湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

长郡中学2022-2023学年度高二第一学期第一次模块检测

数学

得分：___________

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.

第Ⅰ卷

一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.过点A（2，3）且与直线l：平行的直线方程是（    ）

A.    B.

C.    D.

2.若双曲线E：的左､右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且，则等于（    ）

A.11    B.9    C.5    D.3

3.设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（    ）

A.直线l平行于直线m    B.直线l与直线m异面

C.直线l与直线m没有公共点    D.直线l与直线m不垂直

4.已知圆内一点P（2，1），则过P点的最短弦所在的直线方程是（    ）

A.    B.

C.    D.

5.已知线段AB，BD在平面内，∠ABD=120°，线段，如果AB=a，BD=b，AC=c，则线段CD的长为（    ）

A.    B.

C.    D.

6.在平面直角坐标系中，若抛物线C：（）的焦点为F，直线与抛物线C交于A，B两点，，圆E为△FAB的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

7.设函数（），若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知椭圆（）的左､右焦点分别为F1，F2，经过F1的直线交椭圆于A，B，△ABF2的内切圆的圆心为I，若，则该椭圆的离心率是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.下列说法中，正确的有（    ）

A.直线（）必过定点（2，3）

B.直线在y轴上的截距为

C.直线的倾斜角为60°

D.点（1，3）到直线的距离为1

10.若直线过点P（1，2）且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（    ）

A.B.C.D.

11.已知椭圆C：（）的左､右两焦点分别是F1，F2，其中.直线l：（）与椭圆交于A，B两点.则下列说法中正确的有（    ）

A.△ABF2的周长为

B.若AB的中点为M，则

C.若，则椭圆的离心率的取值范围是

D.若AB的最小值为，则椭圆的离心率

12.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2.若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则（    ）

A.AG⊥平面PBD

B.直线FG和直线AB所成的角为

C.当点T在平面PBD内，且TA+TG=2时，点T的轨迹为一个椭圆

D.过点E，F，G的平面与四棱锥P−ABCD表面交线的周长为

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.双曲线的虚半轴长为________.

14.已知F（，0），B是圆C：上的任意一点，线段BF的垂直平分线交BC于点P.则动点P的轨迹方程为________.

15.曲线围成的图形面积是________.

16.某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为20cm的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左､右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差h为8cm，则圆弧的半径为________cm.

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）

17.（10分）

已知圆C经过A（1，1），B（2，）两点，圆心C在直线l：上，求圆C的标准方程.

18.（12分）

已知是函数的一个零点.

（1）求实数a的值；

（2）求单调递减区间.

19.（12分）

直线l经过抛物线焦点F，且与抛物线相交于A（，），B（，）两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D.

（1）若直线l的斜率为1，求线段AB的长；

（2）求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.

20.（12分）

如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以∠DCB和∠DAB为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD相切.

（1）若AD=，AB=，BD=37（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；

（2）若扇形的半径为10米，圆心角为135°，则∠BDA多大时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小？

21.（12分）

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为等边三角形，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，D为AB中点，且A1D=.

（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；

（2）若点P在线段B1C上，且直线AP与平面A1CD所成角的正弦值为，求点P到平面A1CD的距离.

22.（12分）

已知点P（1，1）在椭圆C：（）上，椭圆C的左､右焦点分别为F1，F2，△PF1F2的面积为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：（）相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论.

长郡中学2022-2023学年度高二第一学期第一次模块检测

数学参考答案

一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

5.A  【解析】线段在平面内，，线段，

，

线段的长.故选：A.

6.B  【解析】由题意，设，所以，解得，

所以抛物线的方程为，

所以直线的方程为.

设圆心坐标为，所以，解得，即，

圆的方程为，

不妨设，设直线的方程为，则，

根据，解得，由解得，

设，所以，

因为，所以.故选：B.

7.B  【解析】令，则，令，则，

则问题转化为在区间上至少有两个，至多有三个，使得，求的取值范围.作出和的图像，观察交点个数，

可知使得至少有两个，至多有三个满足的最短区间长度为，最长区间长度为，由题意列不等式：，

解得：.故选：.

8.A  【解析】因为，所以，

在上取一点，使得，连接，则，

则点为上靠近点的三等分点，所以，

所以，设，则，

由椭圆定义可知：，即，所以，

所以，故点与上顶点重合，

在中，由余弦定理得：

，

在中，，解得：，

所以椭圆离心率为.故选：A.

二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

11.ACD  【解析】对，根据椭圆的定义，的周长为，正确；对B，设，则，所以，由，即，错误；对C，

，

则，正确；

对D，容易知道，的最小值为通径长度，于是，正确.故选：ACD.

12.ABD  【解析】将该四棱锥补成正方体，可知位于其体对角线上，则平面，即A正确；

设中点为，则，且，即正确；

因为，故在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转形成的椭球，

又平面与其长轴垂直，所以截面为圆，即错误；

设平面与交于点，连接，

因为，故，

所以，而，故，同理，

而，故平面，而平面，则，

因为平面平面，故，

而，故平面，

而平面，故，因为，

则平面，而平面，则，

所以，同理，

又，则，

而，

所以交线长为，即D正确.

故选：ABD.

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.1    14.

15.  【解析】由题意，曲线关于原点对称，

当时，解析式为，

故可得此曲线所围的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成，所围成的面积是.故答案为：.

16.120  【解析】如图所示，设圆弧圆心为，半径为，三个小球的球心自左至右分别为，设，由题意可知，，且

即，所以，解得，故答案为：120.

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）

17.【解析】圆心在直线上，设圆心坐标为，

根据点和在圆上，

可得，解得，

圆心坐标为，半径，

此圆的标准方程是.

18.【解析】（1）因为，所以.

由题意可知，即，

即，解得.

（2）由（1）可得，

令，得，

所以的单调递减区间为.

19.【解析】（1）抛物线的焦点，准线方程为，

直线的方程为，联立方程，可得，

.由抛物线的定义可知，.

（2）证明：设.

直线的方程为：，令，可得.

设直线的方程为：，联立方程，化为，

直线平行于抛物线的对称轴.

20.【解析】（1）由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，

所以扇形的半径，

故种植花耂区域的面积.

（2）设，则，故，故平行四边形绿地占地面积

，因为，故要面积最小，则当，即时，面积取得最小值，即时，平行四边形绿地占地面积最小.

21.【解析】（1）证明：由题知，因为，

所以，又，所以，

又，所以平面，

又平面，所以，

在正三角形中，为中点，于是，

又，所以平面..

（2）取中点为中点为，则，

由（1）知平面，且平面，所以，

又，所以，所以平面，

于是两两垂直.

如图，以为坐标原点，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间

直角坐标系，则，

.

所以.

设平面的法向量为，

则即

令，则，于是.

设，则.

由于直线与平面所成角的正弦值为，

于是，即，整理得

，由于，所以

于是.

设点到平面的距离为，则，

所以点到平面的距离为.

22.【解析】（1）由题知，的面积等于，

所以，解得，所以椭圆的方程为..

（2）设直线的方程为，直线的方程为，

由题知，所以，

所以，同理，，

所以是方程的两根，所以.

设，设直线的方程为，

将代入，得，

所以，①

②

所以，③

，④

又因为，⑤

将①②③④代入⑤，化简得，

所以，所以，

若，则直线，此时过点，舍去.

若，则直线，此时恒过点（3，-3），

所以直线过定点.