互间的和差关系是关键．
15．某项工程由甲队单独做需要20天完成，由乙队单独做只需甲队的一半时间就能完成．设两队合作需要x天完成，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得乙单独完成需要18天，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据题意可得等量关系：甲乙合作的工作效率×工作时间＝工作量1，根据等量关系列出方程即可．
解：设两队合做需x天完成，由题意得：
（+）x＝1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，表示出甲和乙的工作效率，掌握工作效率×工作时间＝工作量．
16．观察下面的数：
按着上述的规律排下去，那么第12行从左边数第4个数是（ ）
A．﹣121 B．﹣123 C．﹣125 D．﹣127
【分析】先根据行数确定出最后一个数的变化规律，再根据得出的规律确定出第11行的数，然后用11行的最后一个数的绝对值与4相加即可解答．
解：因为行数是偶数时，它的最后一个数是行数的平方，
当行数是奇数时，它的最后一个数是行数的平方的相反数，
所以第11行最后一个数字是：﹣11×11＝﹣121，
它的绝对值是121，
第12行从左边第4个数的绝对值是：121+4＝125．
故第12行从左边第4个数是﹣125．
故选：C．
【点评】此题考查了数字的变化类，找出最后一个数的变化规律，确定出第11行最后一个数是解题关键．
二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．把答案直接填写在题中的横线上）
17．语句“a的4倍与b的差”用式子表示为 4a﹣b ．
【分析】根据文字表示代数式的时候，一要注意运算顺序；二要注意代数式的正确书写．被减数为a的4倍，减数为b．
解：根据题意知：4a﹣b．
故答案为：4a﹣b．
【点评】此题考查了列代数式；解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意书写代数式的时候，数字应写在字母的前面．
18．如果|m|＝2，那么代数式1﹣m+2m2的值为 7或11 ．
【分析】根据条件求出m的值，再将m的值代入所求的代数式求值即可．
解：∵|m|＝2，
∴m＝2或m＝﹣2，
当m＝2时，1﹣m+2m2＝1﹣2+2×4＝7，
当m＝﹣2时，1﹣m+2m2＝1+2+2×4＝11，
故答案为：7或11．
【点评】本题考查代数式求值，熟练掌握绝对值的定义，准确求出m的值是解题的关键．
19．如图，平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个代数式的值相等，则x+y+z＝ 5 ．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定出相对面，然后列出方程求出x、y的值，再相加计算即可得解．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“5”与“y+2”是相对面，
“5x﹣2”与“8”是相对面，
“3z”与“3”是相对面，
∵相对面上的两个代数式值相等，
∴5x﹣2＝8，
y+2＝5，
解得x＝2，
y＝3，
x+y＝2+3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
20．如图，O为模拟钟面圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON同时出发，绕点O按顺时针方向转动，OA运动速度为每秒12°，OB运动速度为每秒4°，当一根指针与起始位置重合时，转动停止，设转动的时间为t秒，当t＝ 15或30 秒时，∠AOB＝60°．
【分析】根据题意得出OA旋转的角度为12t°，OB旋转的角度为4t°，再分OA与OB重合前和重合后两种情况，根据角度间的熟练关系列出方程求解可得．
解：根据题意知OA旋转的角度为12t°，OB旋转的角度为4t°，
①OA与OB重合前，12t+60＝180+4t，
解得：t＝15；
②OA与OB重合后，4t+60+180＝12t，
解得：t＝30；
综上，当t＝15或30时，∠AOB＝60°；
故答案为：15或30．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（本大题共6个小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（1）；
（2）﹣12022+16÷（﹣2）3×|﹣3﹣1|．
【分析】（1）利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先计算乘方和绝对值，再计算除法，进一步计算即可．
解：（1）原式＝24×﹣24×+24×
＝8﹣9+20
＝19；
（2）原式＝﹣1+16÷（﹣8）×4
＝﹣1﹣2×4
＝﹣1﹣8
＝﹣9．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
22．（1）先化简，再求值：5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b），其中（a﹣2）2+|b+1|＝0．
（2）解下列方程：
①2﹣3x＝4﹣2x；
②．
【分析】（1）根据整式的加减运算法则进行化简，然后将a与b的值求出代入原式即可求出答案．
（2）根据一元一次方程的解法即可求出答案．
解：（1）原式＝15a2b﹣5ab2+4ab2﹣12a2b
＝15a2b﹣12a2b﹣5ab2+4ab2
＝3a2b﹣ab2，
由题意可知：a﹣2＝0，b+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
原式＝3ab（a﹣b）
＝3×2×1×（2+1）
＝6×3
＝18．
（2）①2﹣3x＝4﹣2x，
2﹣4＝3x﹣2x，
x＝﹣2．
②﹣1＝，
3（x+1）﹣6＝2（2﹣3x）
3x+3﹣6＝4﹣6x，
3x﹣3＝4﹣6x，
3x+6x＝4+3，
9x＝7，
x＝．
【点评】本题考查整式的加减运算以及解一元一次方程，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及一元一次方程的解法，本题属于基础题型．
23．（1）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：
①画直线AB；
②画射线DC交直线AB于点E；
③连接BD，反向延长BD到点F，使得BF＝BD．
（2）如图，某小区将铺设一个长方形绿化带，四个角都铺一块半径相同的四分之一圆形的花卉区，其余地带都铺设草坪．若圆形的半径为R，长方形的长为a，宽为b．
①用式子表示花卉区的面积为 πR2 m2，草坪的面积为 ab m2；
②若长方形的长为100m，宽为50m，圆形的半径为10m，铺设每平方米草坪的费用是10元，求铺设草坪大约共需支付多少钱？（π≈3）．
【分析】（1）根据画图语句进行画图即可；
（2）①根据题意即可得长方形的面积，四个四分之一圆形的花卉区的面积；
②根据草坪的面积等于长方形的面积减去四个四分之一圆形的花卉区的面积将相应的数代入计算即可得．
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）①根据题意得：花卉区的面积为πR2 m2，草坪的面积为abm2；
故答案为：πR2，ab；
②S草坪＝S长方形﹣S圆形花卉区
＝（ab﹣πR2）平方米，
当a＝100m，b＝50m，R＝10米时，
（ab﹣πR2）＝100×50﹣π×102
＝（5000﹣100π） m2，
∴铺设草坪大约共需支付：（5000﹣100π）×10≈47000（元）．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，列代数式、代数式求值等知识点，依据题意，正确列出代数式是解题关键．
24．如图，已知AB，OC相交于点O，∠AOC＝90°，∠BOD＝32°，ON平分∠COD，OM平分∠AOD，求∠MON．
【分析】先根据∠AOC＝90°，∠BOD＝32°求出∠COD＝58°，∠AOD＝148°，再根据角平分线的定义求出∠CON＝∠COD＝29°，∠AOM＝∠AOD＝74°，所以∠COM＝16°，则利用∠MON＝∠COM+∠CON计算即可．
解：∵∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵∠BOD＝32°，
∴∠COD＝90°﹣32°＝58°，∠AOD＝180°﹣32°＝148°，
∵ON平分∠COD，
∴∠CON＝∠COD＝29°，
∵OM平分∠AOD，
∴∠AOM＝∠AOD＝74°，
∴∠COM＝90°﹣74°＝16°，
∴∠MON＝∠COM+∠CON＝16°+29°＝45°，
即∠MON的度数为45°．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟记概念并灵活运用是解题的关键，邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
25．粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；
（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
【分析】（1）根据今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50%，列出算式即可求解；
（2）根据“某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场”列出方程求解即可．
解：（1）50×（1﹣50%）＝25（万元）．
故明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元；
（2）设明年改装的无人驾驶出租车是x辆，则今年改装的无人驾驶出租车是（260﹣x）辆，依题意有
50（260﹣x）+25x＝9000，
解得x＝160．
故明年改装的无人驾驶出租车是160辆．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题关键．
26．如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为﹣24，﹣10，10，动点P从A点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．
（1）用含t的式子表示P点到A点和C点的距离，PA＝ t ，PC＝ 34﹣t ；
（2）当点P运动至点B时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到时达C点时，整个运动结束．
试问：在点Q开始运动后，PQ两点之间的距离能否为2个单位长度？若能，请求出点P所表示的数；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据P点位置进而得出PA，PC的距离；
（2）分别根据P点与Q点相遇前以及相遇后进而分别分析得出即可．
解：（1）∵动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒，
∴P到点A的距离为：PA＝t，P到点C的距离为：PC＝（24+10）﹣t＝34﹣t；
故答案为：t，34﹣t；
（2）当P点在Q点右侧，且Q点还没有追上P点时，
3（t﹣14）+2＝t
解得：t＝20，
∴此时点P表示的数为﹣4，
当P点在Q点左侧，且Q点追上P点后，相距2个单位，
3（t﹣14）﹣2＝t
解得：t＝22，
∴此时点P表示的数为﹣2，
当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，
t+2+3（t﹣14）﹣34＝34
解得：t＝27，
∴此时点P表示的数为3，
综上所述：点P表示的数为﹣4，﹣2，3．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及利用数轴确定点的位置，利用分类讨论得出是解题关键．
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