2022-2023学年湖南省部分学校高二上学期期中联考数学试题含答案

  高二数学试卷

一、选择题

1.倾斜角为的直线经过点和，则（   ）

A. B. C. D.

答案：

B

解析：

【分析】通过直线的斜率公式以及条件列出相应的方程，从而求出的值.

【详解】倾斜角为的直线经过点和，

，解之得，故选：B.

2.椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（   ）

A. B. C. D.

答案：

C

解析：

【分析】依题意求出，再根据椭圆的定义判断即可.

【详解】对于椭圆，即，所以，则，

即椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和为；故选：C.

3.双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（   ）

A. B. C.或 D.

答案：

B

解析：

【分析】根据双曲线的定义直接得解.

【详解】设双曲线的左右焦点分别为，，

由双曲线，可得，又，则，

故选：B.

4.圆与圆恰有两条公切线．则的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

答案：

A

解析：

【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意两圆相交，则，即可得到不等式组，解得即可.

【详解】圆，即，圆心，半径，

圆的圆心，半径，

因为两圆恰有两条公切线，则两圆相交，所以，

即，解得，即；故选：A.

5.已知直线，则（   ）

A.直线的倾斜角为

B.直线的斜率为

C.直线的一个法向量为

D.直线的一个方向向量为

答案：

D

解析：

【分析】根据直线方程求出斜率和倾斜角可判断A，B；根据斜率求出直线的一个方向向量可判断C，D.

【详解】将直线化为，

直线的斜率为，故B不正确；所以直线的倾斜角为，故A不正确；

因为直线的一个方向向量为，又与不垂直，所以C不正确；直线的一个方向向量为与平行，所以D正确.故选：D.

6.已知双曲线的左，右焦点分别为，，是右支上一点，且，则双曲线的离心率的取值范围是（   ）

A. B.

C. D.

答案：

C

解析：

【分析】运用双曲线的几何性质和的几何性质即可求解.

【详解】

如图，由双曲线的几何性质可知，由条件可知，

，，

在中，，即，；

当点位于双曲线的右顶点时，也满足题意，即，，

由双曲线的几何性质知，所以离心率的取值范围是；故选：C.

7.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点与的焦点不重合，点关于，的对称点分别为，，线段的中点在的右支上．若，则的实轴长为（   ）

A. B. C. D.

答案：

B

解析：

【分析】由题意可得，，代入，即可得出答案.

【详解】∵为的中点，为的中点，

∴，，又，

所以，∴.

故选：B．

8.台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（   ）

A. B. C. D.

答案：

C

解析：

【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长.

【详解】

如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则，

以为圆心，为半径作圆，则圆的方程为，

当台风进入圆内，则城市处于危险区，又台风的运动轨迹为，

设直线与圆的交点为，，圆心到直线的距离，

则，

所以时间，故选：C.

二、多选题

9.已知双曲线，则下列各选项正确的是（   ）

A.双曲线的焦点坐标为

B.双曲线的渐近线方程为

C.双曲线的离心率为

D.双曲线的虚轴长为

答案：

B、C

解析：

【分析】根据双曲线方程求出、、，再一一判断即可.

【详解】双曲线，则、，所以，

则焦点坐标为，故A错误；

离心率，故C正确，虚轴长为，故D错误；

渐近线方程为，即，故B正确；故选：BC.

10.设直线与，则（   ）

A.当时，

B.当时，

C.当时，、间的距离为

D.坐标原点到直线的距离的最大值为

答案：

A、C、D

解析：

【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数，再代入验证，进而应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线的距离最值，即可判断C、D.

【详解】A：时，，，易知，正确；

B：时，，，则，

故不成立，错误；

C：时，，则，可得或，

当时，，，两线重合，排除；

所以，由A知：它们的距离，正确；

D：坐标原点到直线的距离，

故时，正确.故选：ACD.

11.若关于的方程有唯一解，则的取值可能是（   ）

A. B. C. D.

答案：

A、D

解析：

【分析】将问题转化为、有唯一交点，应用数形结合，由直线与圆的有唯一交点求的取值范围.

【详解】由题设，即，

问题等价于在上有唯一解，

令表示圆心为，半径为圆的上半部分，

而表示斜率为的直线，如下图示：

只需、有唯一交点，当直线与半圆右上部相切时，有，

得，此时有唯一交点；

当直线过，时，直线方程为，由图知：恒有两个交点；

当直线过时，直线方程为，由图知：恒有一个交点；

综上，或，原方程有唯一解.故选：AD.

12.历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴的夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点到圆锥顶点的距离为，关于所得截口曲线，下列选项正确的是（   ）

A.曲线形状为圆

B.曲线形状为椭圆

C.点为该曲线上距离最长的两点确定的线段的三等分点

D.该曲线上任意两点间的最长距离为

答案：

B、C、D

解析：

【分析】由题意可得截面与旋转轴成角，可得截面为椭圆，即可判断A、B，画出轴截面的图象，解直角三角形计算出的长以及轴的长，由此可判断C、D；

【详解】由题意可得截面与旋转轴成角，可得截面为椭圆，故A错误，B正确；

画出轴截面的图象如下图，

，，，

，，，，

曲线上任意两点最长距离为，

点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点，由此可判断C、D正确；故选：BCD.

三、填空题

13.古希腊数学家阿基米德早在多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆，则该椭圆的面积为        ．

答案：

解析：

【分析】根据椭圆方程求出、，依题意椭圆的面积，从而计算可得.

【详解】解：对于椭圆，则、，

所以椭圆的面积；故答案为：.

14.过双曲线的左焦点作一条直线，当直线的斜率为时，直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，当直线的斜率为时，直线与双曲线的左支有两个不同的交点，则双曲线的离心率可以为        ．

答案：

（答案不唯一）

解析：

【分析】写出直线的斜率为、对应的直线方程，联立双曲线方程得到关于的一元二次方程，根据交点情况判断根的分布，结合韦达定理列不等式求双曲线参数关系，进而求离心率范围.

【详解】由左焦点，而双曲线为，

当直线的斜率为时，直线为，联立双曲线得：有两个异号的根，

所以，故；当直线的斜率为时，直线为，联立双曲线得：有两个负根，

所以，故，

综上，，故离心率可以为.故答案为：（答案不唯一）.

15.已知圆，则直线被圆截得的弦长的最小值为        ．

答案：

解析：

【分析】根据直线与圆相交时的弦长公式，明确当弦心距取最大时，弦长取最小，可得答案.

【详解】由，则圆心，半径，

由，则，令，解得，直线过定点，当时，弦长取得最小值，则，故答案为：.

16.一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则入射点的坐标为        ，反射光线所在的直线方程为       ．

答案：

解析：

【分析】求出直线的方程，根据直线与的交点即为入射点，联立求出交点坐标即可；然后根据反射光线所在的直线即为直线关于直线对称的直线，然后根据直线关于直线对称即可求出结果.

【详解】直线的斜率，

所以直线的方程为，即，

则直线与的交点即为入射点，

，解得，故入射点坐标为，

反射光线所在的直线即为直线关于直线对称的直线，

在直线上任取一点，

设点关于直线对称的点的坐标为，

则，解得，即，

因此反射光线的斜率为，

所以反射光线的直线方程为，即，

故答案为：；.

四、解答题

17.已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．

（1）求的坐标；

（2）求直线的方程．

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）由垂直关系可得，从而得到直线的方程，联立直线，直线边上的中线所在直线的方程，即可求得的坐标.

（2）设，满足点在直线高线上；由中点在中线上，两方程联立，求得点坐标，从而得到直线的方程.

【详解】

（1）直线与其边上的高所在的直线互相垂直，

因为边上的高所在的直线斜率为，所以，

设直线的方程为，又，所以，

即，且点在边上的中线上，

，解得，所以.

（2）设，因为点在直线高线上，则，

设中点为，则，，

且在中线上，，联立，

解得，，，即直线的方程为，

即，

18.曲线上任意一点到点的距离与到点的距离之比为．

（1）试问曲线为何种曲线，说明你的理由；

（2）过直线上一点向曲线作一条切线，切点为，求的最小值．

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）利用直接法求曲线的方程，进而确定曲线类型；

（2）数形结合可得，当时，取最小值，取最小值.

【详解】

（1）设曲线上一点坐标为，

由已知得，

化简可得，所以曲线表示以为圆心，为半径的圆.

（2）如图所示，由已知得，，

则，

所以当当时，取最小值，此时，取最小值，.

19.已知圆心为的圆经过，，，这三个点．

（1）求圆的标准方程；

（2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）设圆的标准方程为，带入三点坐标解方程组可得答案；

（2）当直线的斜率不存在时，得直线方程求弦长；当直线的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离、圆的半径、弦的一半构成的直角三角形计算可得答案.

【详解】

（1）设圆的标准方程为，

因为过，，，所以，解得，

所以圆的标准方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，其方程为，

由，解得或，

所以直线被圆截得的弦长为，符合题意；

当直线的斜率存在时，设其方程为，即，

圆心到直线的距离为，

因为直线被圆截得的弦长为，所以，

即，解得，直线的方程为.

综上所述，直线的方程为或.

20.已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，的中点坐标为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求的面积．

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）由离心率得到，再设，，

利用点差法得到，即可求出直线的方程，令，

即可求出，从而求出、，即可求出椭圆方程；

（2）联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，即可求出，

最后根据计算可得.

【详解】

（1）设，，因为的中点坐标为，

所以，，

因为，所以，即，所以，

又、，所以，

即，所以，

即，即，

所以直线的方程为，即，

令，解得，即，所以，则，

所以椭圆方程为；

（2）由，得，所以，，

则，，

所以，

所以.

21.已知椭圆过点．，分别为左右焦点，为第一象限内椭圆上的动点，直线，与直线分别交于，两点，记和的面积分别为，．

（1）试确定实数的值，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出的值；

（2）在（1）的条件下，若，求的值．

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）根据椭圆过点，可得椭圆方程，进而可得椭圆焦点，设点，利用距离公式可得与的关系，根据为定值，可得与的值；

（2）根据，的方程可得点与的坐标，进而可得与，可解得点的坐标，进而分别求得各线段长度，可得解.

【详解】

（1）设椭圆的焦距为，则，即，

所以，，

则，，

所以椭圆的方程为，设，，

则，又，即，

所以，

因为为定值，所以，解得，所以；

（2）由（1）得，直线，又，，，

则直线，令，则，所以，

同理直线，令，则，所以，

所以，

所以，

化简可得或，

解得或（舍），所以，，，

则，，，，

所以.

22.已知从曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为、一条渐近线方程为，过的直线与双曲线的右支交于，两点．

（1）求双曲线的方程；

（2）已知，若的外心的横坐标为，求直线的方程．

答案：

见解析

解析：

【分析】（1）根据双曲线中实轴以及渐近线方程，可得方程组，可得答案；

（2）根据三角形外心的定义，由直线与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示点的坐标，根据外心位于中垂线，利用外心到顶点的距离相等，可得答案.

【详解】

（1）由题意，则，由渐近线方程，即，

则，解得，故双曲线.

（2）已知，由（1）可知，，则，即，

①当直线斜率不存在时，直线方程为，将其代入双曲线方程，可得，解得，则，，

此时，为等腰三角形，边上中垂线为轴，若外心的横坐标，则，但此时，，，由，则不符合题意；

②当直线斜率存在时，设，

联立可得，消去可得：，

设，，则，，

由于，位于双曲线的右支，则直线与渐近线方程应满足或，，

记的中点，设，则在的中垂线上，

设直线的斜率为，则，

，显然，则，可得，

由，则，

又因，

可得，

整理可得：，

，

，，由，则，

直线方程为，即或.