2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．过点且与直线平行的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用平行直线的特点先设出待求直线方程，代入所过点可得答案.

【详解】由题意设所求方程为，

因为直线经过点，

所以，即，所以所求直线为.

故选：A.

2．若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（   ）

A．11 B．9 C．5 D．3

【答案】B

【分析】由双曲线的定义运算即可得解.

【详解】由双曲线的定义得，即，

因为，所以.

故选：B.

3．设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（    ）

A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面

C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直

【答案】C

【分析】根据线面的位置关系可选答案.

【详解】若直线l与平面平行，直线m在平面上，

则直线l平行于直线m或直线l与直线m异面，所以直线l与直线m没有公共点

故选：C

4．已知圆内一点P(2，1)，则过P点的最短弦所在的直线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设圆心，由圆的对称性可知过点与垂直的直线被圆所截的弦长最短

【详解】由题意可知，当过圆心且过点时所得弦为直径，

当与这条直径垂直时所得弦长最短，

圆心为，，

则由两点间斜率公式可得，

所以与垂直的直线斜率为，

则由点斜式可得过点的直线方程为，

化简可得，

故选：B

5．已知线段、在平面内，，线段，如果，，，则线段的长为　　

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由已知得，由此能求出线段的长．

【详解】解：如图，，

线段、在平面内，，

线段，，，，

，

线段的长．

故选：A.

6．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，｜AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知及抛物线的定义，可求，进而得抛物线的方程，可求，，的坐标，直线的方程，可得圆的半径，求得圆心，设的坐标，求得的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．

【详解】解：由题意，设，所以，解得，

所以抛物线的方程为，，，，

所以直线的方程为，

设圆心坐标为，，所以，解得，即，

圆的方程为，

不妨设，设直线的方程为，则，

根据，解得，

由，解得，

设，所以，

因为，

所以．

故选：B．

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是：首先求出圆的方程为，然后利用直线OM与圆E切于点M，求出M点的坐标，引入圆的参数方程表示N点坐标，再根据向量数量积的坐标表示及辅助角公式，可得所求范围．.

7．设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.

【详解】令，则

令，则

则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.

作出和的图像，观察交点个数，

可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，

由题意列不等式的：

解得：.

故选：B

【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便.

8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.

【详解】因为，所以，

如图，在上取一点M，使得，连接，则，

则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，

所以，

设，则，

由椭圆定义可知：，即，所以，

所以，，

故点A与上顶点重合，

在中，由余弦定理得：

，

在中，，

解得：，

所以椭圆离心率为.

故选：A

【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.

二、多选题

9．下列说法中，正确的有（    ）

A．直线必过定点（2，3）

B．直线在y轴上的截距为

C．直线的倾斜角为60°

D．点（1，3）到直线的距离为1

【答案】BCD

【分析】令的系数为0求解判断A；根据截距的定义判断B，求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角判断C，利用点到直线的距离的定义求距离判断D.

【详解】对A，直线过的定点坐标满足：，，故定点为，故A错误；

对B，在轴上的截距为，故B正确；

对C，直线的斜率为，故倾斜角满足，

即，故C正确；

对D，因为直线垂直于轴，故过作直线的垂线，垂足为，所以点到直线的距离为，故D正确.

故选：BCD

10．若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】将点坐标代入各方程判断是否在直线上，再求直线在x、y轴上的截距，即可得答案.

【详解】A：显然在上，且在x、y轴上的截距均为1，符合；

B：显然在上，且在x、y轴上的截距均为3，符合；

C：显然在上，且在x、y轴上的截距均为0，符合；

D：不在上，不符合.

故选：ABC

11．1.已知椭圆的左，右两焦点分别是，，其中．直线与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（    ）

A．的周长为

B．若的中点为M，则

C．若，则椭圆的离心率的取值范围是

D．若的最小值为，则椭圆的离心率

【答案】ACD

【分析】根据椭圆的定义判断A；用点差法判断B；先算出，进而根据A在椭圆上进行消元得到，然后结合椭圆的范围得到的范围，最后求出离心率的范围；根据的最小值为通径的长度求得答案.

【详解】对A，根据椭圆的定义的周长为，正确；

对B，设，则，所以，，

由，即，错误；

对C，

，则，正确；

对D，容易知道，的最小值为通径长度，于是，正确.

故选：ACD.

12．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且．若点，，分别为棱，，的中点，则　　

A．平面

B．直线和直线所成的角为

C．当点在平面内，且时，点的轨迹为一个椭圆

D．过点，，的平面与四棱锥表面交线的周长为

【答案】ABD

【分析】将该四棱锥补成正方体后可判断A、B正误；结合椭圆的定义可判断C的正误；结合空间中垂直关系的转化可判断D的正误．

【详解】解：将该正四棱锥补成正方体，可知位于其体对角线上，

则平面，故A正确；

设中点为，则，且，故B正确；

，在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转而成的椭球，

又平面与其长轴垂直，截面为圆，故C错误；

设平面与，交于点，，连接，，，，，，，，

，，，，

，而，故，同理，

而，平面，而平面，则，

平面，平面，，

，，平面，

平面，而平面，则，

，同理，，

又，，则，

而，

交线长为，故D正确．

故选：ABD.

三、填空题

13．双曲线的虚半轴长为______.

【答案】1

【分析】根据双曲线的方程直接求解即可.

【详解】由双曲线，可得,

所以该双曲线的虚半轴长为1.

故答案为:1.

14．已知，B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为______.

【答案】

【分析】结合线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等及椭圆定义得到正确答案．

【详解】解：圆，圆心为，半径为4，

因为线段的垂直平分线交于点，所以，

所以．

所以由椭圆定义知，的轨迹是以，为焦点的椭圆，方程为．

故答案为：．

15．由曲线围成的图形的面积为_______________．

【答案】

【详解】试题分析：当时，曲线 表示的图形为

以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为

，根据对称性，可知由曲线

围成的图形的面积为

【解析】本小题主要考查曲线表示的平面图形的面积的求法，考查学生分类讨论思想的运用和运算求解能力.

点评：解决此题的关键是看出所求图形在四个象限内是相同的，然后求出在一个象限内的图形的面积即可解决问题.

16．某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左､右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差为，则圆弧的半径为___________.

【答案】120

【详解】

如图所示，设圆弧圆心为，半径为，三个小球的球心自左至右分别为，，，设，

由题意可知，，

且，

即，

所以，解得，

故答案为：.

四、解答题

17．已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，–2），且圆心C在直线l：上，求该圆的标准方程．

【答案】（x+3）2+（y+2）2=25

【详解】试题分析：设圆心坐标为C（a，a+1），根据A、B两点在圆上利用两点的距离公式建立关于a的方程，解出a值．从而算出圆C的圆心和半径，可得圆C的方程．

解：∵圆心在直线x﹣y+1=0上，

∴设圆心坐标为C（a，a+1），

根据点A（1，1）和B（2，﹣2）在圆上，可得=，

解之得a=﹣3

∴圆心坐标为C（﹣3，﹣2），半径r=5

因此，此圆的标准方程是（x+3）2+（y+2）2=25．

【解析】圆的标准方程．

18．已知是函数的一个零点.

(1)求实数的值；

(2)求单调递减区间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用函数的零点的定义，求得实数的值．

（2）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得 的单调递减区间．

【详解】(1)解：因为，所以

由题意可知，即 ，

即 ，解得．

(2)解：由（1）可得，

函数的递减区间为．

令，得，

所以的单调递减区间为．

19．直线经过抛物线焦点F，且与抛物线相交于两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点.

(1)若直线的斜率为1，求线段的长；

(2)求证：直线平行于抛物线的对称轴.

【答案】(1)8；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题可得直线的方程为，联立抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的定义即得；

（2）由题可设直线方程可得，然后设直线的方程联立抛物线，根据韦达定理可得，即得.

【详解】(1)∵抛物线的焦点，准线方程为，

直线的方程为，联立方程，可得，

，

由抛物线的定义可知，；

(2)设直线的方程为：，

令，可得，

设直线的方程为：，联立方程，化为，

，即，

∴，即直线平行于抛物线的对称轴.

20．如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.

(1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；

(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦定理可得的大小，再根据正弦定理可得，进而求得扇形的半径，从而得到种植花卉区域的面积

（2）设，根据直角三角形中的关系可得关于的表达式，从而得到平行四边形的面积表达式，从而根据三角函数的最值求解即可

【详解】(1)由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半径，故种植花卉区域的面积

(2)设，则，故，，故平行四边形绿地占地面积，因为，故要面积最小，则当，即，时面积取得最小值，即多大时，平行四边形绿地占地面积最小

21．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为的正方形，为中点，且.

(1)求证：平面；

(2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由勾股定理证明，再由，可证平面，即得，由，可证平面；（2）由题意证明得两两垂直，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面的法向量，设，再由向量夹角的公式代入计算得，根据点到平面的距离公式代入计算，可得答案.

【详解】(1)证明：由题知，

，

又，所以，

又，平面，

所以平面，又平面，所以，

在正中，为中点，于是，

又，平面，所以平面

(2)取中点为中点为，则，

由（1）知，平面，且平面，

所以，又，

所以，平面

所以平面，于是两两垂直.

如图，以为坐标原点，的方向为轴､轴､轴的正方向，

建立空间直角坐标系，则，

，所以，

.

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，于是.

设，

则.

由于直线与平面所成角的正弦值为，

，

即，整理得

，由于，所以

于是.

设点到平面的距离为，则，

所以点到平面的距离为.

【点睛】方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

22．已知点在椭圆C：（）上，椭圆C的左､右焦点分别为F1，F2，的面积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：（）相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论.

【答案】(1)

(2)过定点，证明见解析

【分析】（1）结合题意，可得关于的方程，解之可得椭圆C的方程；

（2）先由直线与圆相切可得，再联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理分别求出，，，，代入可得的关系式，进而可得直线AB过定点.

【详解】(1)由题知，，的面积等于，

所以，解得，所以椭圆的方程为.

(2)设直线的方程为，直线的方程为，

由题知，所以，

所以，同理，，

所以是方程的两根，所以.

设，设直线的方程为，

将代入，得，

所以，①

②

所以，③

，④

又因为，⑤

将①②③④代入⑤，化简得，

所以，所以，

若，则直线，此时过点，舍去.

若，则直线，此时恒过点，

所以直线过定点.

【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．