广东省河源市源城区广赋创新学校优秀2021-2022学年上学期班八年级第二次调研数学试卷（含答案）

这是一份广东省河源市源城区广赋创新学校优秀2021-2022学年上学期班八年级第二次调研数学试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年广东省河源市源城区广赋创新学校优秀班八年级（上）第二次调研数学试卷（附答案与解析）
一、单选题。（每题3分，合计30分）
1．（3分）如图是四个汽车标志的图案，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若三角形的两边长分别为6，8，则第三边长可以是（　　）
A．1 B．2 C．10 D．15
3．（3分）若△ABC各内角的度数满足∠A+∠B＝120°，∠C＝2∠A，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
4．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5．（3分）一个正多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数和对角线的条数分别是（　　）
A．8，20 B．10，35 C．6，9 D．5，5
6．（3分）如图，△ABC的面积为16cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　）

A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．10cm2
7．（3分）如图，在△ABC中，BC边的中垂线DE，分别与AB、BC边交于点D、E两点，连接CD，边AC的中垂线FG分别与CD、AC边交于点F、G两点，连接AF．若△ADF的周长为13，AD＝4，则BD的长为（　　）

A．4 B．9 C．13 D．17
8．（3分）已知m+n＝2，nm＝﹣2，则（1+m）（1+n）的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．5
9．（3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条线上，CM平分∠DCE，连接BE．以下结论：①AD＝CE；②CM⊥AE；③AE＝BE+2CM；④S△COE＞S△BOM；⑤CM∥BE．正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，AD为等腰△ABC的高，其中∠ACB＝50°，AC＝BC，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取最小值时，∠AFB的度数为（　　）

A．75° B．90° C．95° D．105°
二、填空题。（每题3分，合计18分）
11．（3分）因式分解：x3﹣4x＝　 　．
12．（3分）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC＝　 　．

13．（3分）已知2a＝3，2b＝5，则22a+2a+b＝　 　．
14．（3分）已知A（0，2），B（0，﹣1），C（3，0），若以点A，B，D三个点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标有：　 　．
15．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB＝5，AC＝3，则AE＝　 　．

16．（3分）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝2，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA上则当MP+PQ+QN的最小值时，S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝　 　．

三、解答题。（共72分）
17．（4分）因式分解：
（1）3a2c﹣6abc+3b2c；
（2）x2（m﹣2n）+y2（2n﹣m）．
18．（4分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠B＝∠D．

19．（6分）先化简，再求值：[（2x+3y）2﹣4x（x+6y）]÷3y，其中x＝1，y＝﹣．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD＝2BD．

21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；
（2）求出△A1OB1的面积；
（3）在x轴上存在点P，使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为　 　．

22．（10分）（1）若（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2和x3项，求2m+n的值．
（2）已知a﹣2b＝，ab＝2，求：﹣a4b2+4a3b3﹣4a2b4的值．
23．（10分）先按要求作图，再进行计算：
（1）如图，△ABC中，∠A＝105°．
①在△ABC内求作点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到∠ABC两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②在①的条件下，若∠ACP＝30°，求∠PBC的度数；
（2）若AB＝5，AC＝3，BC＝7，现经过△ABC顶点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中一个三角形是有一边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画几条．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并在图上标示出来．）


24．（12分）如图，E为△ABC边BC的中点，DE⊥BC，交△ABC的外角∠BAM的平分线于点D，DF⊥AB于F，且AB＞AC．
求证：（1）CD＝BD；
（2）BF＝AC+AF；
（3）∠MAD＝∠DCB．

25．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），B（b，0），其中a，b满足：（x+b）（x+2）＝x2+ax+6（a，b为常数）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，D为x轴负半轴上一点，C为第三象限内一点，且∠ABC＝∠ADC＝90°，AO＝DO，DB平分∠ADC，过点C作CE⊥DB于点E，求证：DE＝OB；
（3）如图2，P为y轴正半轴上一动点，连接BP，过点B在x轴下方作BQ⊥BP，且BQ＝BP，连接PC，PQ，QC．在（2）的条件下，设P（0，p），求△PCQ的面积（用含p的式子表示）．


2021-2022学年广东省河源市源城区广赋创新学校优秀班八年级（上）第二次调研数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题。（每题3分，合计30分）
1．（3分）如图是四个汽车标志的图案，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）若三角形的两边长分别为6，8，则第三边长可以是（　　）
A．1 B．2 C．10 D．15
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【解答】解：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系，
得8﹣6＜x＜8+6，
即2＜x＜14，
只有10适合，
故选：C．
【点评】本题主要考查了求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可，难度适中．
3．（3分）若△ABC各内角的度数满足∠A+∠B＝120°，∠C＝2∠A，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【分析】由三角形的内角和定理可求解∠C的度数，即可得∠A的度数和∠B的度数，进而可判断三角形的形状．
【解答】解：∵∠A+∠B＝120°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝60°，
∵∠C＝2∠A，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝120°﹣30°＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，直角三角形的判定，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
4．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
【解答】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
5．（3分）一个正多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数和对角线的条数分别是（　　）
A．8，20 B．10，35 C．6，9 D．5，5
【分析】利用多边形的外角和是360度，正多边形的每个外角都是45°，求出这个多边形的边数，再根据一个多边形有 条对角线，即可算出有多少条对角线．
【解答】解：∵正多边形的每个外角都等于45°，
∴360÷45＝8，
∴这个正多边形是正8边形，
∴＝20（条），
∴这个正多边形的对角线是20条．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是多边的外角和，多边形的对角线及正多边形的概念和性质，任意多边形的外角和都是360°，和边数无关．正多边形的每个外角都相等．任何多边形的对角线条数为 条．
6．（3分）如图，△ABC的面积为16cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　）

A．7cm2 B．8cm2 C．9cm2 D．10cm2
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP＝∠EBP，
又∵BP＝BP，∠APB＝∠EPB＝90°，
∴△ABP≌△EBP，
∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝×16＝8（cm2），
故选：B．

【点评】本题主要考查面积及等积变换的知识点．证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点．
7．（3分）如图，在△ABC中，BC边的中垂线DE，分别与AB、BC边交于点D、E两点，连接CD，边AC的中垂线FG分别与CD、AC边交于点F、G两点，连接AF．若△ADF的周长为13，AD＝4，则BD的长为（　　）

A．4 B．9 C．13 D．17
【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到答案．
【解答】解：∵边AC的中垂线FG分别与CD、AC边交于点F、G两点，连接AF．
∴CF＝AF，
∴△ADF的周长＝AF+DF+AD＝CF+DF+AD＝CD+AD＝13，
∵AD＝4，
∴CD＝9，
∵DE是BC边的中垂线，
∴BD＝CD＝9，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．（3分）已知m+n＝2，nm＝﹣2，则（1+m）（1+n）的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．5
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（1+m）（1+n）＝1+n+m+mn，再代入计算即可．
【解答】解：∵m+n＝2，mn＝﹣2，
∴（1+m）（1+n）＝1+n+m+mn＝1+2﹣2＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是本题的关键．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
9．（3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条线上，CM平分∠DCE，连接BE．以下结论：①AD＝CE；②CM⊥AE；③AE＝BE+2CM；④S△COE＞S△BOM；⑤CM∥BE．正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，可判断①，由等腰直角三角形的性质可得∠CDE＝∠CED＝45°．CM⊥AE，可判断②，由三角形的面积公式可判断④，由线段和差关系可判断③，由全等三角形的性质可求∠AEB＝∠CME＝90°，可判断⑤，即可求解．
【解答】解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，故①错误，
∵△DCE为等腰直角三角形，CM平分∠DCE，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，CM⊥AE，故②正确，
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME．
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．故③正确，
∵S△COE＝OE•CM，S△BOE＝OE•BE，
∵CM不一定大于BE，
∴S△COE不一定大于S△BOE，故④错误，
∵∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝90°＝∠CME，
∴CM∥BE，故⑤正确；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△ACD≌△BCE是本题的关键．
10．（3分）如图，AD为等腰△ABC的高，其中∠ACB＝50°，AC＝BC，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取最小值时，∠AFB的度数为（　　）

A．75° B．90° C．95° D．105°
【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，求出此时∠AFB＝95°．
【解答】解：如图1，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，AC＝BC，∠ACB＝50°，
∴∠DAC＝40°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝50°，
∴∠ACH＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAC＝∠ACH＝40°，
∵AE＝CF，
在△AEC与△CFH中，
，
∴△AEC≌△CFH（SAS），
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝50°，
∴∠AFB＝95°，
故选：C．


【点评】此题考查全等三角形的性质和判定，最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF+CE取得最小值时确定点F的位置．
二、填空题。（每题3分，合计18分）
11．（3分）因式分解：x3﹣4x＝　x（x+2）（x﹣2）　．
【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：x3﹣4x
＝x（x2﹣4）
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
12．（3分）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC＝　75°　．

【分析】由∠F＝30°，∠EAC＝45°，即可求得∠ABF的度数，又由∠FBC＝90°，易得∠ABC的度数．
【解答】解：∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，∠EAC是△ABF的一个外角，
∴∠ABF＝∠EAC﹣∠F＝45°﹣30°＝15°，
∵∠FBC＝90°，
∴∠ABC＝∠FBC﹣∠ABF＝90°﹣15°＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质．
13．（3分）已知2a＝3，2b＝5，则22a+2a+b＝　24　．
【分析】按照合并同类项、同底数幂的乘法计算即可．
【解答】解：∵2a＝3，2b＝5，
∴22a+2a+b
＝（2a）2+2a•2b
＝9+3×5
＝9+15
＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法等整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14．（3分）已知A（0，2），B（0，﹣1），C（3，0），若以点A，B，D三个点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标有：　（﹣3，0）或（3，1）或（﹣3，1）　．
【分析】根据三角形全等的判定确定符合条件的点D，结合图形可得点D的坐标．
【解答】解：如图，满足条件的点D有三个，D（﹣3，0），D′（3，1），D″（﹣3，1）．

故答案为：（﹣3，0）或（3，1）或（﹣3，1）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，坐标与图形性质等知识，解题的关键是正确画出图形解决问题．
15．（3分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB＝5，AC＝3，则AE＝　4　．

【分析】连接BD，根据角平分线的性质可得DE＝DF，根据线段垂直平分线的性质，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，可得BE＝CF，再证得△AED≌△AFD，得到AE＝AF，设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程求出x，进而可求得AE．
【解答】解：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4，
故答案为：4．

【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解是解决问题的关键．
16．（3分）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝2，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA上则当MP+PQ+QN的最小值时，S△NOQ+S△QOP+S△MOP＝　5　．

【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′＝90°，S△NOQ+S△QOP+S△MOP即为Rt△M′ON′的面积．
【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′＝90°，
∵OM'＝OM＝2，ON'＝ON＝5，
∴S△NOQ+S△QOP+S△MOP
＝S△N'OQ+S△QOP+S△M'OP
＝S△M′ON′＝
＝
＝5．
故答案为5．

【点评】本题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．
三、解答题。（共72分）
17．（4分）因式分解：
（1）3a2c﹣6abc+3b2c；
（2）x2（m﹣2n）+y2（2n﹣m）．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝3c（a2﹣2ab+b2）
＝3c（a﹣b）2；
（2）原式＝x2（m﹣2n））﹣y2（m﹣2n）
＝（m﹣2n）（x2﹣y2）
＝（m﹣2n）（x+y）（x﹣y）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（4分）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠B＝∠D．

【分析】先证∠BAC＝∠DAE，再证△ABC≌△ADE（SAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE﹣∠CAE＝∠DAC﹣∠CAE，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠B＝∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：[（2x+3y）2﹣4x（x+6y）]÷3y，其中x＝1，y＝﹣．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：[（2x+3y）2﹣4x（x+6y）]÷3y
＝（4x2+12xy+9y2﹣4x2﹣24xy）÷3y
＝（9y2﹣12xy）÷3y
＝3y﹣4x，
当x＝1，y＝﹣时，原式＝3×（﹣）﹣4×1
＝﹣1﹣4
＝﹣5．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD＝2BD．

【分析】连接AD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，然后求出∠DAB＝∠B＝∠C＝30°，再求出∠DAC＝90°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得证．
【解答】证明：如图，连接AD，
∵直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B，
又∵∠B＝30°，
∴∠DAB＝30°，
又∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝90°，
又∵∠C＝30°，
∴CD＝2AD，
又∵AD＝BD，
∴CD＝2BD．

【点评】本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；
（2）求出△A1OB1的面积；
（3）在x轴上存在点P，使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为　（1，0）　．

【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出点A1和点B1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1OB1的面积；
（3）作B点关于x轴的对称点B′，连接BB′交x轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件，然后写出P点坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1为所作，点A1坐标为（1，2），点B1的坐标为（﹣2，1）；

（2）△A1OB1的面积＝2×3﹣×1×2﹣×2×1﹣×3×1＝；
（3）如图，P点为所作，P点坐标为（1，0）．
故答案为（1，0）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
22．（10分）（1）若（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2和x3项，求2m+n的值．
（2）已知a﹣2b＝，ab＝2，求：﹣a4b2+4a3b3﹣4a2b4的值．
【分析】（1）先用多项式乘多项式的法则展开，再根据题意列方程求解；
（2）先把多项式进行因式分解，再整体带入求解，
【解答】解：（1）原式＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n，
根据展开式中不含x2和x3项得：，
解得：，
∴3m+n＝26；
（2）当a﹣2b＝，ab＝2时，
原式＝﹣a2b2（a2+4b2﹣4ab）
＝﹣a2b2（a﹣2b）2
＝﹣4×
＝﹣1．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整体代入是解题的关键．
23．（10分）先按要求作图，再进行计算：
（1）如图，△ABC中，∠A＝105°．
①在△ABC内求作点P，使得点P到B、C两点的距离相等，并且到∠ABC两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②在①的条件下，若∠ACP＝30°，求∠PBC的度数；
（2）若AB＝5，AC＝3，BC＝7，现经过△ABC顶点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中一个三角形是有一边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画几条．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹并在图上标示出来．）


【分析】（1）①作线段BC的垂直平分线，再作∠ABC的平分线，两线的交点即为所求的点P．
②利用角平分线的定义以及线段垂直平分线的性质，结合三角形的内角和可得出答案．
（2）以点C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于点D，作直线AD即为所求；以点A为圆心，AC长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，作直线AF和直线CE即为所求；作线段AC的垂直平分线，交BC于点G，作直线AG即为所求．
【解答】解：（1）①如图，点P即为所求．

②∵点P在线段BC的垂直平分线上，
∴BP＝CP，
∴∠PBC＝∠PCB，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+2∠PBC+∠ACP+∠PCB＝180°，
即105°+30°+3∠PBC＝180°，
∴∠PBC＝15°．
（2）这样的直线最多可画4条．
如图，直线AD，CE，AF，AG即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的定义等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识进行求解．
24．（12分）如图，E为△ABC边BC的中点，DE⊥BC，交△ABC的外角∠BAM的平分线于点D，DF⊥AB于F，且AB＞AC．
求证：（1）CD＝BD；
（2）BF＝AC+AF；
（3）∠MAD＝∠DCB．

【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质证明即可；
（2）证明△AFD≌△AND（AAS），推出AF＝AN，DF＝DN，再证明△BFD≌△CND（HL），可得结论；
（3）由△BFD≌△CND，推出∠3＝∠4，由∠1+∠2＝∠ACB+∠ABC＝∠5+∠3+∠ABC，推出2∠1＝∠5+∠4+∠ABC＝∠5+∠DBC，由CD＝BD，推出∠5＝∠DBC，再证明∠1＝∠5即可．
【解答】（1）证明：∵E为△ABC边BC的中点，DE⊥BC，
∴CD＝BD；

（2）证明：过点D作DN⊥MC于点N，
∵AD为∠BAM角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵DN⊥MC，DF⊥AB，
∴∠AFD＝∠AND，
在△AFD和△AND中，
，
∴△AFD≌△AND（AAS），
∴AF＝AN，DF＝DN，
∵∠BFD＝∠CND＝90°，
在Rt△BFD和Rt△CND中，
，
∴△BFD≌△CND（HL），
∴BF＝CN＝AC+AN＝AC+AF．

（3）证明：∵△BFD≌△CND，
∴∠3＝∠4，
∵∠1+∠2＝∠ACB+∠ABC＝∠5+∠3+∠ABC，
∴2∠1＝∠5+∠4+∠ABC＝∠5+∠DBC，
∵CD＝BD，
∴∠5＝∠DBC，
∴2∠1＝2∠5，
∴∠1＝∠5，
即∠MAD＝∠DCB．

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断关系着，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），B（b，0），其中a，b满足：（x+b）（x+2）＝x2+ax+6（a，b为常数）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，D为x轴负半轴上一点，C为第三象限内一点，且∠ABC＝∠ADC＝90°，AO＝DO，DB平分∠ADC，过点C作CE⊥DB于点E，求证：DE＝OB；
（3）如图2，P为y轴正半轴上一动点，连接BP，过点B在x轴下方作BQ⊥BP，且BQ＝BP，连接PC，PQ，QC．在（2）的条件下，设P（0，p），求△PCQ的面积（用含p的式子表示）．

【分析】（1）将左边展开，左右恒等得出方程求得；
（2）可得△AOB∽△BEC，从而＝＝，设CE＝3a，EB＝5a，推得△DEC是等腰直角三角形，可得DE＝CE＝3a，求出a＝1，从而得证；也可以分别求出DC和BC的函数关系式，联立成方程组，解得C点坐标．
（3）分为P在A点上方和在A点下方，可得△QBC≌△PBA，从而CQ⊥y轴，进而表示出CQ及CQ上的高，从而求得．
【解答】（1）解：∵（x+b）（x+2）＝x2+ax+6，
∴x2+（b+2）x+2b＝x2+ax+6，
∴，
∴，
∴A（0，5），B（3，0）；
（2）证：如图1，

∵OD＝OA＝5，
∴∠ADO＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝45°，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC＝90°，
∴∠BDC＝∠ECD＝45°，
∴DE＝CE，
∵∠ABC＝∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝∠ABO+∠EBC＝90°，
∴∠EBC＝∠BAO，
∵∠∠BEC＝90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴＝＝，
∴设CE＝3a，EB＝5a，
∴DE＝CE＝3a，
∵DE+EB＝8，
∴3a+5a＝8，
∴a＝1，
∴DE＝OB＝3；
（3）解：如图2，

当P＞5时，
延长QC交PA于D，PD与BQ交于I，
∵∠PBQ＝∠ABC＝90°，
∴∠PBA＝∠QBC，
∵MQ＝PB，
由（2）知，
CE＝DE＝OB，
又△AOB∽△BEC，
∴△AOB≌△BEC，
∴BC＝AB，
∴△QBC≌△PBA（SAS），
∴∠BQC＝∠BPA，CQ＝PA＝p﹣5，
∴∠PIB＝∠QID，
∠QDI＝∠PBI＝90°，
∴QC⊥PA，
∵PD＝p+3，
∴S△PCQ＝
＝
＝﹣p﹣，
如图3，

当0＜p＜5时，
CQ＝AP＝5﹣p，
PD＝p+3，
∴S△PCQ＝
＝•（p+3）
＝﹣+p+，
∴．
【点评】本题考查了一次函数及其图象，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是根据条件，找出和运用全等．