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重庆市南岸区南坪中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)
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这是一份重庆市南岸区南坪中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市南岸区南坪中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题12个小题，每小题4分，共48分）
1．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B．﹣0.5 C． D．
2．能使有意义的x的范围是（ ）
A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x≠﹣2 D．x＞﹣2
3．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．，， D．8，15，17
4．下列各式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD＝17，BE＝5，那么AC的长为（ ）
A．12 B．7 C．5 D．13
6．如图，直角三角形ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为﹣1，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于D，若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
8．下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1
B．立方根等于本身的数是0，1或﹣1
C．无理数包括正无理数，0和负无理数
D．﹣4的算术平方根是﹣2
9．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若a是的小数部分，则a（a+8）的值为（ ）
A．1 B．8 C．9 D．13
11．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（ ）
A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm
12．如图，在△ABC中，AC＝1，BC＝，AB＝2，P1……．且AC在直线m上，将△ABC绕点A顺时针旋转到点P1，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，可得到点P3，此时AP3＝3+；…，按此规律继续旋转，直到得到点p2022为止，则AP2022＝（ ）
A． B． C． D．
三.填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．的平方根是 ，﹣27的立方根为 ．
14．已知P（8﹣2m，m+1）点在x轴上，则点P的坐标为 ．
15．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为 ．
三.解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）解方程：（1）9x2﹣729＝0；
（2）64（x﹣1）3+8＝0．
四.解答题（本大题7个小题，每题10分，共70分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（4，﹣2），C（5，3）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（要求：画出三角形，标出相应顶点的字母）
（2）分别写出△A1B1C1三个顶点的坐标，并计算△A1B1C1的面积．
21．（10分）（1）若|2x﹣4|+（y+3）2+＝0，求x﹣2y+z的平方根．
（2）如图，实数a，b，c是数轴上A，B，C三点所对应的数，化简+|c﹣b|﹣+|a+c|．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）
（1）求此四边形的面积．
（2）在坐标轴上，你能否找到一点P，使S△PBC＝50？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
23．（10分）如图1，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高为4米，宽为2.8米，
（1）请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？为什么？
（2）如图2，若通道正中间有一个0.4米宽的隔离带，问一辆宽1.4米高3.9米的车能通过这个通道吗？为什么？
24．（10分）阅读以下材料，解决后续问题：
材料：①我们学习过完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，其中形如a2±2ab+b2
的式子叫完全平方式，有时我们可以通过裂项将一个式子变为完全平方式，
比如：＝＝＝＝+1，
＝＝＝＝﹣1．
②完全平方数：一个自然数能写成一个整数的平方，则称这个自然数为完全平方数，例如64＝82，则64是一个完全平方数．完全平方数有如下因数特征：若N＝ab（a、b为互质的整数）为完全平方数，则a、b均为完全平方数
（1）化简 ①
②
（2）已知m、n均为正整数，设N＝11（m+8n）为完全平方数，且＜33，求m+n的值．
25．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）如图1，试说明BE2+CF2＝EF2；
（2）如图2，若AB＝AC，BE＝12，CF＝5，求△DEF的面积．
2022-2023学年重庆市南岸区南坪中学八年级（上）期中数学试卷（参考答案与详解）
一、选择题（本题12个小题，每小题4分，共48分）
1．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B．﹣0.5 C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：，是整数，属于有理数，故选项A不合题意；
﹣0.5是有限小数，属于有理数，故选项B不合题意；
，是无理数，故选项C符合题意；
是分数，属于有理数，故选项D不合题意．
故选：C．
2．能使有意义的x的范围是（ ）
A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x≠﹣2 D．x＞﹣2
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子有意义，
∴x+2≥0，解得x≥﹣2．
故选：B．
3．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．，， D．8，15，17
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、92+162≠252，能构成直角三角形，符合题意；
B、三边长0.3，0.4，0.5都不是正整数，不是勾股数，不合题意；
C、三边长，，都不是正整数，不是勾股数，不合题意；
D、82+152＝172，不能构成直角三角形，不合题意；
故选：D．
4．下列各式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：选项A中的无意义，故选项A错误，
∵，故选项B错误，
∵，故选项C正确，
∵不能合并为一项，故选项D错误，
故选：C．
5．如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD＝17，BE＝5，那么AC的长为（ ）
A．12 B．7 C．5 D．13
【分析】先根据△BCE等腰直角三角形得出BC的长，进而可得出BD的长，根据△ABD是等腰直角三角形可知AB＝BD，在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AC的长．
【解答】解：∵△BCE等腰直角三角形，BE＝5，
∴BC＝5，
∵CD＝17，
∴DB＝CD﹣BE＝17﹣5＝12，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD＝12，
在Rt△ABC中，
∵AB＝12，BC＝5，
∴AC＝＝＝13．
故选：D．
6．如图，直角三角形ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为﹣1，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于D，若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AD的长，再根据A点表示﹣1，可得D点表示的数．
【解答】解：AC＝＝＝，
则AD＝，
∵A点表示﹣1，
∴D点表示的数为：﹣﹣1，
故选：D．
7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设CD＝DE＝x，在RT△DEB中利用勾股定理解决．
【解答】解：在RT△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
△ADE是由△ACD翻折，
∴AC＝AE＝6，EB＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，
在RT△DEB中，∵DE2+EB2＝DB2，
∴x2+42＝（8﹣x）2
∴x＝3，
∴CD＝3．
解法二：根据S△ABC＝S△ACD+S△ADB，
可得×6×8＝×6×x+×10×x，
解得x＝3．
故选：B．
8．下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1
B．立方根等于本身的数是0，1或﹣1
C．无理数包括正无理数，0和负无理数
D．﹣4的算术平方根是﹣2
【分析】分别根据平方根的定义，立方根的定义，无理数的定义以及算术平方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：A．1的平方根是±1，原说法错误，故本选项不合题意；
B．立方根等于本身的数是0，1或﹣1，说法正确，故本选项符合题意；
C．无理数包括正无理数和负无理数，0是有理数，原说法错误，故本选项不合题意；
D．﹣4没有算术平方根，原说法错误，故本选项不合题意．
故选：B．
9．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；
C、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，
∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
10．若a是的小数部分，则a（a+8）的值为（ ）
A．1 B．8 C．9 D．13
【分析】根据4＜＜5，可得出a＝﹣4，代入求解即可．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴a＝﹣4，
∴a（a+8）
＝（﹣4）（﹣4+8）
＝（﹣4）（+4）
＝17﹣16
＝1．
故选：A．
11．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（ ）
A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：把长方体的侧表面展开得到一个长方形，高6cm，宽＝2+3+2+3＝10cm，AB为对角线．
AB＝＝2cm．
故选：B．
12．如图，在△ABC中，AC＝1，BC＝，AB＝2，P1……．且AC在直线m上，将△ABC绕点A顺时针旋转到点P1，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，可得到点P3，此时AP3＝3+；…，按此规律继续旋转，直到得到点p2022为止，则AP2022＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用题意得AP3＝3+，则易得AP6＝2（3+），AP9＝3（3+），则三角形旋转三次一个循环，一个循环3+，然后由2022＝3×674即可得到AP2022的长度．
【解答】解：∵AP1＝2，AP2＝2+，AP3＝3+，
∴AP6＝2（3+），
AP9＝3（3+），
而2022＝3×674，
∴AP2022＝674（3+）＝2022+674．
故选：B．
三.填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．的平方根是 ±2 ，﹣27的立方根为 ﹣3 ．
【分析】先利用算术平方根的定义得到＝4，然后根据平方根的定义求4的平方根即可；
由于（﹣3）3＝﹣27，根据立方根的定义即可得到﹣27的立方根为﹣3．
【解答】解：∵＝4，
∴的平方根为±2；
∵（﹣3）3＝﹣27，
∴﹣27的立方根为﹣3．
故答案为±2，﹣3．
14．已知P（8﹣2m，m+1）点在x轴上，则点P的坐标为 （10，0） ．
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，然后求解即可．
【解答】解：∵点P（8﹣2m，m+1）在x轴上，
∴m+1＝0，
解得m＝﹣1，
∴8﹣2m＝8+2＝10，
∴点P的坐标为（10，0）．
故答案为：（10，0）．
15．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小是 4+2 ．
【分析】作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于C'，此时△ABC的周长最小，作A'D⊥x轴于D，再利用勾股定理分别求出A'B和AB的长，进而解决问题．
【解答】解：作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于C'，此时△ABC的周长最小，
作A'D⊥x轴于D，
∵A（1，4），
∴A'（﹣1，4），
∴A'D＝4，BD＝4，
∴A'B＝4，
∵A（1，4），B（3，0），
∴AB＝＝2，
∴△ABC的周长最小值为4+2，
故答案为：4+2．
16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为 +或1 ．
【分析】①如图1，当∠B′MC＝90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C＝90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM＝MB′，列方程即可得到结论．
【解答】解：①如图1，
当∠B′MC＝90°，B′与A重合，M是BC的中点，
∴BM＝BC＝+；
②如图2，当∠MB′C＝90°，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形，
∴CM＝MB′，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，
∴BM＝B′M，
∴CM＝BM，
∵BC＝+1，
∴CM+BM＝BM+BM＝+1，
∴BM＝1，
综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为+或1，
故答案为：+或1．
三.解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）计算：．
【分析】分别进行二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂等运算，然后合并．
【解答】解：原式＝4﹣2+1﹣3＝0．
18．（8分）解方程：（1）9x2﹣729＝0；
（2）64（x﹣1）3+8＝0．
【分析】（1）利用方程思想，平方根的定义计算即可；
（2）利用方程思想，立方根的定义计算即可．
【解答】解：（1）9x2﹣729＝0，
9x2＝729，
x2＝81，
x＝±9；
（2）64（x﹣1）3+8＝0，
（x﹣1）3＝﹣，
x﹣1＝﹣，
x＝．
四.解答题（本大题7个小题，每题10分，共70分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用乘法公式化简二次根式，再合并同类二次根式得出答案；
（2）直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2+1﹣（8﹣1）
＝2﹣2+1﹣7
＝﹣2﹣4；
（2）原式＝（20﹣10×+2）÷2
＝（20﹣2+2）÷2
＝20÷2
＝10．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（4，﹣2），C（5，3）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（要求：画出三角形，标出相应顶点的字母）
（2）分别写出△A1B1C1三个顶点的坐标，并计算△A1B1C1的面积．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称的点，然后顺次连接；
（2）根据网格结果写出三个顶点的坐标，进而利用三角形面积公式解答．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）A1（﹣1，0），B1（﹣4，﹣2），C（﹣5，3），
△A1B1C1的面积＝．
21．（10分）（1）若|2x﹣4|+（y+3）2+＝0，求x﹣2y+z的平方根．
（2）如图，实数a，b，c是数轴上A，B，C三点所对应的数，化简+|c﹣b|﹣+|a+c|．
【分析】（1）已知等式为三个非负数的和为0的形式，只有这几个非负数都为0，求x、y、z的值，即可求得x﹣2y+z的值，进一步得出答案；
（2）根据数轴判断a、b、c的正负，然后判断c﹣b、a﹣b、a+c的正负，然后去绝对值，去根号，最后整理即可．
【解答】解：（1）∵|2x﹣4|+（y+3）2+＝0，
∴2x﹣4＝0，y+3＝0，x+y+z＝0，
∴x＝2，y＝﹣3，z＝1，
∴x﹣2y+z＝2+6+1＝9，
∴x﹣2y+z的平方根为±3．
（2）由数轴可知，
b＜a＜0＜c，|c|＞|a|，
∴c﹣b＞0，a﹣b＞0，a+c＞0，
∴+|c﹣b|﹣+|a+c|
＝c+c﹣b﹣（a﹣b）+a+c
＝c+c﹣b﹣a+b+a+c
＝3c．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）
（1）求此四边形的面积．
（2）在坐标轴上，你能否找到一点P，使S△PBC＝50？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）利用分割法，把四边形分割成一个三角形加上一个梯形后再减去一个三角形求面积；
（2）分两种情况：点P在x轴上，点P在y轴上，利用三角形的面积求得答案即可．
【解答】解：（1）如图，
过D，C分别作DE，CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有：
S＝S△AED+S梯形EFCD﹣S△CFB
＝×AE×DE+×（CF+DE）×EF﹣×FC×FB．
＝×2×7+×（7+5）×7﹣×2×5＝44．
故四边形ABCD的面积为44．
（2）当点P在x轴上，设P点坐标为（x，0）；
如图，
S△PBC＝|7﹣x|×5＝50，
解得：x＝﹣13或27，
点P坐标为（﹣13，0），（27，0）；
当点P在y轴上，设P点坐标为（0，y），
∵直线BC的解析式为y＝x﹣，
∴直线BC与y轴的交点为（0，﹣），
①P在直线BC上方时，S△PBC＝（+y）×9﹣（+y）×7＝50，解得：y＝
点P坐标为（0，）
②P在直线BC下方时，可得（﹣﹣y）×9﹣（﹣﹣y）×7＝50，
解得y＝﹣，
∴点P坐标（0，﹣）．
综上所知：点P坐标为P1（﹣13，0），P2（27，0），P3（0，），P4（0，﹣）．
23．（10分）如图1，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高为4米，宽为2.8米，
（1）请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？为什么？
（2）如图2，若通道正中间有一个0.4米宽的隔离带，问一辆宽1.4米高3.9米的车能通过这个通道吗？为什么？
【分析】（1）作弦EF∥AD，OH⊥EF于H，连接OF，在直角△OFH中，根据三角函数就可以求出OH，求出隧道的高．就可以判断；
（2）同理求得HF和HM，然后求得MF后与1.4米比较即可．
【解答】解：（1）如图，设半圆O的半径为R，则R＝2，
作弦EF∥AD，且EF＝2.8，OH⊥EF于H，
连接OF，（2分）
由OH⊥EF，得HF＝1.4，（3分）
又OH＝＝＞＝1.4，
∴此时隧道的高AB+OH＞2.6+1.4＝4（米），
∴这辆卡车能通过此隧道；
（2）当车高3.9米时，OH＝3.9﹣2.6＝1.3米，
此时HF＝＝米，
∵通道正中间有一个0.4米宽的隔离带，
∴HM＝0.2米，
∴MF＝HF﹣HM＜1.4米，
∴不能通过．
24．（10分）阅读以下材料，解决后续问题：
材料：①我们学习过完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，其中形如a2±2ab+b2
的式子叫完全平方式，有时我们可以通过裂项将一个式子变为完全平方式，
比如：＝＝＝＝+1，
＝＝＝＝﹣1．
②完全平方数：一个自然数能写成一个整数的平方，则称这个自然数为完全平方数，例如64＝82，则64是一个完全平方数．完全平方数有如下因数特征：若N＝ab（a、b为互质的整数）为完全平方数，则a、b均为完全平方数
（1）化简 ①
②
（2）已知m、n均为正整数，设N＝11（m+8n）为完全平方数，且＜33，求m+n的值．
【分析】（1）仿照材料中的例子即可得出结论；
（2）先求出N的范围，进而确定出m+8n＝11或44，再分类利用m，n为正整数求出m，n的值，即可得出结论
【解答】解：（1）①＝＝＝＝+1；
②＝＝＝＝＝2﹣；
（2）∵＜33，
∴0≤N＜332，
∵N＝11（m+8n）为完全平方数，
∴N＝112或N＝112×22，
当N＝112时，m+8n＝11，
∴n＝，
∵m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1，
∴m+n＝4；
当N＝112×22时，m+8n＝44，
∴n＝，
∵m、n均为正整数，
∴m＝36，n＝1或m＝28，n＝2或m＝20，n＝3或m＝12，n＝4或m＝4，n＝5，
∴m+n＝37或30或23或16或9，
即：m+n的值为4或9或16或23或30或37．
25．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）如图1，试说明BE2+CF2＝EF2；
（2）如图2，若AB＝AC，BE＝12，CF＝5，求△DEF的面积．
【分析】（1）延长ED至点G，使得EG＝DE，连接FG，CG，易证EF＝FG和△BDE≌△CDG，可得BE＝CG，∠DCG＝∠DBE，即可求得∠FCG＝90°，根据勾股定理即可解题；
（2）连接AD，易证∠ADE＝∠CDF，即可证明△ADE≌△CDF，可得AE＝CF，BE＝AF，S四边形AEDF＝S△ABC，再根据△DEF的面积＝S△ABC﹣S△AEF，即可解题．
【解答】（1）证明：延长ED至点G，使得DG＝DE，连接FG，CG，
∵DE＝DG，DF⊥DE，
∴DF垂直平分DE，
∴EF＝FG，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE＝CG，∠DCG＝∠DBE，
∵∠ACB+∠DBE＝90°，
∴∠ACB+∠DCG＝90°，即∠FCG＝90°，
∵CG2+CF2＝FG2，
∴BE2+CF2＝EF2；
（2）解：连接AD，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴∠BAD＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，
∵∠ADE+∠ADF＝90°，∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，BE＝AF，AB＝AC＝17，
∴S四边形AEDF＝S△ABC，
∴S△AEF＝×5×12＝30，
∴△DEF的面积＝S△ABC﹣S△AEF＝．
2022-2023学年重庆市南岸区南坪中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题12个小题，每小题4分，共48分）
1．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B．﹣0.5 C． D．
2．能使有意义的x的范围是（ ）
A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x≠﹣2 D．x＞﹣2
3．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．，， D．8，15，17
4．下列各式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD＝17，BE＝5，那么AC的长为（ ）
A．12 B．7 C．5 D．13
6．如图，直角三角形ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为﹣1，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于D，若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
8．下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1
B．立方根等于本身的数是0，1或﹣1
C．无理数包括正无理数，0和负无理数
D．﹣4的算术平方根是﹣2
9．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若a是的小数部分，则a（a+8）的值为（ ）
A．1 B．8 C．9 D．13
11．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（ ）
A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm
12．如图，在△ABC中，AC＝1，BC＝，AB＝2，P1……．且AC在直线m上，将△ABC绕点A顺时针旋转到点P1，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，可得到点P3，此时AP3＝3+；…，按此规律继续旋转，直到得到点p2022为止，则AP2022＝（ ）
A． B． C． D．
三.填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．的平方根是 ，﹣27的立方根为 ．
14．已知P（8﹣2m，m+1）点在x轴上，则点P的坐标为 ．
15．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为 ．
三.解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）解方程：（1）9x2﹣729＝0；
（2）64（x﹣1）3+8＝0．
四.解答题（本大题7个小题，每题10分，共70分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（4，﹣2），C（5，3）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（要求：画出三角形，标出相应顶点的字母）
（2）分别写出△A1B1C1三个顶点的坐标，并计算△A1B1C1的面积．
21．（10分）（1）若|2x﹣4|+（y+3）2+＝0，求x﹣2y+z的平方根．
（2）如图，实数a，b，c是数轴上A，B，C三点所对应的数，化简+|c﹣b|﹣+|a+c|．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）
（1）求此四边形的面积．
（2）在坐标轴上，你能否找到一点P，使S△PBC＝50？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
23．（10分）如图1，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高为4米，宽为2.8米，
（1）请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？为什么？
（2）如图2，若通道正中间有一个0.4米宽的隔离带，问一辆宽1.4米高3.9米的车能通过这个通道吗？为什么？
24．（10分）阅读以下材料，解决后续问题：
材料：①我们学习过完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，其中形如a2±2ab+b2
的式子叫完全平方式，有时我们可以通过裂项将一个式子变为完全平方式，
比如：＝＝＝＝+1，
＝＝＝＝﹣1．
②完全平方数：一个自然数能写成一个整数的平方，则称这个自然数为完全平方数，例如64＝82，则64是一个完全平方数．完全平方数有如下因数特征：若N＝ab（a、b为互质的整数）为完全平方数，则a、b均为完全平方数
（1）化简 ①
②
（2）已知m、n均为正整数，设N＝11（m+8n）为完全平方数，且＜33，求m+n的值．
25．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）如图1，试说明BE2+CF2＝EF2；
（2）如图2，若AB＝AC，BE＝12，CF＝5，求△DEF的面积．
2022-2023学年重庆市南岸区南坪中学八年级（上）期中数学试卷（参考答案与详解）
一、选择题（本题12个小题，每小题4分，共48分）
1．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B．﹣0.5 C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：，是整数，属于有理数，故选项A不合题意；
﹣0.5是有限小数，属于有理数，故选项B不合题意；
，是无理数，故选项C符合题意；
是分数，属于有理数，故选项D不合题意．
故选：C．
2．能使有意义的x的范围是（ ）
A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x≠﹣2 D．x＞﹣2
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子有意义，
∴x+2≥0，解得x≥﹣2．
故选：B．
3．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．，， D．8，15，17
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、92+162≠252，能构成直角三角形，符合题意；
B、三边长0.3，0.4，0.5都不是正整数，不是勾股数，不合题意；
C、三边长，，都不是正整数，不是勾股数，不合题意；
D、82+152＝172，不能构成直角三角形，不合题意；
故选：D．
4．下列各式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：选项A中的无意义，故选项A错误，
∵，故选项B错误，
∵，故选项C正确，
∵不能合并为一项，故选项D错误，
故选：C．
5．如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD＝17，BE＝5，那么AC的长为（ ）
A．12 B．7 C．5 D．13
【分析】先根据△BCE等腰直角三角形得出BC的长，进而可得出BD的长，根据△ABD是等腰直角三角形可知AB＝BD，在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AC的长．
【解答】解：∵△BCE等腰直角三角形，BE＝5，
∴BC＝5，
∵CD＝17，
∴DB＝CD﹣BE＝17﹣5＝12，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AB＝BD＝12，
在Rt△ABC中，
∵AB＝12，BC＝5，
∴AC＝＝＝13．
故选：D．
6．如图，直角三角形ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为﹣1，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于D，若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AD的长，再根据A点表示﹣1，可得D点表示的数．
【解答】解：AC＝＝＝，
则AD＝，
∵A点表示﹣1，
∴D点表示的数为：﹣﹣1，
故选：D．
7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设CD＝DE＝x，在RT△DEB中利用勾股定理解决．
【解答】解：在RT△ABC中，∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
△ADE是由△ACD翻折，
∴AC＝AE＝6，EB＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，
在RT△DEB中，∵DE2+EB2＝DB2，
∴x2+42＝（8﹣x）2
∴x＝3，
∴CD＝3．
解法二：根据S△ABC＝S△ACD+S△ADB，
可得×6×8＝×6×x+×10×x，
解得x＝3．
故选：B．
8．下列说法正确的是（ ）
A．1的平方根是1
B．立方根等于本身的数是0，1或﹣1
C．无理数包括正无理数，0和负无理数
D．﹣4的算术平方根是﹣2
【分析】分别根据平方根的定义，立方根的定义，无理数的定义以及算术平方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：A．1的平方根是±1，原说法错误，故本选项不合题意；
B．立方根等于本身的数是0，1或﹣1，说法正确，故本选项符合题意；
C．无理数包括正无理数和负无理数，0是有理数，原说法错误，故本选项不合题意；
D．﹣4没有算术平方根，原说法错误，故本选项不合题意．
故选：B．
9．我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；
C、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，
∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
10．若a是的小数部分，则a（a+8）的值为（ ）
A．1 B．8 C．9 D．13
【分析】根据4＜＜5，可得出a＝﹣4，代入求解即可．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴a＝﹣4，
∴a（a+8）
＝（﹣4）（﹣4+8）
＝（﹣4）（+4）
＝17﹣16
＝1．
故选：A．
11．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（ ）
A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解答】解：把长方体的侧表面展开得到一个长方形，高6cm，宽＝2+3+2+3＝10cm，AB为对角线．
AB＝＝2cm．
故选：B．
12．如图，在△ABC中，AC＝1，BC＝，AB＝2，P1……．且AC在直线m上，将△ABC绕点A顺时针旋转到点P1，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，可得到点P3，此时AP3＝3+；…，按此规律继续旋转，直到得到点p2022为止，则AP2022＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用题意得AP3＝3+，则易得AP6＝2（3+），AP9＝3（3+），则三角形旋转三次一个循环，一个循环3+，然后由2022＝3×674即可得到AP2022的长度．
【解答】解：∵AP1＝2，AP2＝2+，AP3＝3+，
∴AP6＝2（3+），
AP9＝3（3+），
而2022＝3×674，
∴AP2022＝674（3+）＝2022+674．
故选：B．
三.填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．的平方根是 ±2 ，﹣27的立方根为 ﹣3 ．
【分析】先利用算术平方根的定义得到＝4，然后根据平方根的定义求4的平方根即可；
由于（﹣3）3＝﹣27，根据立方根的定义即可得到﹣27的立方根为﹣3．
【解答】解：∵＝4，
∴的平方根为±2；
∵（﹣3）3＝﹣27，
∴﹣27的立方根为﹣3．
故答案为±2，﹣3．
14．已知P（8﹣2m，m+1）点在x轴上，则点P的坐标为 （10，0） ．
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，然后求解即可．
【解答】解：∵点P（8﹣2m，m+1）在x轴上，
∴m+1＝0，
解得m＝﹣1，
∴8﹣2m＝8+2＝10，
∴点P的坐标为（10，0）．
故答案为：（10，0）．
15．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小是 4+2 ．
【分析】作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于C'，此时△ABC的周长最小，作A'D⊥x轴于D，再利用勾股定理分别求出A'B和AB的长，进而解决问题．
【解答】解：作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于C'，此时△ABC的周长最小，
作A'D⊥x轴于D，
∵A（1，4），
∴A'（﹣1，4），
∴A'D＝4，BD＝4，
∴A'B＝4，
∵A（1，4），B（3，0），
∴AB＝＝2，
∴△ABC的周长最小值为4+2，
故答案为：4+2．
16．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝+1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为 +或1 ．
【分析】①如图1，当∠B′MC＝90°，B′与A重合，M是BC的中点，于是得到结论；②如图2，当∠MB′C＝90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM＝MB′，列方程即可得到结论．
【解答】解：①如图1，
当∠B′MC＝90°，B′与A重合，M是BC的中点，
∴BM＝BC＝+；
②如图2，当∠MB′C＝90°，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形，
∴CM＝MB′，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，
∴BM＝B′M，
∴CM＝BM，
∵BC＝+1，
∴CM+BM＝BM+BM＝+1，
∴BM＝1，
综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为+或1，
故答案为：+或1．
三.解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）计算：．
【分析】分别进行二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂等运算，然后合并．
【解答】解：原式＝4﹣2+1﹣3＝0．
18．（8分）解方程：（1）9x2﹣729＝0；
（2）64（x﹣1）3+8＝0．
【分析】（1）利用方程思想，平方根的定义计算即可；
（2）利用方程思想，立方根的定义计算即可．
【解答】解：（1）9x2﹣729＝0，
9x2＝729，
x2＝81，
x＝±9；
（2）64（x﹣1）3+8＝0，
（x﹣1）3＝﹣，
x﹣1＝﹣，
x＝．
四.解答题（本大题7个小题，每题10分，共70分）
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用乘法公式化简二次根式，再合并同类二次根式得出答案；
（2）直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2+1﹣（8﹣1）
＝2﹣2+1﹣7
＝﹣2﹣4；
（2）原式＝（20﹣10×+2）÷2
＝（20﹣2+2）÷2
＝20÷2
＝10．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（4，﹣2），C（5，3）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（要求：画出三角形，标出相应顶点的字母）
（2）分别写出△A1B1C1三个顶点的坐标，并计算△A1B1C1的面积．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称的点，然后顺次连接；
（2）根据网格结果写出三个顶点的坐标，进而利用三角形面积公式解答．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）A1（﹣1，0），B1（﹣4，﹣2），C（﹣5，3），
△A1B1C1的面积＝．
21．（10分）（1）若|2x﹣4|+（y+3）2+＝0，求x﹣2y+z的平方根．
（2）如图，实数a，b，c是数轴上A，B，C三点所对应的数，化简+|c﹣b|﹣+|a+c|．
【分析】（1）已知等式为三个非负数的和为0的形式，只有这几个非负数都为0，求x、y、z的值，即可求得x﹣2y+z的值，进一步得出答案；
（2）根据数轴判断a、b、c的正负，然后判断c﹣b、a﹣b、a+c的正负，然后去绝对值，去根号，最后整理即可．
【解答】解：（1）∵|2x﹣4|+（y+3）2+＝0，
∴2x﹣4＝0，y+3＝0，x+y+z＝0，
∴x＝2，y＝﹣3，z＝1，
∴x﹣2y+z＝2+6+1＝9，
∴x﹣2y+z的平方根为±3．
（2）由数轴可知，
b＜a＜0＜c，|c|＞|a|，
∴c﹣b＞0，a﹣b＞0，a+c＞0，
∴+|c﹣b|﹣+|a+c|
＝c+c﹣b﹣（a﹣b）+a+c
＝c+c﹣b﹣a+b+a+c
＝3c．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为：A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）
（1）求此四边形的面积．
（2）在坐标轴上，你能否找到一点P，使S△PBC＝50？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）利用分割法，把四边形分割成一个三角形加上一个梯形后再减去一个三角形求面积；
（2）分两种情况：点P在x轴上，点P在y轴上，利用三角形的面积求得答案即可．
【解答】解：（1）如图，
过D，C分别作DE，CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有：
S＝S△AED+S梯形EFCD﹣S△CFB
＝×AE×DE+×（CF+DE）×EF﹣×FC×FB．
＝×2×7+×（7+5）×7﹣×2×5＝44．
故四边形ABCD的面积为44．
（2）当点P在x轴上，设P点坐标为（x，0）；
如图，
S△PBC＝|7﹣x|×5＝50，
解得：x＝﹣13或27，
点P坐标为（﹣13，0），（27，0）；
当点P在y轴上，设P点坐标为（0，y），
∵直线BC的解析式为y＝x﹣，
∴直线BC与y轴的交点为（0，﹣），
①P在直线BC上方时，S△PBC＝（+y）×9﹣（+y）×7＝50，解得：y＝
点P坐标为（0，）
②P在直线BC下方时，可得（﹣﹣y）×9﹣（﹣﹣y）×7＝50，
解得y＝﹣，
∴点P坐标（0，﹣）．
综上所知：点P坐标为P1（﹣13，0），P2（27，0），P3（0，），P4（0，﹣）．
23．（10分）如图1，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高为4米，宽为2.8米，
（1）请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？为什么？
（2）如图2，若通道正中间有一个0.4米宽的隔离带，问一辆宽1.4米高3.9米的车能通过这个通道吗？为什么？
【分析】（1）作弦EF∥AD，OH⊥EF于H，连接OF，在直角△OFH中，根据三角函数就可以求出OH，求出隧道的高．就可以判断；
（2）同理求得HF和HM，然后求得MF后与1.4米比较即可．
【解答】解：（1）如图，设半圆O的半径为R，则R＝2，
作弦EF∥AD，且EF＝2.8，OH⊥EF于H，
连接OF，（2分）
由OH⊥EF，得HF＝1.4，（3分）
又OH＝＝＞＝1.4，
∴此时隧道的高AB+OH＞2.6+1.4＝4（米），
∴这辆卡车能通过此隧道；
（2）当车高3.9米时，OH＝3.9﹣2.6＝1.3米，
此时HF＝＝米，
∵通道正中间有一个0.4米宽的隔离带，
∴HM＝0.2米，
∴MF＝HF﹣HM＜1.4米，
∴不能通过．
24．（10分）阅读以下材料，解决后续问题：
材料：①我们学习过完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，其中形如a2±2ab+b2
的式子叫完全平方式，有时我们可以通过裂项将一个式子变为完全平方式，
比如：＝＝＝＝+1，
＝＝＝＝﹣1．
②完全平方数：一个自然数能写成一个整数的平方，则称这个自然数为完全平方数，例如64＝82，则64是一个完全平方数．完全平方数有如下因数特征：若N＝ab（a、b为互质的整数）为完全平方数，则a、b均为完全平方数
（1）化简 ①
②
（2）已知m、n均为正整数，设N＝11（m+8n）为完全平方数，且＜33，求m+n的值．
【分析】（1）仿照材料中的例子即可得出结论；
（2）先求出N的范围，进而确定出m+8n＝11或44，再分类利用m，n为正整数求出m，n的值，即可得出结论
【解答】解：（1）①＝＝＝＝+1；
②＝＝＝＝＝2﹣；
（2）∵＜33，
∴0≤N＜332，
∵N＝11（m+8n）为完全平方数，
∴N＝112或N＝112×22，
当N＝112时，m+8n＝11，
∴n＝，
∵m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1，
∴m+n＝4；
当N＝112×22时，m+8n＝44，
∴n＝，
∵m、n均为正整数，
∴m＝36，n＝1或m＝28，n＝2或m＝20，n＝3或m＝12，n＝4或m＝4，n＝5，
∴m+n＝37或30或23或16或9，
即：m+n的值为4或9或16或23或30或37．
25．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）如图1，试说明BE2+CF2＝EF2；
（2）如图2，若AB＝AC，BE＝12，CF＝5，求△DEF的面积．
【分析】（1）延长ED至点G，使得EG＝DE，连接FG，CG，易证EF＝FG和△BDE≌△CDG，可得BE＝CG，∠DCG＝∠DBE，即可求得∠FCG＝90°，根据勾股定理即可解题；
（2）连接AD，易证∠ADE＝∠CDF，即可证明△ADE≌△CDF，可得AE＝CF，BE＝AF，S四边形AEDF＝S△ABC，再根据△DEF的面积＝S△ABC﹣S△AEF，即可解题．
【解答】（1）证明：延长ED至点G，使得DG＝DE，连接FG，CG，
∵DE＝DG，DF⊥DE，
∴DF垂直平分DE，
∴EF＝FG，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDG中，
，
∴△BDE≌△CDG（SAS），
∴BE＝CG，∠DCG＝∠DBE，
∵∠ACB+∠DBE＝90°，
∴∠ACB+∠DCG＝90°，即∠FCG＝90°，
∵CG2+CF2＝FG2，
∴BE2+CF2＝EF2；
（2）解：连接AD，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴∠BAD＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，
∵∠ADE+∠ADF＝90°，∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，BE＝AF，AB＝AC＝17，
∴S四边形AEDF＝S△ABC，
∴S△AEF＝×5×12＝30，
∴△DEF的面积＝S△ABC﹣S△AEF＝．
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