重庆市铜梁实验中学2021-2022学年八年级上学期段考数学试卷（含答案）

这是一份重庆市铜梁实验中学2021-2022学年八年级上学期段考数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市铜梁实验中学八年级（上）段考数学试卷
一、选择题（每题3分，共12分）
1．（3分）估计的值应该在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
2．（3分）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴于点M．若C点坐标为（﹣3，﹣4），则B点坐标为（　　）

A．（5，0） B．（6，0） C．（7，0） D．（8，0）
4．（3分）在平面直角坐标系中，在第二象限内的点P（a﹣5，7）到x轴的距离大于到y轴的距离，且关于x的不等式组有且只有两个奇数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．5 B．9 C．14 D．20
二、填空题（每题3分，共12分）
5．（3分）如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝　 　，根据　 　可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD＝　 　．

6．（3分）如图，已知△ABE≌△ACF，∠E＝∠F＝90°，∠CMD＝70°，则∠2＝　 　度．

7．（3分）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F．若∠AEF＝40°，则∠EAF＝　 　°．

8．（3分）一次自助餐聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在有的成人各带一个孩子，总共收了2160元，根据报名情况，参加聚会的男宾比女宾多．请问这个活动共有 　 　人参加．
三、计算题（每题3分，共6分）
9．（6分）（1）．
（2）．
四、解答题（每题10分，共20分）
10．（10分）一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前
的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357＝26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．
（1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．
（2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．
①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除．
②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．
11．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，过点C作CM⊥AB交AD于点E，且点E为AD的中点，连接MD，过点D作ND⊥MD交CM于点N．
（1）若∠B＝60°，求∠ACM的度数；
（2）猜想：△DMN是否是等腰直角三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．
（3）求证：NE＝ME+AM．


2021-2022学年重庆市铜梁实验中学八年级（上）段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共12分）
1．（3分）估计的值应该在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【分析】估算出的值即可判断．
【解答】解：∵25＜29＜36，
∴5＜＜6，
∴3＜﹣2＜4，
故选：C．
2．（3分）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA
【分析】首先根据角间的位置及大小关系证明∠BCD＝∠ACE，再根据边角边定理，证明△BCE≌△ACD；由△BCE≌△ACD可得到∠DBC＝∠CAE，再加上条件AC＝BC，∠ACB＝∠ACD＝60°，可证出△BGC≌△AFC，再根据△BCD≌△ACE，可得∠CDB＝∠CEA，再加上条件CE＝CD，∠ACD＝∠DCE＝60°，又可证出△DCG≌△ECF，利用排除法可得到答案．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCA+∠ACD＝∠ECD+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中 ，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
故A成立，
∴∠DBC＝∠CAE，
∵∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠ACD＝60°，
在△BGC和△AFC中，
∴△BGC≌△AFC，
故B成立，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB＝∠CEA，
在△DCG和△ECF中，
∴△DCG≌△ECF，
故C成立，
故选：D．
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴于点M．若C点坐标为（﹣3，﹣4），则B点坐标为（　　）

A．（5，0） B．（6，0） C．（7，0） D．（8，0）
【分析】证明△AMC≌△BOA（AAS），得出CM＝AO＝3，AM＝BO，求出OB的长，则可得出答案．
【解答】解：∵C点坐标为（﹣3，﹣4），
∴CM＝3，OM＝4，
∵∠BOA＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
又∵∠BAC＝∠BAO+∠CAM＝90°，
∴∠ABO＝∠CAM；
∵CM⊥y轴，
∴∠AMC＝∠BOA＝90°，
∵AB＝AC，∠ABO＝∠CAM，
∴△AMC≌△BOA（AAS），
∴CM＝AO＝3，AM＝BO，
∴AM＝OA+OM＝3+4＝7，
∴OB＝7，
∴B（7，0）．
故选：C．
4．（3分）在平面直角坐标系中，在第二象限内的点P（a﹣5，7）到x轴的距离大于到y轴的距离，且关于x的不等式组有且只有两个奇数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．5 B．9 C．14 D．20
【分析】先由第二象限内的点P（a﹣5，7）到x轴的距离大于到y轴的距离，得出﹣（a﹣5）＜7且a﹣5＜0，解之求出a的范围；解两个不等式，结合不等式组有且只有两个奇数解得出关于a的不等式组，解之求出a的另一个范围；两个a的范围相结合确定a的最终范围，从而得出答案．
【解答】解：∵第二象限内的点P（a﹣5，7）到x轴的距离大于到y轴的距离，
∴﹣（a﹣5）＜7，且a﹣5＜0，
解得﹣2＜a＜5，
解不等式≥x﹣1，得：x≤6，
解不等式4x﹣6＞a﹣4，得：x＞，
∵不等式组有且只有两个奇数解，
∴1≤＜3，
解得2≤a＜10，
则2≤a＜5，
∴符合条件的所有整数a的和为2+3+4＝9，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共12分）
5．（3分）如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝　∠COB　，根据　SAS　可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD＝　CB　．

【分析】判定三角形全等，由题中条件，即要利用两边夹一角进行求解，所以找出对应角即可判定其全等，再有全等三角形的性质得出对应边相等．
【解答】解：要判定△AOD≌△COB，有OA＝OC，OD＝OB，所以再加一夹角∠AOD＝∠COB，根据两边夹一角，即可判定其全等，又有全等三角形的性质可得AD＝CB．
故答案为∠COB，SAS，CB．
6．（3分）如图，已知△ABE≌△ACF，∠E＝∠F＝90°，∠CMD＝70°，则∠2＝　20　度．

【分析】△ABE≌△ACF得到∠EAB＝∠FAC从而∠1＝∠2，这样求∠2就可以转化为求∠1，在△AEM中可以利用三角形的内角和定理就可以求出．
【解答】解：∵∠AME＝∠CMD＝70°
∴在△AEM中∠1＝180﹣90﹣70＝20°
∵△ABE≌△ACF，
∴∠EAB＝∠FAC，
即∠1+∠CAB＝∠2+∠CAB，
∴∠2＝∠1＝20°．
故填20．
7．（3分）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F．若∠AEF＝40°，则∠EAF＝　40　°．

【分析】延长AD到点G，使GD＝AD，连结BG，先证明△GBD≌△ACD，得GB＝AC，∠G＝∠EAF，而BE＝AC，则GB＝BE，即可推导出∠EAF＝∠BEG＝∠AEF＝40°．
【解答】解：如图，∵延长AD到点G，使GD＝AD，连结BG，
∵D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
在△GBD和△ACD中，
，
∴△GBD≌△ACD（SAS），
∴GB＝AC，∠G＝∠EAF，
∵BE＝AC，
∴GB＝BE，
∴∠G＝∠BEG，
∴∠EAF＝∠BEG
∵∠BEG＝∠AEF＝40°，
∴∠EAF＝40°，
故答案为：40．

8．（3分）一次自助餐聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在有的成人各带一个孩子，总共收了2160元，根据报名情况，参加聚会的男宾比女宾多．请问这个活动共有 　20　人参加．
【分析】设聚会的男宾为x人，女宾为y人，则孩子有（x+y）人，由题意：每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，总共收了2160元，列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解，即可解决问题．
【解答】解：设聚会的男宾为x人，女宾为y人，则孩子有（x+y）人，
由题意得：130x+100y+（x+y）×60＝2160，
整理得：5x+4y＝72，
∴y＝18﹣x，
∵x、y为正整数，
∴或或，
∵参加聚会的男宾比女宾多．
∴x＞y，
∴，
∴x+y＝15，
∴（x+y）＝×15＝5，
∴x+y+（x+y）＝15+5＝20，
故答案为：20．
三、计算题（每题3分，共6分）
9．（6分）（1）．
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式组的方法可以解答此不等式组；
（2）根据解二元一次方程组的方法可以解答本题．
【解答】解：（1）由不等式x﹣3（x﹣2）≥4，得x≤1，
由不等式x﹣1，得x＜4，
故原不等式组的解集是x≤1．
（2）原方程组化为，
①+②×2得11x＝22，
解得x＝2，
将x＝2代入②得y＝3，
故原方程组的解是．
四、解答题（每题10分，共20分）
10．（10分）一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前
的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357＝26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．
（1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．
（2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．
①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除．
②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．
【分析】（1）根据“十三数”的特征，列出算式求解即可；
（2）①设任意一个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），列式计算可得10a+b，从而求解；
②解法一：可以结合①，101（10a+b）是13的倍数，根据a，b是1﹣9的整数，那么当a取得最大时，是9，对应的b是1，最小的话是a＝1，对应的b＝3，计算差可得结论；
解法二：同理设出这个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），可知101b+9a是13的倍数，分别讨论可得结论．
解法三：可借助于第一小问．4位的间同数可表示为101（10a+b），因其能被13整除，而101不能被13整除，所以10a+b是13的倍数，故10a+b最小为13，最大为91．从而可得结论；也可以从101（10a+b）是13的倍数，所以这样的四位数需是13×101的倍数．故最小为1313，最大为9191．
【解答】（1）解：3253不是“十三数”，254514是“十三数”，理由如下：
∵3﹣253＝﹣250，不能被13整除，
∴3253不是“十三数”，
∵254﹣514＝﹣260，﹣260÷13＝﹣20
∴254514是“十三数”；
（2）①证明：设任意一个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），
∵＝＝＝10a+b，
∵a、b为整数，
∴10a+b是整数，
即任意一个四位“间同数”能被101整除；
②解：解法一：由①可知：这个四位“间同数”表示为101（10a+b），它是13的倍数，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数，
∴当a＝9，b＝1时，最大为9191，
当a＝1，b＝3时，最小为1313，
∴9191﹣1313＝7878；
解法二：设任意一个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），
∵＝，
∵这个四位自然数是“十三数”，
∴101b+9a是13的倍数，
当a＝1，b＝3时，101b+9a＝303+9＝312，312÷13＝24，此时这个四位“间同数”为：1313；
当a＝2，b＝6时，101b+9a＝606+18＝624，624÷13＝48，此时这个四位“间同数”为：2626；
当a＝3，b＝9时，101b+9a＝909+27＝736，936÷13＝72，此时这个四位“间同数”为：3939；
当a＝5，b＝2时，101b+9a＝202+45＝247，247÷13＝19，此时这个四位“间同数”为：5252；
当a＝6，b＝5时，101b+9a＝505+54＝559，559÷13＝43，此时这个四位“间同数”为：6565；
当a＝7，b＝8时，101b+9a＝808+63＝871，871÷13＝67，此时这个四位“间同数”为：7878；
当a＝9，b＝1时，101b+9a＝101+81＝182，182÷13＝14，此时这个四位“间同数”为：9191；
综上可知：这个四位“间同数”最大为9191，最小为1313，
9191﹣1313＝7878，
则满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为7878；
解法三：由①可设4位的间同数可表示为101（10a+b），因其能被13整除，而101不能被13整除，所以10a+b是13的倍数，故10a+b最小为13，最大为91
∴最大值与最小值之差为：101（91﹣13）＝7878．
11．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，过点C作CM⊥AB交AD于点E，且点E为AD的中点，连接MD，过点D作ND⊥MD交CM于点N．
（1）若∠B＝60°，求∠ACM的度数；
（2）猜想：△DMN是否是等腰直角三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．
（3）求证：NE＝ME+AM．

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BCM＝30°，可得结论；
（2）证明△MAD≌△NCD，根据全等三角形的性质得到DM＝DM，根据等腰直角三角形的性定义证明；
（3）作DH⊥MC于H，证明△AME≌△DHE，根据全等三角形的性质得到ME＝EH，AM＝DH，证明即可．
【解答】（1）解：∵CM⊥AB，
∴∠CMB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCM＝90°﹣60°＝30°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACM＝∠ACB﹣∠BCM＝45°﹣30°＝15°；

（2）解：结论：△DMN是等腰直角三角形，
理由：ND⊥MD，AD⊥BC，
∴∠MDN＝∠ADC＝90°，
∴∠MDA＝∠NDC，
∵CM⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AMC＝∠ADC＝90°，又∠AEM＝∠CED，
∴∠MAD＝∠NCD，
在△MAD和△NCD中，
，
∴△MAD≌△NCD（ASA），
∴DM＝DM，
又ND⊥MD，
∴△DMN是等腰直角三角形；

（3）证明：过点D作DH⊥MC于H，
在△AME和△DHE中，
，
∴△AME≌△DHE（AAS），
∴ME＝EH，AM＝DH，
∵△DMN是等腰直角三角形，DH⊥MC，
∴DH＝HN，
∴AM＝HN，
∴EN＝EH+HN＝ME+CN．