重庆市育才中学教育集团2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份重庆市育才中学教育集团2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市育才中学教育集团八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷上对应的位置涂黑.
1．下列四个汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（ab）2＝a2b2 C．（a2）3＝a5 D．a2+a2＝a4
3．下列各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3.5 B．4，5，9 C．5，8，15 D．6，8，9
4．如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（　　）

A．4 B．5 C．6 D．无法确定
5．如图，直线a∥b，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝20°，
则∠2的度数为（　　）

A．150° B．140° C．130° D．120°
6．如图，在△ABC与△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，B、F、C、D在同一直线上，再添加一个下列条件，不能判断△ABC≌△EDF的是（　　）

A．AB＝ED B．AC＝EF C．AC∥EF D．BC＝DF
7．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．下列命题中，正确的是（　　）
A．三个角分别相等的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．有两边及一个角分别相等的两个三角形全等
9．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第7个“龟图”中“〇”的个数为（　　）

A．44 B．47 C．50 D．53
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿DE翻折使得A与B重合，若∠CBD＝26°，则∠ADE的度数是（　　）

A．57° B．58° C．59° D．60°
11．若关于x的不等式组的解集为x≤4a，且关于y、z的二元一次方程组的解满足y+z≥﹣1，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3
12．关于x的三次三项式A＝﹣x3+3x2﹣5＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式B＝7x2﹣ex﹣f（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（　　）
①当2A﹣3B是关于x的三次三项式时，则f＝；
②当A•B中不含x3时，则f＝6e；
③当x＝1时，B＝2；当x＝时，B＝，则e＝，f＝﹣
④d＝﹣；
⑤a+b+c＝．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）在每个小题中，请把正确答案直接填在答题卷上相应的横线上.
13．若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝　 　．
14．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若
FG＝5，ED＝9，求EB+DC＝　 　．

15．已知，如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝8cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，则BN的长为 　 　．

16．临近“天猫双11”，某超市开展为期2天的限时抢购活动，活动规定：11月10日，全场9折；11月11日，全场8折；其余时间不打折．小育计划购买A、B、C三种糖果，他发现11月9日购买2千克A，4.2千克B的总价与11月11日购买1千克A，2千克B，3千克C的总价相等，也等于11月10日购买5千克A，4.5千克B，2千克C的总价的，且4千克A在11月10日的总价不低于65元，也不超过100元，如果三种糖果的单价均为正整数．那么在不打折的情况下，小育购买1千克B和1千克C共需付款 　 　元．
三、解答题：（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
17．计算：（1）（4a﹣b）（﹣2b）2
（2）（21x4y3﹣35x3y2+7x2y2）÷（﹣7x2y）
18．计算：（1）3x（x2﹣1）﹣5x（x2+）
（2）（a﹣b）（x﹣y）+（b﹣a）（x+y）
四、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
19．如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，DE交AB于点G．
（1）尺规作图：过点A作线段DE的垂线交DE于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证DF＝FG．
证明：AD∥BE
在△ACD和△BEC中，

∴△ACD≌△BEC
∴∠ADC＝②　 　，CD＝CE
∵③　 　＝∠CED
∴∠ADC+∠CDE＝∠BCE+∠CED
∴∠ADG＝∠AGD
∴④　 　
∵AF⊥DG
∴DF＝FG．

20．先化简，再求值：5（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中实数x满足10x﹣x2﹣5＝0．
21．已知：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）△ABC关于x轴对称的图形为△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）求△A1B1C1的面积．

22．如图，在△ABC中，AE是BC边上的高．
（1）若AD是边BC上的中线，AE＝5cm，S△ABC＝30cm²，求DC的长；
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝30°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．

23．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，且DB＝DC，DE⊥AB于E．
（1）求证：∠ABD+∠ACD＝180°；
（2）如果AB＝8，AC＝6，求AE的长．

24．一个多位数m（数位大于等于4）的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为F（m），F（m）如果能被13整除，则这个多位数就一定能被13整除．例如：判断357383能不能被13整除，这个数的末三位数字是383，末三位以前的数字所组成的数是357，则F（357383）＝383﹣357＝26，26能被13整除，因此，357383也一定能被13整除．反之，若一个多位数m（数位大于等于4）能被13整除，则m的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差F（m）一定能被13整除．
（1）F（59306）＝　 　，59306 　 　（能或不能）被13整除．
（2）若两个四位数m，n均为13的倍数，且m＝1000a+238，n的千位数字为b﹣1，百位数字为5，十位数字为5，个位数字为c﹣2．规定K（m，n）＝，当﹣＝24时，求K（m，n）的最小值．
25．在△ABC中，∠BAC＝90°且AC＝AB，点E为平面内一点，把AE绕着点A逆时针旋转90°后得到线段AD．
（1）如图1，点E在线段AC上且BE平分∠ABC，连接DE，射线BE与CD相交于点F．当AC＝1，CB＝时，求AE的长．
（2）如图2，点E为△ABC外一点，连接ED、EC、BD，点G为线段BD的中点，射线GA与CE相交于点H．求证：AH⊥CE．
（3）如图3，点E在线段BC上，DE∥AB，BE＝3，AB＝3．点M在射线AE上，点N在线段AC上，且AM＝CN，连接BM、BN．当BM+BN最小时，直接写出△BNC与△ABM的面积和．



参考答案
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷上对应的位置涂黑.
1．下列四个汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（ab）2＝a2b2 C．（a2）3＝a5 D．a2+a2＝a4
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘；以及合并同类项法则对各选项分析判断即可得解．
解：A、a2•a3＝a2+3＝a5，故本选项错误；
B、（ab）2＝a2b2，故本选项正确；
C、（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误；
D、a2+a2＝2a2，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3．下列各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3.5 B．4，5，9 C．5，8，15 D．6，8，9
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：A、1+2＜3.5，不能组成三角形，不符合题意；
B、5+4＝9，不能够组成三角形，不符合题意；
C、5+8＜15，不能组成三角形，不符合题意；
D、6+8＞9，能组成三角形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形三边关系，注意用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
4．如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（　　）

A．4 B．5 C．6 D．无法确定
【分析】根据全等三角形对应边相等求解即可．
解：∵△ABC≌△BAD，
∴BC＝AD，
∵AD＝4，
∴BC＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出对应边是解题的关键．
5．如图，直线a∥b，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝20°，
则∠2的度数为（　　）

A．150° B．140° C．130° D．120°
【分析】由题意得∠CAD＝90°，∠C＝30°，从而求得∠CAE＝70°，由平行线的性质得∠CBF＝∠CAE＝70°，利用三角形的外角性质求得∠CHB＝40°，从而可求∠2的度数．
解：如图，

由题意得：∠CAD＝90°，∠C＝30°，
∵∠1＝20°，
∴∠CAE＝180°﹣∠CAD﹣∠1＝70°，
∵a∥b，
∴∠CBF＝∠CAE＝70°，
∵∠CBF是△CBH的外角，
∴∠CHB＝∠CBF﹣∠C＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠CHB＝140°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
6．如图，在△ABC与△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，B、F、C、D在同一直线上，再添加一个下列条件，不能判断△ABC≌△EDF的是（　　）

A．AB＝ED B．AC＝EF C．AC∥EF D．BC＝DF
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，
当AB＝ED时，可根据“ASA”判断△ABC≌△EDF；
当AC＝EF时，可根据“AAS”判断△ABC≌△EDF；
当BC＝DF时，可根据“AAS”判断△ABC≌△EDF．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
7．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
8．下列命题中，正确的是（　　）
A．三个角分别相等的两个三角形全等
B．面积相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．有两边及一个角分别相等的两个三角形全等
【分析】A．根据全等三角形的判定条件进行判断；
B．根据全等三角形的判定条件进行判断；
C．根据SSS定理进行判断；
D．根据SAS定理进行判断．
解：A．三个角分别相等的两个三角形相似，但不一定全等，选项不符合题意；
B．全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，选项不符合题意；
C．根据SSS定理知，三边分别相等的两个三角形全等，选项符合题意；
D．有两边及夹角相等的两个三角形全等，但有两边及一个角分别相等的两个三角形不一定全等，选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，正确理解全等三角形的判定条件是解题的关键所在．
9．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第7个“龟图”中“〇”的个数为（　　）

A．44 B．47 C．50 D．53
【分析】设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“an＝n2﹣n+5（n为正整数）”，再代入n＝7即可得出结论．
解：设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数）．
观察图形，可知：a1＝1+2+2＝5，a2＝1+3+12+2＝7，a3＝1+4+22+2＝11，a4＝1+5+32+2＝17，…，
∴an＝1+（n+1）+（n﹣1）2+2＝n2﹣n+5（n为正整数），
∴a7＝72﹣7+5＝47．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“an＝n2﹣n+5（n为正整数）”是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿DE翻折使得A与B重合，若∠CBD＝26°，则∠ADE的度数是（　　）

A．57° B．58° C．59° D．60°
【分析】由折叠的性质可得出∠ADE＝∠BDE＝∠ADB，利用三角形的外角性质可求出∠ADB的度数，进而可求出∠ADE的度数．
解：由题意可知：∠ADE＝∠BDE＝∠ADB．
∵∠ADB＝∠C+∠CBD＝90°+26°＝116°，
∴∠ADE＝×116°＝58°．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质以及三角形的外角性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
11．若关于x的不等式组的解集为x≤4a，且关于y、z的二元一次方程组的解满足y+z≥﹣1，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3
【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组的解集为x≤4a，从而可得4a＜1，进而可得a＜，然后再把两个二元一次方程相加可得y+z＝2a+3，再结合已知可得
2a+3≥﹣1，从而可得a≥﹣2，进而可得﹣2≤a＜，最后进行计算即可解答．
解：，
解不等式①得：x≤4a，
解不等式②得：x＜1，
∵不等式组的解集为x≤4a，
∴4a＜1，
∴a＜，
，
①+②得：
3y+3z＝6a+9，
∴y+z＝2a+3，
∵y+z≥﹣1，
∴2a+3≥﹣1，
解得：a≥﹣2，
∴﹣2≤a＜，
∴满足条件的所有整数a的和＝﹣2+（﹣1）+0＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．关于x的三次三项式A＝﹣x3+3x2﹣5＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式B＝7x2﹣ex﹣f（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（　　）
①当2A﹣3B是关于x的三次三项式时，则f＝；
②当A•B中不含x3时，则f＝6e；
③当x＝1时，B＝2；当x＝时，B＝，则e＝，f＝﹣
④d＝﹣；
⑤a+b+c＝．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】计算2A﹣3B，令常数项为0可判断①；计算A•B，令x3项系数为0可判断②；由当x＝1时，B＝2；当x＝时，B＝列出方程组可解得e和f的值，从而判断③；用特殊值法可求出d和a+b+c的值，可判断④和⑤．
解：2A﹣3B＝2（﹣x3+3x2﹣5）﹣3（7x2﹣ex﹣f）＝﹣x3﹣15x2+3ex+3f﹣10，
∵2A﹣3B是关于x的三次三项式，e≠0，
∴3f﹣10＝0，
解得f＝，故①正确；
A•B＝（﹣x3+3x2﹣5）•（7x2﹣ex﹣f）＝﹣x5+（+21）x4+（﹣3e）x3﹣（3f+35）x+5f，
∵A•B中不含x3，
∴﹣3e＝0，
∴f＝6e，故②正确；
∵x＝1时，B＝2；当x＝时，B＝，
∴，
解得e＝，f＝﹣，故③正确；
在﹣x3+3x2﹣5＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d中，令x＝1得：
﹣+3﹣5＝d，
∴d＝﹣，故④正确；
在﹣x3+3x2﹣5＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d中，令x＝2得：
﹣4+12﹣5＝a+b+c+d，
∵d＝﹣，
∴a+b+c＝，故⑤正确，
∴正确的有①②③④⑤，共5个，
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）在每个小题中，请把正确答案直接填在答题卷上相应的横线上.
13．若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝　15　．
【分析】由2x＝3，2y＝5，根据同底数幂的乘法可得2x+y＝2x•2y，继而可求得答案．
解：∵2x＝3，2y＝5，
∴2x+y＝2x•2y＝3×5＝15．
故答案为：15．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法．此题比较简单，注意掌握公式的逆运算．
14．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若
FG＝5，ED＝9，求EB+DC＝　14　．

【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBG和△DFC是等腰三角形，从而可得EB＝EG，DF＝DC，进而可得EB+DC＝ED+FG，然后进行计算即可解答．
解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABG＝∠CBG，∠ACF＝∠FCB，
∴∠EBG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF，
∴EB＝EG，DF＝DC，
∵FG＝5，ED＝9，
∴EB+DC＝EG+DF
＝ED+FG
＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
15．已知，如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝8cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，则BN的长为 　　．

【分析】连接AM，AN，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝30°，再利用线段垂直平分线的性质可得MB＝MA，NA＝NC，从而利用等腰三角形可得∠B＝∠MAB＝30°，∠C＝∠NAC＝30°，然后利用三角形的外角可得∠AMN＝60°，∠ANM＝60°，从而利用三角形内角和定理可得∠MAN＝60°，进而可得△AMN是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得AM＝AN＝MN，从而可得BM＝MN＝CN＝，进行计算即可解答．
解：连接AM，AN，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵DM是AB的垂直平分线，EN是AC的垂直平分线，
∴MB＝MA，NA＝NC，
∴∠B＝∠MAB＝30°，∠C＝∠NAC＝30°，
∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，
∴∠MAN＝180°﹣∠AMN﹣∠ANM＝60°，
∴∠AMN＝∠ANM＝∠MAN＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，
∴BM＝MN＝CN＝BC＝，
∴BN＝BM+NM＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
16．临近“天猫双11”，某超市开展为期2天的限时抢购活动，活动规定：11月10日，全场9折；11月11日，全场8折；其余时间不打折．小育计划购买A、B、C三种糖果，他发现11月9日购买2千克A，4.2千克B的总价与11月11日购买1千克A，2千克B，3千克C的总价相等，也等于11月10日购买5千克A，4.5千克B，2千克C的总价的，且4千克A在11月10日的总价不低于65元，也不超过100元，如果三种糖果的单价均为正整数．那么在不打折的情况下，小育购买1千克B和1千克C共需付款 　24　元．
【分析】设糖果A的价格为x元/千克，糖果B的价格为y元/千克，糖果C的价格为z元/千克，根据题意可得关于x，y，z的三元 一次方程组，求出x，y，z之间的关系，再由4千克A在11月10日的总价不低于65元，也不超过100元，即可得出关于x的一元一次不等式组，求出x得取值范围，最后根据三种糖果的单价均为正整数，进而得出x，y，z的值，利用x，y，z的值求出最后结果．
解：设糖果A的价格为x元/千克，糖果B的价格为y元/千克，糖果C的价格为z元/千克，根据题意可得：
，
∴，
∵4千克A在11月10日的总价不低于65元，也不超过100元，
∴65≤4x×0.9≤100，
∴，
∵三种糖果的单价均为正整数．
∴y必须是6的倍数，x必须是23的倍数，才能使x，y均为正整数，
x必须是23的倍数且满足，
∴x＝23，y＝6，z＝18，
则在不打折的情况下，小育购买1千克B和1千克C共需付款：
6+18＝24（元），
故答案为：24．
【点评】本题考查列三元一次方程组和一元一次不等式的应用以及因数与倍数的关系，根据题意的等量关系列出三元一次方程组和利用每种糖果的单价都为正整数与的关系求出x，y是解题的关键．
三、解答题：（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
17．计算：（1）（4a﹣b）（﹣2b）2
（2）（21x4y3﹣35x3y2+7x2y2）÷（﹣7x2y）
【分析】（1）先算乘方，再算多项式乘单项式即可；
（2）根据多项式除以单项式计算即可．
解：（1）（4a﹣b）（﹣2b）2
＝（4a﹣b）•4b2
＝16ab2﹣4b3；
（2）（21x4y3﹣35x3y2+7x2y2）÷（﹣7x2y）
＝21x4y3÷（﹣7x2y）﹣35x3y2÷（﹣7x2y）+7x2y2÷（﹣7x2y）
＝﹣3x2y2+5xy﹣y．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．计算：（1）3x（x2﹣1）﹣5x（x2+）
（2）（a﹣b）（x﹣y）+（b﹣a）（x+y）
【分析】（1）根据单项式乘多项式法则：分别用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加即可求解；
（2）根据多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加即可求解．
解：（1）3x（x2﹣1）﹣5x（x2+）
＝x3﹣3x﹣x3﹣2x
＝﹣5x；
（2）（a﹣b）（x﹣y）+（b﹣a）（x+y）
＝ax﹣ay﹣bx+by+bx+by﹣ax﹣ay
＝﹣2ay+2by．
【点评】本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式，掌握单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则是解题的关键．
四、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
19．如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，DE交AB于点G．
（1）尺规作图：过点A作线段DE的垂线交DE于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证DF＝FG．
证明：AD∥BE
在△ACD和△BEC中，

∴△ACD≌△BEC
∴∠ADC＝②　∠BCE　，CD＝CE
∵③　∠CDE　＝∠CED
∴∠ADC+∠CDE＝∠BCE+∠CED
∴∠ADG＝∠AGD
∴④　AD＝AG　
∵AF⊥DG
∴DF＝FG．

【分析】（1）利用基本作图，过A点作DE的垂线即可；
（2）先证明△ACD≌△BEC得到∠ADC＝∠BCE，CD＝CE，则∠CDE＝∠CED，再证明∠ADG＝∠AGD，所以AD＝AG，然后根据等腰三角形的性质得到DF＝FG．
【解答】（1）解：如图，AF为所作；

（2）证明：在△ACD和△BEC中，

∴△ACD≌△BEC（SAS），
∴∠ADC＝∠BCE，CD＝CE，
∵∠CDE＝∠CED，
∴∠ADC+∠CDE＝∠BCE+∠CED，
∴∠ADG＝∠AGD，
∴AD＝AG，
∵AF⊥DG，
∴DF＝FG．
故答案为：∠BCE，∠CDE，AD＝AG．
【点评】本题考查了根与系数的关系：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
20．先化简，再求值：5（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中实数x满足10x﹣x2﹣5＝0．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把10x﹣x2＝5代入化简后的式子进行计算即可解答．
解：5（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）
＝5x2﹣10x+5﹣4x2+9
＝x2﹣10x+14，
∵10x﹣x2﹣5＝0，
∴x2﹣10x＝﹣5，
∴当x2﹣10x＝﹣5，原式＝﹣5+14＝9．
【点评】本题考查了整式的混合运算—化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．已知：如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）△ABC关于x轴对称的图形为△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）求△A1B1C1的面积．

【分析】（1）根据轴对称的性质画图即可；
（2）根据三角形的面积公式计算即可．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）△A1B1C1的面积＝3×2﹣2×1﹣1×3﹣1×2＝2.5．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积的计算，根据要求正确画出图形是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，AE是BC边上的高．
（1）若AD是边BC上的中线，AE＝5cm，S△ABC＝30cm²，求DC的长；
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝30°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．

【分析】（1）由三角形的面积可求得BC的长度，再由AD是△ABC的BC边上的中线，从而可得DC的长度；
（2）由三角形的内角和可求得∠BAC＝90°，再由角平分线可求得∠CAD＝45°，由AE是BC边上的高，则可求得∠CAE＝30°，从而可求∠DAE的度数．
解：（1）∵AE是BC边上的高，AE＝5cm，S△ABC＝30cm²，
∴BC•AE＝30，
解得：BC＝12cm，
∵AD是边BC上的中线，
∴DC＝BC＝6cm；
（2）∵∠B＝30°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝45°，
∵AE是BC边上的高，
∴∠CAE＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝15°．
【点评】本题主要考查含30度角的直角三角形，三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的中线的性质，角平分线的性质．
23．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，且DB＝DC，DE⊥AB于E．
（1）求证：∠ABD+∠ACD＝180°；
（2）如果AB＝8，AC＝6，求AE的长．

【分析】（1）由角平分线的性质知DE＝DF、利用“HL”证Rt△DBE≌Rt△DCF得∠ABD＝∠DCF，根据∠DCF+∠ACD＝180°即可得证；
（2）证△ADE≌△ADF得AE＝AF＝AC+CF，由BE＝CF知AE＝AC+BE，根据AE＝AB﹣BE得AB﹣BE＝AC+BE，据此可得BE＝1，继而可得AE的长．
【解答】（1）证明：如图，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF；
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；
∴∠ABD＝∠DCF，
∵∠DCF+∠ACD＝180°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°．
（2）解：在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF＝AC+CF，
又∵BE＝CF，
∴AE＝AC+BE，
∵AE＝AB﹣BE，
∴AB﹣BE＝AC+BE，
∵8﹣BE＝6+BE，
解得：BE＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
24．一个多位数m（数位大于等于4）的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为F（m），F（m）如果能被13整除，则这个多位数就一定能被13整除．例如：判断357383能不能被13整除，这个数的末三位数字是383，末三位以前的数字所组成的数是357，则F（357383）＝383﹣357＝26，26能被13整除，因此，357383也一定能被13整除．反之，若一个多位数m（数位大于等于4）能被13整除，则m的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差F（m）一定能被13整除．
（1）F（59306）＝　247　，59306 　能　（能或不能）被13整除．
（2）若两个四位数m，n均为13的倍数，且m＝1000a+238，n的千位数字为b﹣1，百位数字为5，十位数字为5，个位数字为c﹣2．规定K（m，n）＝，当﹣＝24时，求K（m，n）的最小值．
【分析】（1）先求出F（59306）＝247，再判断出247能被13整除，得出结论；
（2）由题意可知m＝1000a+238，n＝1000b+c﹣452，m，n均为四位数，F（m）＝238﹣a，F（n）＝549+c﹣b，根据﹣＝24，可得c﹣b+a＝1，再根据m是13的倍数，可得a＝4，c﹣b＝﹣3，可得K（m，n）＝1+，根据b，c均为整数，且满足0＜b﹣1≤9，0≤c﹣2≤9，可得1＜b≤10，2≤c≤11，则b可以取5，6，7，8，9，10，根据K（m，n）＝1+可知，b越大，K（m，n）越小，依此即可求解．
解：（1）F（59306）＝306﹣59＝247，
247÷13＝19．
故59306能被13整除．
故答案为：247，能；
（2）由题意可知m＝1000a+238，n＝1000（b﹣1）+500+50+c﹣2＝1000b+c﹣452，m，n均为四位数，F（m）＝238﹣a，F（n）＝500+50+c﹣2﹣（b﹣1）＝549+c﹣b，
∵﹣＝24，
∴﹣＝24，
549+c﹣b﹣238+a＝312，
c﹣b+a＝1，
∵m是13的倍数，
∴a＝4，
∴c﹣b＝﹣3，
代入F（n）满足c＝b﹣3，
K（m，n）＝＝＝1+，
∵b，c均为整数，且满足0＜b﹣1≤9，0≤c﹣2≤9，
∴1＜b≤10，2≤c≤11，
b可以取5，6，7，8，9，10，
根据K（m，n）＝1+可知，b越大，K（m，n）越小，依此b取10，K（m，n）的最小值为1.1．
【点评】此题主要考查了整除问题，能被13整除的数的特征，求出c﹣b＝﹣3是解本题的关键．
25．在△ABC中，∠BAC＝90°且AC＝AB，点E为平面内一点，把AE绕着点A逆时针旋转90°后得到线段AD．
（1）如图1，点E在线段AC上且BE平分∠ABC，连接DE，射线BE与CD相交于点F．当AC＝1，CB＝时，求AE的长．
（2）如图2，点E为△ABC外一点，连接ED、EC、BD，点G为线段BD的中点，射线GA与CE相交于点H．求证：AH⊥CE．
（3）如图3，点E在线段BC上，DE∥AB，BE＝3，AB＝3．点M在射线AE上，点N在线段AC上，且AM＝CN，连接BM、BN．当BM+BN最小时，直接写出△BNC与△ABM的面积和．

【分析】（1）作EF⊥BC，可推出AE＝EF＝CF，BF＝AB，进一步求得结果；
（2）延长AG至N，使GN＝AG，先证得△DGN≌△BGA，再证得△ACE≌△DNA，从而得出∠AEC＝∠DAN，进一步得出结论；
（3）在CD上截取CF＝AB＝3，连接FN，BF，交AC于N′，可证得△ABM≌△CFN，从而FN＝BM，故当点N在N′处时，FN+BN最小，即：BM+BN最小，从而得出FN+BN最小，即：BM+BN最小，此时△BNC与△ABM的面积和为△BCF的面积＝BC•CF＝＝9．
【解答】（1）解：如图1，

作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，
∴BF＝AB＝AC＝1，
∴CF＝BC﹣BF＝﹣1，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝45°，
∴∠CEF＝90°﹣∠C＝45°，
∴∠C＝∠CEF，
∴EF＝CF＝﹣1，
∴AE＝﹣1；
（2）证明：如图1，

延长AG至N，使GN＝AG，
∵DG＝BG，∠DGN＝∠AGB，
∴△DGN≌△BGA（SAS），
∴DN＝AB，∠BAG＝∠N，
∴AB∥DN，
∴∠ADN+∠DAB＝180°，
又∵AC＝AB，
∴DN＝AC，
∵∠CAB+∠DAE＝180°，
∴∠DAB+∠CAE＝360°﹣（∠CAB+∠DAE）＝180°，
∴∠ADN＝∠CAE，
∴△ACE≌△DNA（SAS），
∴∠DAN＝∠AEH，
∵∠DAE＝90°，
∴∠DAN+∠EAH＝90°，
∴∠EAH+∠AEC＝90°，
∴∠AHE＝90°，
∴AH⊥CE；
（3）解：如图2，

在CD上截取CF＝AB＝3，连接FN，BF，交AC于N′，
由题意可得，
∠FCN＝∠BAC＝∠BAE＝45°，AM＝CN，
∴△ABM≌△CFN（SAS），
∴FN＝BM，
∴当点N在N′处时，
FN+BN最小，即：BM+BN最小，
此时△BNC与△ABM的面积和为△BCF的面积＝BC•CF＝＝9．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．