湖南省长沙市中南博才高级中学等学校联考2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

这是一份湖南省长沙市中南博才高级中学等学校联考2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案），共16页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知＝，＝，则＝，以下四个命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题(共40分，每题5分)1．在平行六面体中，与向量相等（不含）的向量有（    ） A．0个 B．3个 C．6个 D．9个2．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，则的值为（    ）A．1 B．0 C．-1 D．-23．已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（    ）A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)4．平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于（    ）A． B． C． D．5．已知直线的方向向量与直线的方向向量，则直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．6．过点P(3，3)的直线与线段MN相交，M(2，3)，N(3，2)，则的斜率的取值范围为（    ）A． B．C．或 D．或7．已知空间向量，，两两夹角均为60°，其模均为1，则（    ）A．5 B．6 C． D．8．以下四个命题中正确的是（    ）A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底C．为直角三角形的充要条件是D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 二、多选题(共20分，全选对得5分，选对部分得3分，选错0分)9．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，则下列向量的数量积可以为0的是（    ）A．· B．·C．· D．·10．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（    ）A． B．C． D．11．下列说法中，错误的是（    ）A．任何一条直线都有唯一的斜率B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C．任何一条直线都有唯一的倾斜角D．若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等12．若与的夹角为钝角，则的取值可能为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4 第II卷（非选择题） 三、填空题(共20分)13．如果两个向量不共线，则与共面的充要条件是___________.14．已知三棱锥S­-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S-­ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为________．15．若，，与的夹角为，则的值为________.16．已知在正方体ABCD一中，点E为底面的中心，  ，，，，则=______，=_______，=_______． 四、解答题(共70分)17．(本题10分)如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设= ，= ，= .（1）用 ， ， 表示；（2）求的长.18．(本题12分)如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：（1）；                        （2）；（3）；                    （4）．19．(本题12分)如图，正方体中，是的中点，求与平面所成角的正弦值.   20．(本题12分)如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝，＝，＝，E，F分别是PC和PB的中点，试y用表示，， .    21．(本题12分)如图，建立空间直角坐标系．正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点．（1）若是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，则分别求出向量，，的坐标；（2）在（1）的条件下，分别求出，的值．   22．(本题12分)已知为等腰直角三角形，，，分别为和上的点，且，，如图1.沿EF将折起使平面平面，连接，，如图2.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）已知为棱上一点，试确定的位置，使平面.
参考答案1．B【分析】根据相等向量的定义判断.【详解】由图形可知，.故选：B2．B【分析】由正方体的性质可知两两垂直，从而对化简可得答案【详解】由题意可得,所以，所以，所以，故选：B3．A【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算结果.【详解】解析：．故选：A4．A【分析】根据两个平面平行得出其法向量平行，根据向量共线定理进行计算即可.【详解】由题意得，因为，所以（），即，解得，所以.故选:A5．C【分析】根据空间向量法求出两条直线所成角的余弦值即可.【详解】因为，，所以．又两条直线所成的角的取值范围为，所以直线与所成角的余弦值为．故选：C6．B【分析】利用斜率的计算公式及其过点P(3，3)的直线与线段MN相交即可求得结果【详解】因为，点P(3，3)的直线与线段MN相交，所以直线的斜率的取值范围为，故选：B7．C【分析】根据展开可求解.【详解】由题意，得，，所以．故选：C8．B【分析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析ABD可判断这三个结论的正误；根据向量垂直的充要条件，及直角三角形的几何特征，可判断C的真假.【详解】对A，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A中忽略三个基底不共面的限制，故A错误；对B，若为空间向量的一组基底，则、、三个向量互不共面，且、、均为非零向量，假设、、共面，可设，所以，，该方程组无解，故、、不共面，因此，故可又构成空间向量的一组基底，故B正确；对C，的为直角为直角三角形，但为直角三角形时，可能为锐角，此时，故C错误；对D，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D错误.故选：B．9．ABC【分析】利用垂直关系的向量表示判断.【详解】如图所示：若AA1=AD，则AD1⊥B1C，A正确；若AB=AD，则BD1⊥AC，B正确；∵AB⊥平面AA1D1D，∴AB⊥AD1，C正确；∵BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边，∴两者不可能垂直，D错.故选：ABC.10．ABD【分析】根据能作为空间一组基底的条件，简单判断即可.【详解】由于不共面,可A,B,D中三个向量也不共面,可以作为一组基向量.对于C,有，故这三个向量是共面的,不能构成基底.故选：ABD【点睛】本题考查空间作为基底的条件，识记概念，属基础题.11．ABD【详解】解析　A错，因为倾斜角为90°的直线没有斜率；B错，因为0°<α<90°时，k>0，90°<α<180°时，k<0；C显然对；若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，D错．12．ABC【分析】设与的夹角为，由题意可得，根据空间向量数量积的坐标运算可得，解不等式即可.【详解】设与的夹角为，则为钝角，所以，即，又，所以解得.故选：ABC13．存在实数对，使.【分析】由空间向量共面定理即可得解.【详解】由空间向量共面定理可得，若向量不共线，则与共面的充要条件是存在实数对，使.故答案为：存在实数对，使.14． 【解析】由已知，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则，则到面距离的最大值为，故答案为.15．或【分析】利用平面向量夹角的坐标表示列出方程，然后把向量与的坐标代入运算，即可求出结果．【详解】由已知，，，解得或.故答案为：或.16．2    1        【分析】结合空间向量的加法、减法和数乘的运算法则即可得出结果.【详解】如图所示，所以，故答案为：①2，②1，③17．（1）；（2）.【分析】（1）根据向量的加法运算用基底表示向量即可；（2）计算，展开，利用向量的数量积公式计算可求出结果.【详解】（1）根据向量的三角形法则得到.（2）∵，∴，即的长为.18．（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）利用向量加法的三角形法则即可求解.（2）由，利用向量加法的三角形法则即可求解.（3）利用向量减法的运算法则即可求解.（4）利用向量加法、减法的运算法则即可求解.【详解】（1）．（2）．（3）．（4）．19．.【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则.设平面的法向量为，令，则，.故与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了利用空间向量线面夹角公式的应用，考查了数学运算能力.20．； ；＝；＝.【分析】运用空间向量的坐标表示即平面向量定理计算即可得出答案.【详解】连接BO，则＝＝(＋)＝(＋＋)＝＝；＝＋＝＋＝＋(＋)＝；＝＋＝＋＋(＋)＝；＝＝＝.21．（1），，；（2），.【分析】（1）根据题意，易得点O，E，F，G的坐标，进而求得向量的坐标；（2）由（1）的结果，利用空间向量的加法和数量积坐标运算以及向量的模公式求解.【详解】（1）因为是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，所以，，，．所以，，，．（2）由（1）可得．又，所以．22．（1）；（2）当时，平面.【分析】（1）如图1建立空间直角坐标系利用直线的方向向量求直线所成角；（2）一是可以利用空间向量，求得平面的法向量，使得垂直于法向量即可得解；或者利用利用线面平行的方法证明当时，平面.【详解】（1）因为平面平面，，所以.又，所以建立如图1所示的空间直角坐标系，因为为等腰直角三角形，，，分别为和上的点，且，，则，，，.…所以，，所以，…所以异面直线与所成角的余弦值为.…（2）方法一：设，因为，所以.设为平面的一个法向量，则即因此可取.所以.因为平面，所以，即，所以当时，平面.方法二：当时，平面.证明如下：如图2，在平面内过作交于，连接.因为，，所以四边形为平行四边形，所以.因为，所以，又，所以.因为平面，所以平面.又因为，平面，所以平面.因为，所以平面，因为平面，所以平面.