湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题

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时量：120分钟，满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，其中为虚数单位，则（）
A. B. 1C. 3D.
2. 已知点，则直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“方程表示椭圆”的
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4. 将函数y＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 设a，b为两条直线，、为两个平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，，则
6. 若直线（，）平分圆，则的最小值是（ ）
A. 2B. 5C. D.
7. 已知是圆上的两个动点，为线段的中点，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上存在一点满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列各式中，值为的是（ ）
A B.
C. D.
10. 圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A. 公共弦AB所在直线方程为
B. 公共弦AB长为
C. 线段AB中垂线方程为
D. P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
11. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”；事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件B与事件C是互斥事件
B. 事件A与事件B是相互独立事件
C.
D.
12. 已知正数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若与平行，则_____________．
14. 已知椭圆的短半轴长为2，离心率为，则椭圆的长轴长是__________．
15. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，，，，到直线和的距离均为，则圆弧所在圆的半径为________cm．
16. 如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则球的体积为________，平面截球的截面面积为________．
四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 己知直线，．
（1）当时，直线过与交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；
（2）若坐标原点O到直线的距离为1，求实数的值．
18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）证明：；
（2）设D为BC边上的中点，点E在AB边上，满足，且，四边形ACDE的面积为，求线段CE的长．
19. 已知：圆过点，，，是直线上的任意一点，直线与圆交于、两点.
（1）求圆的方程；
（2）求的最小值.
20. 如图1，在平行四边形ABCD中，，，，将△ABD沿BD折起，使得平面平面，如图2．
（1）证明：平面BCD；
（2）在线段上是否存在点M，使得二面角大小为45°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21. 已知，当时．
（1）若方程有解，求实数的取值范围；
（2）若对于任意实数，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求实数的取值范围．
22. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线交椭圆于A、B两点，D是椭圆C上一点，直线OD的斜率为，且．T是线段OD延长线上一点，且，的半径为，OP，OQ是的两条切线，切点分别为P，Q，求的最大值．