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广东省河源市源城区广赋创新学校2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷 (含答案)
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这是一份广东省河源市源城区广赋创新学校2021-2022学年八年级上学期期末数学试卷 (含答案)，共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省河源市源城区广赋创新学校八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1．（3分）下列实数中是无理数的是（ ）
A．﹣2020 B． C．0.3333333 D．
2．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点M（1，﹣2）在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
4．（3分）下列数组不能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，， D．2，3，4
5．（3分）下列四个命题中，真命题的是（ ）
A．三角形中至少有两个锐角
B．内错角相等
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．两直线平行，同旁内角相等
6．（3分）将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2（x﹣4） B．y＝﹣2x+4 C．y＝﹣2（x+4） D．y＝﹣2x﹣4
7．（3分）直线l上有三个正方形A、B、C放置如图所示，若正方形A、C的面积分别为1和12，则正方形B的面积为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．
8．（3分）小明在数学课上，将文具盒中的直角三角板与一直尺放置如图，若测得∠AEF＝50°，那么∠BDA＝（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
9．（3分）一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处玩耍的身高为1m的小明（ ）
A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断
10．（3分）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大厦共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知一个正数的两个平方根分别是3x﹣2和5x﹣14，则x的值为 ．
12．（4分）A（﹣1，y1），B（3，y2）是直线y＝﹣3x+1上的两点，则y1 y2（填“＞”或“＜”）．
13．（4分）三角形的三边长为5cm、12cm、13cm，则它最长边上的高为 ．
14．（4分）已知直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（2，b），则关于x，y的方程组的解是 ．
15．（4分）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k|﹣1﹣7y＝8是二元一次方程，则k＝ ．
16．（4分）已知平面直角坐标系中有M（m﹣1，2m+3），N（5，﹣1）两点，且MN∥y轴，则点M的坐标为 ．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为 ．
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2021）0++（﹣）﹣1．
19．（6分）解方程组．
20．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，AD＝1，且∠B＝90°．试求：
（1）∠BAD的度数．
（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）某校八年级的一次数学小测试由20道选择题构成，每题5分，共100分，为了了解本次测试中同学们的成绩情况，某调查小组从中随机调查了都分同学，并根据调在结果绘制了如下尚不完整的统计图，如图，请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为 人，该次测试成绩的中位数是 分，众数为 分；
（2）补全条形统计图；
（3）若测试成绩80分或80分以上为“优秀”，则估计该校九年级800名学生中，本次测试成绩达到“优秀”的人数是多少？
22．（8分）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究∠ADB与∠A、∠B、∠C的数量关系并给出证明；
（2）模型应用：如图2，DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，∠A＝24°，∠B＝66°，请直接写出∠E的度数．
23．（8分）疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”用29000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲，乙两种口罩的售价分别是30元/盒，35元/盒．
（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
（2）现已知甲，乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在长力形纸片ABCD中，AB＝18，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点正处，AE交DC于点F，若AF＝13，连接DE．
（1）AD的长为 ；
（2）求△DEF的面积；
（3）试问DE与AC的位置关系，并说明理由．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点A、B，直线x＝﹣1与直线AB交于点D，直线l过点A，与y轴交于点C，点C的纵坐标是﹣．
（1）求直线AC的解析式；
（2）在直线l上是否存在点P，点P在直线x＝﹣1的左侧，使得S△ABC＝S△PDB，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，点Q是线段PD的动点，过点Q作QM∥x轴，交直线AB与点M，在x轴上是否存在点N，使得△QMN为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
2021-2022学年广东省河源市源城区广赋创新学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1．（3分）下列实数中是无理数的是（ ）
A．﹣2020 B． C．0.3333333 D．
【分析】无理数包括三方面的数：①含π的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上内容判断即可．
【解答】解：A．﹣2020是整数，属于有理数；
B.是无理数；
C.0.333333是有限小数，属于有理数；
D.是分数，属于有理数．
故选：B．
【点评】本题考查了对无理数的定义的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数．
2．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项不符合题意；
B、原式＝9＝9，所以B选项不符合题意；
C、原式＝＝3，所以C选项符合题意；
D、原式＝3，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法运算是解决问题的关键．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点M（1，﹣2）在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】横坐标是正数，纵坐标是负数，是点在第四象限的条件．
【解答】解：∵1＞0，﹣2＜0，∴点M（1，﹣2）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，
4．（3分）下列数组不能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，， D．2，3，4
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、32+42＝52，能组成直角三角形，不符合题意；
B、52+122＝132，能组成直角三角形，不符合题意；
C、12+（）2＝（）2，能组成直角三角形，不符合题意；
D、22+32≠42，不能组成直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5．（3分）下列四个命题中，真命题的是（ ）
A．三角形中至少有两个锐角
B．内错角相等
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．两直线平行，同旁内角相等
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；
B、两直线平行，内错角相等，是假命题；
C、三角形的一个外角不一定大于任何一个内角，是假命题；
D、两直线平行，同旁内角互补，是假命题；
故选：A．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（3分）将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2（x﹣4） B．y＝﹣2x+4 C．y＝﹣2（x+4） D．y＝﹣2x﹣4
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答．
【解答】解：由上加下减”的原则可知，将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为：y＝﹣2x﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）直线l上有三个正方形A、B、C放置如图所示，若正方形A、C的面积分别为1和12，则正方形B的面积为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．
【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠EDF＝∠GFH，由AAS证明△DEF≌△FGH，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【解答】解：如图，
∵A、B、C都是正方形，
∴DF＝FH，∠DFH＝90°；
∵∠DFE+∠GFH＝∠EDF+∠DFE＝90°，
∴∠EDF＝∠GFH，
在△DEF和△FGH中，，
∴△DEF≌△FGH（AAS），
∴DE＝FG，EF＝HG；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：DF2＝DE2+EF2＝DE2+HG2，
即SB＝SA+SC＝1+12＝13，
故选：C．
【点评】此题主要考查对全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识；关键是证明△DEF≌△FGH．
8．（3分）小明在数学课上，将文具盒中的直角三角板与一直尺放置如图，若测得∠AEF＝50°，那么∠BDA＝（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
【分析】先根据∠AEF＝50°，得出∠BCA＝50°，再根据DC∥EF，即可得到∠BAC＝50°，最后根据∠B＝30°，即可得出∠BDA的大小．
【解答】解：由图可得，∠AEF＝50°，
又∵DC∥EF，
∴∠BAC＝50°，
∵∠B＝30°，
∴∠BDA＝50°﹣30°＝20°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
9．（3分）一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处玩耍的身高为1m的小明（ ）
A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断
【分析】由勾股定理求出BC＝4＞3.9，即可得出结论．
【解答】解：如图所示：
AB＝9﹣4＝5，AC＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：BC＝＝4＞3.9，
∴此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明有危险，
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．
10．（3分）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】根据图象与纵轴的交点可得出A、B两地的距离，而s＝0时，即为甲、乙相遇的时候，同理根据图象的拐点情况解答即可．
【解答】解：由图象可知A村、B村相离10km，
故①正确，
当1.25h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，说明甲的速度大于乙的速度，
当2h时，甲到达C村，
故②正确；
v甲×1.25﹣v乙×1.25＝10，
解得：v甲﹣v乙＝8，
故甲的速度比乙的速度快8km/h，
故③正确；
当1.25≤t≤2时，函数图象经过点（1.25，0）（2，6），
设一次函数的解析式为s＝kt+b，
代入得：，
解得：，
∴s＝8t﹣10
当s＝4时，得4＝8t﹣10，
解得t＝1.75h
由1.75﹣1.25＝0.5h＝30（min），
同理当2≤t≤2.5时，设函数解析式为s＝kt+b
将点（2，6）（2.5，0）代入得：
，
解得：，
∴s＝﹣12t+30
当s＝4时，得4＝﹣12t+30，
解得t＝，
由﹣1.25＝h＝55min
故相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km，
故④正确．
故选：D．
【点评】此题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，关键是读懂图象，根据图象的数据进行解题．
二、填空题（本大厦共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知一个正数的两个平方根分别是3x﹣2和5x﹣14，则x的值为 2 ．
【分析】根据平方根的性质即可求解．
【解答】解：∵正数有两个平方根，他们互为相反数，
∴3x﹣2+5x﹣14＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．
12．（4分）A（﹣1，y1），B（3，y2）是直线y＝﹣3x+1上的两点，则y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质解决问题亦可）．
【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝﹣3×（﹣1）+1＝4，
当x＝3时，y2＝﹣3×3+1＝﹣8．
∵4＞﹣8，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
13．（4分）三角形的三边长为5cm、12cm、13cm，则它最长边上的高为 cm ．
【分析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出斜边上的高即可．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，
设最长边上的高为hcm，
×5×12＝×13×h，
解得：h＝（cm），
故答案为：cm．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积计算，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
14．（4分）已知直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（2，b），则关于x，y的方程组的解是 ．
【分析】首先利用待定系数法求出b的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝x+1经过点P（2，b），
∴b＝2+1，
解得b＝3，
∴P（2，3），
∴关于x，y的方程组的解是，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
15．（4分）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k|﹣1﹣7y＝8是二元一次方程，则k＝ ﹣2 ．
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，解题的关键是熟悉掌握二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程．
16．（4分）已知平面直角坐标系中有M（m﹣1，2m+3），N（5，﹣1）两点，且MN∥y轴，则点M的坐标为 （5，15） ．
【分析】根据MN∥y轴得出点M与点N的横坐标相等，建立等式可求出m的值，由此即可得．
【解答】解：∵MN∥y轴，N（5，﹣1），
∴点M与点N的横坐标相等，即为5，
则m﹣1＝5，
解得m＝6，
∴2m+3＝15，
故点M的坐标为M（5，15）；
故答案为：（5，15）．
【点评】本题考查了点坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点坐标的特征是解题关键．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为 ﹣21010 ．
【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点B2020的坐标，从而确定其纵坐标．
【解答】解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB＝，
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1＝2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知OB2＝2，
∴B2点坐标为（﹣2，2），
同理可知OB3＝4，B3点坐标为（﹣4，0），
B4点坐标为（﹣4，﹣4），B5点坐标为（0，﹣8），
B6（8，﹣8），B7（16，0），
B8（16，16），B9（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2020÷8＝252…4，
∴B2020的横纵坐标符号与点B4相同，横纵坐标相同，且都在第三象限，
∴B2020的纵坐标为﹣21010．
故答案为：﹣21010．
【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2021）0++（﹣）﹣1．
【分析】先计算二次根式、零次幂、负整数指数幂和绝对值，再计算加减．
【解答】解：|﹣2|﹣（π﹣2021）0++（﹣）﹣1
＝2﹣1+3﹣3
＝1．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
19．（6分）解方程组．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×2﹣②得：3y＝15，
解得：y＝5，
把y＝5代入①得：x＝，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，AD＝1，且∠B＝90°．试求：
（1）∠BAD的度数．
（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）
【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，进而可求出∠BAD的度数；
（2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△，再根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论．
【解答】解：（1）连接AC，
∵AB＝BC＝1，∠B＝90°
∴AC＝
又∵AD＝1，DC＝
∴（）2＝12+（）2
即CD2＝AD2+AC2
∴∠DAC＝90°
∵AB＝BC＝1
∴∠BAC＝∠BCA＝45°
∴∠BAD＝135°；
（2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝1×1×+1××
＝+．
【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）某校八年级的一次数学小测试由20道选择题构成，每题5分，共100分，为了了解本次测试中同学们的成绩情况，某调查小组从中随机调查了都分同学，并根据调在结果绘制了如下尚不完整的统计图，如图，请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为 50 人，该次测试成绩的中位数是 90 分，众数为 95 分；
（2）补全条形统计图；
（3）若测试成绩80分或80分以上为“优秀”，则估计该校九年级800名学生中，本次测试成绩达到“优秀”的人数是多少？
【分析】（1）根据得分80分的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，根据条形统计图中的数据，可以得到中位数和得分为85分的人数，从而可以得到众数；
（2）根据（3）中85分的人数，可以将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出本次测试成绩达到“优秀”的人数是多少．
【解答】解：（1）本次调查的学生有：5÷10%＝50（人）；
∵3+18＝21，21+12＝33，
∴这组数据的中位数是（90+90）÷2＝90（分）；
85分的学生有50﹣（2+5+12+18+3）＝10（人），
故这组数据的众数是95分；
故答案为：50；90；95；
（2）由（1）知，85分的学生有10人，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）800×＝768（人），
即该校九年级800名学生中，本次测试成绩达到“优秀”的人数是768人．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，掌握数形结合的思想解答是关键．
22．（8分）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究∠ADB与∠A、∠B、∠C的数量关系并给出证明；
（2）模型应用：如图2，DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，∠A＝24°，∠B＝66°，请直接写出∠E的度数．
【分析】（1）连接CD并延长，利用三角形的外角性质可得∠ADE＝∠A+∠ACE，∠BDE＝∠B+∠BCE，再结合∠ADB＝∠ADE+∠BDE，从而可求解；
（2）利用（1）中的结论可得∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB，∠ADE＝∠A+∠E+∠ACE，再结合角平分线的定义可得：∠ADE＝∠ADB，∠ACE＝∠ACB，从而可求解．
【解答】解：（1）∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB，
证明：连接CD并延长，如图，
由三角形的外角性质可得：
∠ADE＝∠A+∠ACE，∠BDE＝∠B+∠BCE，
∵∠ADB＝∠ADE+∠BDE，
∴∠ADB＝∠A+∠ACE+∠B+∠BCE，
则∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB；
（2）由（1）可得：∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB，∠ADE＝∠A+∠E+∠ACE，
∵DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，
∴∠ADE＝∠ADB，∠ACE＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠A+∠E+∠ACB，
即∠ADB＝2∠A+2∠E+∠ACB，
∴∠A+∠B+∠ACB＝2∠A+2∠E+∠ACB，
整理得：∠E＝（∠B﹣∠A），
∵∠A＝24°，∠B＝66°，
∴∠E＝×（66°﹣24°）＝21°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
23．（8分）疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”用29000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲，乙两种口罩的售价分别是30元/盒，35元/盒．
（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
（2）现已知甲，乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？
【分析】（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，根据总价＝单价×数量，结合用29000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种口罩购进数量；
（2）利用购进口罩的总数量＝每盒的个数×购进数量，可求出购进口罩的总数量，利用市教育局的要求数＝2×该校师生人数×10，可求出学校需要口罩的总数量，比较后即可得出购买的口罩数量能满足市教育局的要求．
【解答】解：（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，
依题意得：，
解得：．
答：甲种口罩购进了500盒，乙种口罩购进了400盒．
（2）20×500+25×400＝10000+10000＝20000（个），
2×900×10＝18000（个）．
∵20000＞18000，
∴购买的口罩数量能满足市教育局的要求．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）利用购进口罩的总数量＝每盒的个数×购进数量，求出购进口罩的总数量．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在长力形纸片ABCD中，AB＝18，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点正处，AE交DC于点F，若AF＝13，连接DE．
（1）AD的长为 12 ；
（2）求△DEF的面积；
（3）试问DE与AC的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）由折叠得：∠EAC＝∠BAC，AE＝AB＝18，根据平行线性质得：AF＝FC＝13，再求出EF＝5，利用勾股定理求出EC的长，即AD的长；
（2）过点E作EM⊥CD于点M，在△CEF中，由三角形的面积公式求得EM，再根据三角形的面积公式便可求得结果；
（3）根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理得∠FDE＝∠FCA，进而得DE∥AC便可．
【解答】解：（1）由折叠得：∠EAC＝∠BAC，AE＝AB＝18，
∵四边形ABCD为长方形，
∴DC∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DCA，
∴FC＝AF＝13，
∵AB＝18，AF＝13，
∴EF＝18﹣13＝5，
∵∠E＝∠B＝90°，
∴EC＝＝12，
∵AD＝BC＝EC，
∴AD＝12，
故答案为：12；
（2）过点E作EM⊥CD于点M，
由折叠性质知，CE＝BC＝AD＝12，AE＝AB＝18，∠CEF＝∠B＝90°，
∴EF＝AE﹣AF＝A8﹣13＝5，
∵，
∴EM＝，
∴；
（3）DE∥AC，理由如下：
∵DF＝EF＝5，AF＝CF，
∴∠FDE＝∠FED，∠FAC＝∠FCA，
∵∠DFE＝∠CFA，∠DFE+∠EDF+∠FED＝∠AFC+∠FAC+∠FCA＝180°，
∴∠FDE＝∠FCA，
∴DE∥AC．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积公式，关键是综合应用这些知识解题．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点A、B，直线x＝﹣1与直线AB交于点D，直线l过点A，与y轴交于点C，点C的纵坐标是﹣．
（1）求直线AC的解析式；
（2）在直线l上是否存在点P，点P在直线x＝﹣1的左侧，使得S△ABC＝S△PDB，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，点Q是线段PD的动点，过点Q作QM∥x轴，交直线AB与点M，在x轴上是否存在点N，使得△QMN为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由y＝﹣x+3得A（3，0），B（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx﹣，用待定系数法即得直线AC的解析式为y＝x﹣；
（2）设PB交直线x＝﹣1于E，S△ABC＝BC•OA＝，由y＝﹣x+3得D（﹣1，4），设P（m，m﹣），直线PB为y＝k'x+3，可得直线PB为y＝x+3，即可得DE＝，根据S△ABC＝S△PDB，得××（﹣m）＝，即可解得P（﹣6，﹣）；
（3）由P（﹣6，﹣），D（﹣1，4）得直线PD解析式为y＝x+，设Q（t，t+）可得M（﹣t﹣，t+），QM＝﹣t﹣﹣t＝﹣，①当Q为直角顶点时，﹣＝t+，解得N（﹣，0）；②当M为直角顶点时，﹣＝t+，解得N（，0）；③当N为直角顶点时，过N作NH⊥QM，﹣＝2×（t+），解得Q（﹣，），即得QH＝NH＝，可得N（﹣，0）．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，3），
∵点C的纵坐标是﹣，
∴C（0，﹣），
设直线AC的解析式为y＝kx﹣，把A（3，0）代入得：
0＝3k﹣，解得k＝，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣；
（2）在直线l上存在点P，使得S△ABC＝S△PDB，
设PB交直线x＝﹣1于E，如图：
∵A（3，0），B（0，3），C（0，﹣），
∴S△ABC＝BC•OA＝×（3+）×3＝，
在y＝﹣x+3中，令x＝﹣1得y＝4，
∴D（﹣1，4），
设P（m，m﹣），直线PB为y＝k'x+3，
则m﹣＝k'm+3，解得k'＝，
∴直线PB为y＝x+3，
令x＝﹣1得y＝，
∴E（﹣1，），
∴DE＝4﹣＝，
∵S△ABC＝S△PDB，
∴DE•|xB﹣xP|＝，即××（﹣m）＝，
解得m＝﹣6，
∴P（﹣6，﹣）；
（3）在x轴上存在点N，使得△QMN为等腰直角三角形，
由P（﹣6，﹣），D（﹣1，4）得直线PD解析式为y＝x+，
设Q（t，t+），
∵QM∥x轴，M在AB上，
∴在y＝﹣x+3中令y＝t+，得x＝﹣t﹣，
∴M（﹣t﹣，t+），
∴QM＝﹣t﹣﹣t＝﹣，
①当Q为直角顶点时，如图：
∵QM＝QN，
∴﹣＝t+，
解得t＝﹣，
∴N（﹣，0）；
②当M为直角顶点时，如图：
∵QM＝MN，
∴﹣＝t+，
解得t＝﹣，
∴N（，0）；
③当N为直角顶点时，过N作NH⊥QM，如图：
∵QM＝2NH，
∴﹣＝2×（t+），
解得t＝﹣，
∴Q（﹣，），
∴QH＝NH＝，
∴ON＝﹣＝，
∴N（﹣，0）；
综上所述，N的坐标为：（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．、
2021-2022学年广东省河源市源城区广赋创新学校八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1．（3分）下列实数中是无理数的是（ ）
A．﹣2020 B． C．0.3333333 D．
2．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点M（1，﹣2）在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
4．（3分）下列数组不能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，， D．2，3，4
5．（3分）下列四个命题中，真命题的是（ ）
A．三角形中至少有两个锐角
B．内错角相等
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．两直线平行，同旁内角相等
6．（3分）将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2（x﹣4） B．y＝﹣2x+4 C．y＝﹣2（x+4） D．y＝﹣2x﹣4
7．（3分）直线l上有三个正方形A、B、C放置如图所示，若正方形A、C的面积分别为1和12，则正方形B的面积为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．
8．（3分）小明在数学课上，将文具盒中的直角三角板与一直尺放置如图，若测得∠AEF＝50°，那么∠BDA＝（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
9．（3分）一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处玩耍的身高为1m的小明（ ）
A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断
10．（3分）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大厦共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知一个正数的两个平方根分别是3x﹣2和5x﹣14，则x的值为 ．
12．（4分）A（﹣1，y1），B（3，y2）是直线y＝﹣3x+1上的两点，则y1 y2（填“＞”或“＜”）．
13．（4分）三角形的三边长为5cm、12cm、13cm，则它最长边上的高为 ．
14．（4分）已知直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（2，b），则关于x，y的方程组的解是 ．
15．（4分）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k|﹣1﹣7y＝8是二元一次方程，则k＝ ．
16．（4分）已知平面直角坐标系中有M（m﹣1，2m+3），N（5，﹣1）两点，且MN∥y轴，则点M的坐标为 ．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为 ．
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2021）0++（﹣）﹣1．
19．（6分）解方程组．
20．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，AD＝1，且∠B＝90°．试求：
（1）∠BAD的度数．
（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）某校八年级的一次数学小测试由20道选择题构成，每题5分，共100分，为了了解本次测试中同学们的成绩情况，某调查小组从中随机调查了都分同学，并根据调在结果绘制了如下尚不完整的统计图，如图，请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为 人，该次测试成绩的中位数是 分，众数为 分；
（2）补全条形统计图；
（3）若测试成绩80分或80分以上为“优秀”，则估计该校九年级800名学生中，本次测试成绩达到“优秀”的人数是多少？
22．（8分）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究∠ADB与∠A、∠B、∠C的数量关系并给出证明；
（2）模型应用：如图2，DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，∠A＝24°，∠B＝66°，请直接写出∠E的度数．
23．（8分）疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”用29000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲，乙两种口罩的售价分别是30元/盒，35元/盒．
（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
（2）现已知甲，乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在长力形纸片ABCD中，AB＝18，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点正处，AE交DC于点F，若AF＝13，连接DE．
（1）AD的长为 ；
（2）求△DEF的面积；
（3）试问DE与AC的位置关系，并说明理由．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点A、B，直线x＝﹣1与直线AB交于点D，直线l过点A，与y轴交于点C，点C的纵坐标是﹣．
（1）求直线AC的解析式；
（2）在直线l上是否存在点P，点P在直线x＝﹣1的左侧，使得S△ABC＝S△PDB，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，点Q是线段PD的动点，过点Q作QM∥x轴，交直线AB与点M，在x轴上是否存在点N，使得△QMN为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
2021-2022学年广东省河源市源城区广赋创新学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1．（3分）下列实数中是无理数的是（ ）
A．﹣2020 B． C．0.3333333 D．
【分析】无理数包括三方面的数：①含π的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数，根据以上内容判断即可．
【解答】解：A．﹣2020是整数，属于有理数；
B.是无理数；
C.0.333333是有限小数，属于有理数；
D.是分数，属于有理数．
故选：B．
【点评】本题考查了对无理数的定义的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数．
2．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项不符合题意；
B、原式＝9＝9，所以B选项不符合题意；
C、原式＝＝3，所以C选项符合题意；
D、原式＝3，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法运算是解决问题的关键．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点M（1，﹣2）在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【分析】横坐标是正数，纵坐标是负数，是点在第四象限的条件．
【解答】解：∵1＞0，﹣2＜0，∴点M（1，﹣2）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，
4．（3分）下列数组不能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．1，， D．2，3，4
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、32+42＝52，能组成直角三角形，不符合题意；
B、52+122＝132，能组成直角三角形，不符合题意；
C、12+（）2＝（）2，能组成直角三角形，不符合题意；
D、22+32≠42，不能组成直角三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5．（3分）下列四个命题中，真命题的是（ ）
A．三角形中至少有两个锐角
B．内错角相等
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．两直线平行，同旁内角相等
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；
B、两直线平行，内错角相等，是假命题；
C、三角形的一个外角不一定大于任何一个内角，是假命题；
D、两直线平行，同旁内角互补，是假命题；
故选：A．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（3分）将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣2（x﹣4） B．y＝﹣2x+4 C．y＝﹣2（x+4） D．y＝﹣2x﹣4
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答．
【解答】解：由上加下减”的原则可知，将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为：y＝﹣2x﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）直线l上有三个正方形A、B、C放置如图所示，若正方形A、C的面积分别为1和12，则正方形B的面积为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．
【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠EDF＝∠GFH，由AAS证明△DEF≌△FGH，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【解答】解：如图，
∵A、B、C都是正方形，
∴DF＝FH，∠DFH＝90°；
∵∠DFE+∠GFH＝∠EDF+∠DFE＝90°，
∴∠EDF＝∠GFH，
在△DEF和△FGH中，，
∴△DEF≌△FGH（AAS），
∴DE＝FG，EF＝HG；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：DF2＝DE2+EF2＝DE2+HG2，
即SB＝SA+SC＝1+12＝13，
故选：C．
【点评】此题主要考查对全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识；关键是证明△DEF≌△FGH．
8．（3分）小明在数学课上，将文具盒中的直角三角板与一直尺放置如图，若测得∠AEF＝50°，那么∠BDA＝（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
【分析】先根据∠AEF＝50°，得出∠BCA＝50°，再根据DC∥EF，即可得到∠BAC＝50°，最后根据∠B＝30°，即可得出∠BDA的大小．
【解答】解：由图可得，∠AEF＝50°，
又∵DC∥EF，
∴∠BAC＝50°，
∵∠B＝30°，
∴∠BDA＝50°﹣30°＝20°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
9．（3分）一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处玩耍的身高为1m的小明（ ）
A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断
【分析】由勾股定理求出BC＝4＞3.9，即可得出结论．
【解答】解：如图所示：
AB＝9﹣4＝5，AC＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：BC＝＝4＞3.9，
∴此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明有危险，
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．
10．（3分）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】根据图象与纵轴的交点可得出A、B两地的距离，而s＝0时，即为甲、乙相遇的时候，同理根据图象的拐点情况解答即可．
【解答】解：由图象可知A村、B村相离10km，
故①正确，
当1.25h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，说明甲的速度大于乙的速度，
当2h时，甲到达C村，
故②正确；
v甲×1.25﹣v乙×1.25＝10，
解得：v甲﹣v乙＝8，
故甲的速度比乙的速度快8km/h，
故③正确；
当1.25≤t≤2时，函数图象经过点（1.25，0）（2，6），
设一次函数的解析式为s＝kt+b，
代入得：，
解得：，
∴s＝8t﹣10
当s＝4时，得4＝8t﹣10，
解得t＝1.75h
由1.75﹣1.25＝0.5h＝30（min），
同理当2≤t≤2.5时，设函数解析式为s＝kt+b
将点（2，6）（2.5，0）代入得：
，
解得：，
∴s＝﹣12t+30
当s＝4时，得4＝﹣12t+30，
解得t＝，
由﹣1.25＝h＝55min
故相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km，
故④正确．
故选：D．
【点评】此题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，关键是读懂图象，根据图象的数据进行解题．
二、填空题（本大厦共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知一个正数的两个平方根分别是3x﹣2和5x﹣14，则x的值为 2 ．
【分析】根据平方根的性质即可求解．
【解答】解：∵正数有两个平方根，他们互为相反数，
∴3x﹣2+5x﹣14＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．
12．（4分）A（﹣1，y1），B（3，y2）是直线y＝﹣3x+1上的两点，则y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论（利用一次函数的性质解决问题亦可）．
【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝﹣3×（﹣1）+1＝4，
当x＝3时，y2＝﹣3×3+1＝﹣8．
∵4＞﹣8，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
13．（4分）三角形的三边长为5cm、12cm、13cm，则它最长边上的高为 cm ．
【分析】首先根据三角形的三边长证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算出斜边上的高即可．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，
设最长边上的高为hcm，
×5×12＝×13×h，
解得：h＝（cm），
故答案为：cm．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积计算，关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
14．（4分）已知直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（2，b），则关于x，y的方程组的解是 ．
【分析】首先利用待定系数法求出b的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝x+1经过点P（2，b），
∴b＝2+1，
解得b＝3，
∴P（2，3），
∴关于x，y的方程组的解是，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解．
15．（4分）若关于x，y的方程（k﹣2）x|k|﹣1﹣7y＝8是二元一次方程，则k＝ ﹣2 ．
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，解题的关键是熟悉掌握二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程．
16．（4分）已知平面直角坐标系中有M（m﹣1，2m+3），N（5，﹣1）两点，且MN∥y轴，则点M的坐标为 （5，15） ．
【分析】根据MN∥y轴得出点M与点N的横坐标相等，建立等式可求出m的值，由此即可得．
【解答】解：∵MN∥y轴，N（5，﹣1），
∴点M与点N的横坐标相等，即为5，
则m﹣1＝5，
解得m＝6，
∴2m+3＝15，
故点M的坐标为M（5，15）；
故答案为：（5，15）．
【点评】本题考查了点坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点坐标的特征是解题关键．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2020的纵坐标为 ﹣21010 ．
【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点B2020的坐标，从而确定其纵坐标．
【解答】解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB＝，
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1＝2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知OB2＝2，
∴B2点坐标为（﹣2，2），
同理可知OB3＝4，B3点坐标为（﹣4，0），
B4点坐标为（﹣4，﹣4），B5点坐标为（0，﹣8），
B6（8，﹣8），B7（16，0），
B8（16，16），B9（0，32），
由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2020÷8＝252…4，
∴B2020的横纵坐标符号与点B4相同，横纵坐标相同，且都在第三象限，
∴B2020的纵坐标为﹣21010．
故答案为：﹣21010．
【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2021）0++（﹣）﹣1．
【分析】先计算二次根式、零次幂、负整数指数幂和绝对值，再计算加减．
【解答】解：|﹣2|﹣（π﹣2021）0++（﹣）﹣1
＝2﹣1+3﹣3
＝1．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
19．（6分）解方程组．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×2﹣②得：3y＝15，
解得：y＝5，
把y＝5代入①得：x＝，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．（6分）已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，AD＝1，且∠B＝90°．试求：
（1）∠BAD的度数．
（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）
【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，进而可求出∠BAD的度数；
（2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△，再根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论．
【解答】解：（1）连接AC，
∵AB＝BC＝1，∠B＝90°
∴AC＝
又∵AD＝1，DC＝
∴（）2＝12+（）2
即CD2＝AD2+AC2
∴∠DAC＝90°
∵AB＝BC＝1
∴∠BAC＝∠BCA＝45°
∴∠BAD＝135°；
（2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝1×1×+1××
＝+．
【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）某校八年级的一次数学小测试由20道选择题构成，每题5分，共100分，为了了解本次测试中同学们的成绩情况，某调查小组从中随机调查了都分同学，并根据调在结果绘制了如下尚不完整的统计图，如图，请根据以上信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为 50 人，该次测试成绩的中位数是 90 分，众数为 95 分；
（2）补全条形统计图；
（3）若测试成绩80分或80分以上为“优秀”，则估计该校九年级800名学生中，本次测试成绩达到“优秀”的人数是多少？
【分析】（1）根据得分80分的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，根据条形统计图中的数据，可以得到中位数和得分为85分的人数，从而可以得到众数；
（2）根据（3）中85分的人数，可以将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出本次测试成绩达到“优秀”的人数是多少．
【解答】解：（1）本次调查的学生有：5÷10%＝50（人）；
∵3+18＝21，21+12＝33，
∴这组数据的中位数是（90+90）÷2＝90（分）；
85分的学生有50﹣（2+5+12+18+3）＝10（人），
故这组数据的众数是95分；
故答案为：50；90；95；
（2）由（1）知，85分的学生有10人，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）800×＝768（人），
即该校九年级800名学生中，本次测试成绩达到“优秀”的人数是768人．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，掌握数形结合的思想解答是关键．
22．（8分）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究∠ADB与∠A、∠B、∠C的数量关系并给出证明；
（2）模型应用：如图2，DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，∠A＝24°，∠B＝66°，请直接写出∠E的度数．
【分析】（1）连接CD并延长，利用三角形的外角性质可得∠ADE＝∠A+∠ACE，∠BDE＝∠B+∠BCE，再结合∠ADB＝∠ADE+∠BDE，从而可求解；
（2）利用（1）中的结论可得∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB，∠ADE＝∠A+∠E+∠ACE，再结合角平分线的定义可得：∠ADE＝∠ADB，∠ACE＝∠ACB，从而可求解．
【解答】解：（1）∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB，
证明：连接CD并延长，如图，
由三角形的外角性质可得：
∠ADE＝∠A+∠ACE，∠BDE＝∠B+∠BCE，
∵∠ADB＝∠ADE+∠BDE，
∴∠ADB＝∠A+∠ACE+∠B+∠BCE，
则∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB；
（2）由（1）可得：∠ADB＝∠A+∠B+∠ACB，∠ADE＝∠A+∠E+∠ACE，
∵DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，
∴∠ADE＝∠ADB，∠ACE＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠A+∠E+∠ACB，
即∠ADB＝2∠A+2∠E+∠ACB，
∴∠A+∠B+∠ACB＝2∠A+2∠E+∠ACB，
整理得：∠E＝（∠B﹣∠A），
∵∠A＝24°，∠B＝66°，
∴∠E＝×（66°﹣24°）＝21°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
23．（8分）疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”用29000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲，乙两种口罩的售价分别是30元/盒，35元/盒．
（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？
（2）现已知甲，乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？
【分析】（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，根据总价＝单价×数量，结合用29000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种口罩购进数量；
（2）利用购进口罩的总数量＝每盒的个数×购进数量，可求出购进口罩的总数量，利用市教育局的要求数＝2×该校师生人数×10，可求出学校需要口罩的总数量，比较后即可得出购买的口罩数量能满足市教育局的要求．
【解答】解：（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，
依题意得：，
解得：．
答：甲种口罩购进了500盒，乙种口罩购进了400盒．
（2）20×500+25×400＝10000+10000＝20000（个），
2×900×10＝18000（个）．
∵20000＞18000，
∴购买的口罩数量能满足市教育局的要求．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）利用购进口罩的总数量＝每盒的个数×购进数量，求出购进口罩的总数量．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，在长力形纸片ABCD中，AB＝18，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点正处，AE交DC于点F，若AF＝13，连接DE．
（1）AD的长为 12 ；
（2）求△DEF的面积；
（3）试问DE与AC的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）由折叠得：∠EAC＝∠BAC，AE＝AB＝18，根据平行线性质得：AF＝FC＝13，再求出EF＝5，利用勾股定理求出EC的长，即AD的长；
（2）过点E作EM⊥CD于点M，在△CEF中，由三角形的面积公式求得EM，再根据三角形的面积公式便可求得结果；
（3）根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理得∠FDE＝∠FCA，进而得DE∥AC便可．
【解答】解：（1）由折叠得：∠EAC＝∠BAC，AE＝AB＝18，
∵四边形ABCD为长方形，
∴DC∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DCA，
∴FC＝AF＝13，
∵AB＝18，AF＝13，
∴EF＝18﹣13＝5，
∵∠E＝∠B＝90°，
∴EC＝＝12，
∵AD＝BC＝EC，
∴AD＝12，
故答案为：12；
（2）过点E作EM⊥CD于点M，
由折叠性质知，CE＝BC＝AD＝12，AE＝AB＝18，∠CEF＝∠B＝90°，
∴EF＝AE﹣AF＝A8﹣13＝5，
∵，
∴EM＝，
∴；
（3）DE∥AC，理由如下：
∵DF＝EF＝5，AF＝CF，
∴∠FDE＝∠FED，∠FAC＝∠FCA，
∵∠DFE＝∠CFA，∠DFE+∠EDF+∠FED＝∠AFC+∠FAC+∠FCA＝180°，
∴∠FDE＝∠FCA，
∴DE∥AC．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积公式，关键是综合应用这些知识解题．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+3，与x轴，y轴交于点A、B，直线x＝﹣1与直线AB交于点D，直线l过点A，与y轴交于点C，点C的纵坐标是﹣．
（1）求直线AC的解析式；
（2）在直线l上是否存在点P，点P在直线x＝﹣1的左侧，使得S△ABC＝S△PDB，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，点Q是线段PD的动点，过点Q作QM∥x轴，交直线AB与点M，在x轴上是否存在点N，使得△QMN为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由y＝﹣x+3得A（3，0），B（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx﹣，用待定系数法即得直线AC的解析式为y＝x﹣；
（2）设PB交直线x＝﹣1于E，S△ABC＝BC•OA＝，由y＝﹣x+3得D（﹣1，4），设P（m，m﹣），直线PB为y＝k'x+3，可得直线PB为y＝x+3，即可得DE＝，根据S△ABC＝S△PDB，得××（﹣m）＝，即可解得P（﹣6，﹣）；
（3）由P（﹣6，﹣），D（﹣1，4）得直线PD解析式为y＝x+，设Q（t，t+）可得M（﹣t﹣，t+），QM＝﹣t﹣﹣t＝﹣，①当Q为直角顶点时，﹣＝t+，解得N（﹣，0）；②当M为直角顶点时，﹣＝t+，解得N（，0）；③当N为直角顶点时，过N作NH⊥QM，﹣＝2×（t+），解得Q（﹣，），即得QH＝NH＝，可得N（﹣，0）．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，3），
∵点C的纵坐标是﹣，
∴C（0，﹣），
设直线AC的解析式为y＝kx﹣，把A（3，0）代入得：
0＝3k﹣，解得k＝，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣；
（2）在直线l上存在点P，使得S△ABC＝S△PDB，
设PB交直线x＝﹣1于E，如图：
∵A（3，0），B（0，3），C（0，﹣），
∴S△ABC＝BC•OA＝×（3+）×3＝，
在y＝﹣x+3中，令x＝﹣1得y＝4，
∴D（﹣1，4），
设P（m，m﹣），直线PB为y＝k'x+3，
则m﹣＝k'm+3，解得k'＝，
∴直线PB为y＝x+3，
令x＝﹣1得y＝，
∴E（﹣1，），
∴DE＝4﹣＝，
∵S△ABC＝S△PDB，
∴DE•|xB﹣xP|＝，即××（﹣m）＝，
解得m＝﹣6，
∴P（﹣6，﹣）；
（3）在x轴上存在点N，使得△QMN为等腰直角三角形，
由P（﹣6，﹣），D（﹣1，4）得直线PD解析式为y＝x+，
设Q（t，t+），
∵QM∥x轴，M在AB上，
∴在y＝﹣x+3中令y＝t+，得x＝﹣t﹣，
∴M（﹣t﹣，t+），
∴QM＝﹣t﹣﹣t＝﹣，
①当Q为直角顶点时，如图：
∵QM＝QN，
∴﹣＝t+，
解得t＝﹣，
∴N（﹣，0）；
②当M为直角顶点时，如图：
∵QM＝MN，
∴﹣＝t+，
解得t＝﹣，
∴N（，0）；
③当N为直角顶点时，过N作NH⊥QM，如图：
∵QM＝2NH，
∴﹣＝2×（t+），
解得t＝﹣，
∴Q（﹣，），
∴QH＝NH＝，
∴ON＝﹣＝，
∴N（﹣，0）；
综上所述，N的坐标为：（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．、
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