2021-2022学年河北省衡水市景县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河北省衡水市景县九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 计算，结果用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在中，已知半径为，弦的长为，则圆心到的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 一元一次不等式的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，，平分，若，那么的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图所示是测量一物体体积的过程：
   步骤一，将的水装进一个容量为的杯子中．
   步骤二，将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满．
   步骤三，同样的玻璃球再加一个放入水中，结果水满溢出．
   根据以上过程，推测一颗玻璃球的体积在下列哪一范围内(    )

A. 以上，以下 B. 以上，以下
C. 以上，以下 D. 以上，以下

7. 若阿光以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，连接后的情形如下列选项中的图形所示，则下列哪一个图形不是轴对称图形(    )

A.  B.  C.  D.

8. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示，将一个含角的直角三角板绕点旋转，使得点，，在同一条直线上，则三角板旋转的角度是(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正六边形内接于，的半径为，则这个正六边形的边心距和的长分别为(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

11. 如图，在中，点在上，，交于点，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12. 给出一种运算：对于函数，规定例如：若函数，则有已知函数，则方程的解是(    )

A. ， B. ，
C.  D. ，

13. 已知点与点关于原点对称，则与的值分别为(    )

A. ； B. ； C. ； D. ；

14. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，，，，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则图中的正切值是(    )

A.  B.  C.  D.

15. 已知二次函数的图象如图所示，并且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：
    ；；；，
    其中，正确的个数有(    )

A.  B.  C.  D.

16. 如图，已知点，，且点在双曲线上，在的延长线上取一点，过点的直线交双曲线于点，交轴正半轴于点，且，则线段长度的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共3小题，共9分）

17. 计算：______．
18. 如图，观察图中的尺规作图痕迹，若，则的度数为______．

19. 如图，边长为的正方形中，点在边上不与点，重合，点在边上不与点，重合，第一次操作：将线段绕点顺时针旋转，当点落在正方形上时，记为点；第二次操作：将线段绕点顺时针旋转，当点落在正方形上时，记为点依次操作下去．若第二次操作后，点和点重合，则的长为______；若经过三次操作，得到四边形，且，则四边形的面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    计算：
    ；
    解方程：．
21. 本小题分
    从盒中机摸出一个小球求摸到标号数奇数的的概率；
    甲、乙两人用着六个小摸球游戏规则是：从盒中随机摸出一个小球下标号数字后放回盒里，充分匀后，乙再从随机出一个小，并记下号字．若两次摸小球标号数字同为奇数同数，则判赢；若次摸到小球的标号数为奇一偶，则判赢．请用列表画树状图方法明个游戏对、乙两人是公．
22. 本小题分
    阅读与证明：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
    传说古希腊毕达哥拉斯约公元年约公元前年学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过、、，由于这些数可以用图中所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数，第个三角形数可以用表示．
    任务：请根据以上材料，证明以下结论：
    任意一个三角形数乘再加是一个完全平方数；
    连续两个三角形数的和是一个完全平方数．
     

23. 本小题分
    在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
    求证：≌；
    证明四边形是菱形；
    若，，求菱形的面积．

24. 本小题分
    如图，直线与轴、轴分别相交于，两点，与双曲线在第一象限与第三象限分别交于，两点，过点作轴于点，且，点的坐标为．
    求双曲线的解析式；
    观察图象，直接写出不等式的解集；
    若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标．

25. 本小题分
    如图，是以为圆心的半圆的直径，半径，点是弧上的动点，且不与点、、重合，直线交直线于点，连接，．
    如图，若半圆的半径为，弧的长为时，求的长；
    如图，点是的中点，，当与半圆相切时，求的长；
    在点的运动过程中，的大小是否为定值？若是，直接写出的值，若不是，说明理由．
     

26. 本小题分
    小米利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具，已知小米所有玩具的进价均元个，在销售过程中发现：每天玩具销售量件与销售价格元件的关系如图所示，其中段为反比例函数图象的一部分，段为一次函数图象的一部分，设小米销售这种玩具的日利润为元．
    
    根据图象，求出与之间的函数关系式；
    求出每天销售这种玩具的利润元与元件之间的函数关系式，并求每天利润的最大值；
    若小米某天将价格定为超过元，那么要使得小米在该天的销售利润不低于元，求该天玩具销售价格的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故选：．
根据分式有意义的条件列出不等式解不等式即可．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：


．
故选：．
直接根据乘法分配律即可求解．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意灵活运用运算定律简便计算．
 

3.【答案】 

【解析】解：作于，连结，如图，
，
，
在中，，
，
即圆心到的距离为．
故选：．
作于，连接，根据垂径定理得到，然后在中利用勾股定理计算即可．
本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关键是根据勾股定理解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：不等式，
解得：，
如图所示：

故选：．
求出不等式的解集，表示出数轴上即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据角平分线定义求出，根据平行线性质得出，代入求出即可．
本题考查了角平分线定义和平行线的性质的应用，关键是求出的度数，再结合计算．
【解答】
解：平分，，
，
，
，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，，
故选：．
先求出剩余容量，然后分别除以和，就可知道球的体积范围．
特别注意水没满与满的状态．
 

7.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方式即可．
【解答】
解：，
，
．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
根据旋转角的定义即可求解．
【解答】
解：旋转角是．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：连接、，
六边形为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，

的长为：，
故选：．
连接、，根据正六边形的性质求出，根据等边三角形的判定定理得到为等边三角形，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，根据弧长公式求出的长．
本题考查的是正多边形和圆、弧长的计算，正确求出正六边形的中心角是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
∽，
，
，，
，
的值无法求解，
故选：．
由，可得出，由可得出∽，再利用相似三角形的性质即可得解．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力；注意：二次项系数要化为，根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．首先根据新定义求出函数中的，再与方程组成方程得出：，用直接开平方法解方程即可．
【解答】
解：由函数得，则，
，
，
，
，，
故选B．  

13.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，

解得．
故选：．
根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，求得、的值．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理逆定理以及锐角三角函数定义，正确得出是直角三角形是解题关键．
根据题意平移使点与点重合，进而得出，是直角三角形，再利用，进而求出答案．
【解答】
解：如图所示：平移到位置，使点与点重合，至位置，连接，

可得，
，，，
，
是直角三角形，
．
故选D．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握二次函数与方程之间的关系是解题关键．
直接利用抛物线与轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案．
【解答】

解：如图所示：图象与轴有两个交点，则，故错误；

图象开口向上，，
对称轴在轴右侧，
，异号，
，
图象与轴交于轴下方，
，
，故正确；
当时，，故错误；
二次函数的顶点纵坐标为：，
故二次函数向上平移小于个单位，则平移后解析式与轴有两个交点，此时关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
故，
解得：，
故正确．
正确的个数有个．
故选B．

16.【答案】 

【解析】解：过作于，
点，，
轴，，，
，
，
点在双曲线上，
，
反比例函数的解析式为：，
过点的直线交双曲线于点，
点的纵坐标为，代入得，，
解得，
，
当与重合时，如图，，
，
，
，
当轴时，，
，
故选：．
过作于，得到是梯形的中位线，根据反比例函数图形上点的坐标特征求出的坐标，当与重合时，如图，由，根据三角形的中位线的性质得到，根据勾股定理求得，当轴时，，于是求得结果．
本题考查了在平面直角坐标系中确定点的坐标，梯形和三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
根据负整数指数幂的性质和零次幂的性质计算即可．
此题主要考查了负整数指数幂和零次幂，关键是掌握零指数幂：，负整数指数幂：为正整数．
 

18.【答案】 

【解析】解：由作图痕迹可知，垂直平分，
点是的中点，
，
，
又，，
，
，
故答案为：．

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，可得到，进而得出的度数．
本题主要考查了作一条线段的垂直平分线以及垂径定理、圆周角的应用．
 

19.【答案】   

【解析】解：经过二次操作后，点与点重合，
，即是等边三角形，此时点与点重合，如解图所示，在与中，，
≌，
，
设，
在和中，
由勾股定理得，，
即，
解得，或舍；
，
连接，如解图如答图所示：连接、，作于，于．

由旋转性质可知，，
四边形是菱形，
由≌，可知，
四边形的形状为正方形，
，
，
，
，
故答案为：，，
，
，
，
故答案为：，．
由旋转性质，易得是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理求出的长；根据全等三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形，勾股定理、正确的理解题意是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式

；
整理，得：，
，
则或，
解得，． 

【解析】先化简二次根式、计算负整数指数幂和零指数幂，代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可；
整理成一般式，再将左边利用因式分解法因式分解，继而得到两个关于的一元一次方程，解之即可．
本题主要考查实数的运算和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，，，六个小球，
摸到小球的标数字为一奇偶结果有种，
树状图：

摸到标数为奇数的球的概率为：；
这个游对甲乙两人是公的． 

【解析】直接用率公进而得出答案；
画树状图，得出所有等可能的情况，找两摸到小球的标号数字为奇或为数情况数，即可求出求的概．
本题查了游戏公平性，用到的知点为：所情数与总情况比，确列出所可能是解题关键．
 

22.【答案】证明：第个三角形数为个，

即任意一个三角形数乘再加是一个完全平方数．
第个三角形数为个，第个三角形数为个，

，
即连续两个三角形数的和是一个完全平方数． 

【解析】第个三角形数再加，再利用完全平方公式整理得出答案即可；
分别用表示出第，个三角形数，进一步相加整理得出答案即可．
此题考查完全平方数，用字母表示出第个三角形数，利用完全平方公式因式分解是解决问题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
是的中点，
，
在和中，

≌；
证明：由知，≌，则．
为边上的中线
，
．
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，是的中点，
，
四边形是菱形；
连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
． 

【解析】利用平行线的性质及中点的定义，可利用证得结论；
由可得，结合条件可求得，则可证明四边形为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得，可证得四边形为菱形；
连接，可证得四边形为平行四边形，则可求得的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．
 

24.【答案】解：把代入中，求得，
，
由，把代入中，得，即，
把代入得：，
则双曲线解析式为；

联立并整理得：，解得或，
观察图象得，不等式的解集为或；

设，

在上，
，
当∽时，可得，即，
，即，
整理得：，
解得：或舍去，
；
当∽时，可得，即，
整理得：，
解得：或舍，
．
综上，或． 

【解析】把坐标代入直线解析式求出的值，确定出直线解析式，把代入直线解析式求出的值，确定出坐标，代入反比例解析式求出的值，即可确定出双曲线解析式；
观察函数图象即可求解；
设，代入反比例解析式得到，分两种情况考虑：当∽时；当∽时，由相似得比例求出的值，进而确定出的值，即可得出坐标．
此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的性质，待定系数法确定直线解析式，待定系数法确定反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

25.【答案】解：设，
的长为，，
，
解得，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
如图，过点作于，则，
是半圆的切线，
，
，
，
是的中点，
是的中点，
．
在中，由勾股定理得，，
，，
∽，
，即，
解得，
；
是定值，为，
理由如下：，，
，
当点在上时，如图，连接，
四边形为圆内接四边形，
，
当点在上时，如图，连接，
由圆周角定理得，，
综上所述，是定值，为． 

【解析】根据弧长公式求出，得到是等边三角形，得到，，根据含的直角三角形的性质解答；
过点作于，根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
分点在上、点在上两种情况，根据圆内接四边形的性质、圆周角定理解答即可．
本题考查的是弧长的计算、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握弧长公式、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

26.【答案】解段为反比例函数图象的一部分，，
当时，，
段为一次函数图象的一部分，且、，
设段为一次函数函数关系式为，
有，解得：，
当时，，
与之间的函数关系式为：；

当时，，
随着的增大，增大，也增大，
当时，取得最大值为，
当时，
，
，，
当时，取得最大值为，
综上所述，每天利润的最大值为元；
由题意可知：，
令，即，
解得：，，
由函数表达式及函数图象可知，要使，则，
当时，小米在该天的销售利润不低于元． 

【解析】此题主要考查了反比例函数以及二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
直接利用待定系数法得出反比例函数以及一次函数的解析式即可；
利用当时，当时，分别得出函数最值进而得出答案；
利用，得出的值，进而得出答案．