2021-2022学年河北省邯郸市曲周县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河北省邯郸市曲周县九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在一元二次方程中，常数项是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 一元二次方程根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断

4. 如图，是等边三角形的外接圆，的半径为，则等边三角形的边长为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在正方形网格中，和相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是(    )

A. 位似中心是点，相似比是：
B. 位似中心是点，相似比是：
C. 位似中心在点，之间，相似比为：
D. 位似中心在点，之间，相似比为：
 

6. 已知点在反比例函数的图象上，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 平面内有两点，，的半径为，若，则点与的位置关系是(    )

A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 圆上或圆外

8. 如图，是正五边形的外接圆，点是的一点，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 抛物线的函数表达式为，若将抛物线先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后的抛物线函数表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，点，，是上的三点，若，，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，∽，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

12. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把线段放大后得到线段若点，，，则点的对应点的坐标是(    )
     

A.  B.  C.  D.

13. 已知：如图，直线与双曲线在第一象限交于点，与轴、轴分别交于，两点，则下列结论错误的是(    )

A.
B. 是等腰直角三角形
C.
D. 当时，

14. 如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于，两点，若点的坐标是，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

15. 如图，在中，，，，点在边上由点向点运动不与点，点重合，过点作垂直交直角边于设，面积为，则关于的函数图象大致是(    )

A.
B.
C.
D.

16. 如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向左平移得，与轴交于点，若直线与，共有个不同的交点，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

17. 如图，中，点，分别在，边上，，若，，，则的长是______．

18. 若一个扇形的半径为，圆心角是，则它的面积是______．
19. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，轴于点，轴于点，连接，，则与的面积之和为______．

20. 如图，在正方形中，，点在的边上，且，与关于所在的直线对称，将按顺时针方向绕点旋转得到，连接，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
22. 本小题分
    如图，是的直径，，是的中点，连接并延长到点，使连接交于点，连接，．
    求证：直线是的切线；
    若，求的长．

23. 本小题分
    某博物馆展厅的俯视示意图如图所示嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
    求嘉淇走到十字道口向北走的概率；
    补全图的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．
     
24. 本小题分
    如图，等边三角形的边长为，点为上的一点，点为上的一点，连接、，．
    求证：∽；
    若，求的长．

25. 本小题分
    通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标后简称指标随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加，中间一段时间，指标保持平稳状态，随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标随时间分钟变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
    请求出当和时，所对应的函数表达式；
    杨老师想在一节课上进行某项运动的教学需要分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于才能达到较好的效果，他的教学设计能实现吗？请说明理由．

26. 本小题分
    如图，抛物线经过点，．
    求抛物线的解析式；
    抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，连接，求的长．
    在抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：一元二次方程中常数项是，
故选：．
根据一元二次方程的一般形式得出选项即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：找多项式的项时带着前面的符号．
 

2.【答案】 

【解析】解：列表如下：
，
共有种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占种，
所以小亮恰好站在中间的概率为，
故选：．
先利用列表法展示所以种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占种，然后根据概率定义求解．
本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，
，
此方程没有实数根．
故选：．
直接利用根的判别式进而判断得出答案．
此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：连接，并作于，则
，，
，
．
故选：．
连接，并作于；由于等边三角形五心合一，则平分，由此可求出的度数；在中，根据的半径和的度数即可求出的长，进而可得出的边长．
此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，在正方形网格中，和相似，连接，，

位似中心在点，之间，
又，
相似比为：，
故选：．
在正方形网格中，和相似，连接，，即可得到位似中心在点，之间，相似比为：．
本题考查了正方形的性质、位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
 

6.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
解得．
故选：．
直接把点代入反比例函数，求出的值即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：的半径为，若，
，
点与的位置关系是点在外，
故选：．
已知圆的半径为，点到圆心的距离是，当时，点在内，当时，点在上，当时，点在外，根据以上内容判断即可．
本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆的半径为，点到圆心的距离是，当时，点在内，当时，点在上，当时，点在外．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，．

是正五边形，
，
，
故选：．
连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将抛物线，向上平移个单位长度，再右平移个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为，即．
故选：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
利用圆周角定理可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：∽，和分别是和的高，，，
，
与的面积的比，
故选：．
根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了位似变换，坐标与图形，正确得出对应点的关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．
【解答】
解：以原点为位似中心，把线段放大后得到线段，且，，
，
，
．
故选B．  

13.【答案】 

【解析】解：点在双曲线上，
，正确；
选项不符合题意；
．
在直线上，
．
，正确；
选项不符合题意；
直线的解析式为
令，则，
．
．
令，则，
．
．
．
为等腰直角三角形，正确；
选项不符合题意；
由图像可知，当时，．
选项不正确，符合题意．
故选：．
利用待定系数法求得，，利用直线的解析式求得，的坐标，可得线段，的长度，利用图象可以判断函数值的大小．
本题主要考查了一次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，待定系数法，数形结合．利用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，连接，则，
由题意可知，与轴相切于原点，
设，则，，
轴，且，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由与轴相切于原点可知是的半径，作于点，连接，则，设，则，，，可得，，在中根据勾股定理列方程求出的值，再由求出点的坐标．
此题考查圆的切线的性质，垂径定理、勾股定理、图形与坐标等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
当点与点重合时，，此时，
当时，，此抛物线开口方向向上；
当时，，此抛物线开口方向向下；
故符合题意的图象是选项D．
故选：．
分段函数，当时，是的二次函数，开口方向向上；当时，是的二次函数，开口方向向下，据此判断即可．
本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点在上这种情况．
 

16.【答案】 

【解析】解：令，
即，
解得或，
则点，，
由于将向左平移个长度单位得，
则解析式为，
当与相切时，
令，
即，
，
解得，
当过点时，
即，
，
当时直线与、共有个不同的交点，
故选：．
首先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案．
本题主要考查抛物线与轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
∽，
：：，
，，
，
：：，
．
故答案为：．
首先由，可证得∽，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得的长．
本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．
 

18.【答案】 

【解析】解：扇形的面积，
故答案为．
利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式．
 

19.【答案】 

【解析】解：函数的图象经过点，，轴于点，轴于点，
，
．
故答案为．
根据反比例函数比例系数的几何意义可得，再相加即可．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：过反比例函数图象上的点向轴或轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，连接．
与关于所在的直线对称，
，．
按照顺时针方向绕点旋转得到，
，．

．
．
≌．
．
四边形是正方形，
．
，
．
在中，，
，
故答案为：．
连接先判定≌，即可得到再根据，，利用勾股定理即可得到，中，，进而得出的长．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

21.【答案】解：，
，，，
，
，
；

，
，
或，
，． 

【解析】利用公式法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，



是的直径，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
直线是的切线；
解：，
由得：≌，
，
，
，
，
． 

【解析】证明≌，可得，可得结论；
由得：≌，则，根据勾股定理得：，利用面积法可得的长．
本题考查圆的有关知识，切线的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：嘉淇走到十字道口后向北，向南，向西走的可能性均相同，
所以嘉淇走到十字道口向北走的概率为；
补全树状图如下：

共有种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有种，向南参观的结果有种，向北参观的结果有种，向东参观的结果有种，
向西参观的概率为，向南参观的概率向北参观的概率向东参观的概率，
嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率大． 

【解析】直接由概率公式求解即可；
补全树状图，共有种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有种，向南参观的结果有种，向北参观的结果有种，向东参观的结果有种，由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】证明：在等边三角形中，，
，，
，
∽；
解：∽，，
，
，
，
等边三角形的边长为，，，
，，
，
． 

【解析】由为等边三角形，易得，又，由外角性质可得，利用相似三角形的判定定理可得∽；
利用相似三角形的性质可得，易得，可得，再利用，可得，从而可得答案．
本题主要考查了相似三角形的性质及判定，由条件证得∽，∽是解答此题的关键．
 

25.【答案】解：设分钟的函数解析式为，分钟的函数解析式为，
，，
，，
分钟的函数解析式为，分钟的函数解析式为；
杨老师的教学设计能实现，
理由：将代入中，得，
将代入中，得，
，
杨老师的教学设计能实现． 

【解析】设分钟的函数解析式为，分钟的函数解析式为，代入数据解方程即可得到结论；
将代入中，求得，将代入中，求得，于是得到结论．
本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用、解题的关键是求出和时的解析式．
 

26.【答案】解：抛物线经过点，，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
，
点的坐标是，点的坐标是，
，，
；
抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形，如图：
设，
，，
，，，
当是斜边时，，如图：

，
整理化简得：，
解得舍去或，
；
当为斜边时，，如图：

，
整理化简得，
解得舍去或，
，
综上所述，点的坐标为或 

【解析】用待定系数法可得抛物线的解析式为：；
由，得点的坐标是，点的坐标是，即知，，故BD；
设，可得，，，分两种情况：当是斜边时，，即，可解得；当为斜边时，，即，可解得
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、直角三角形判定、两点间距离等知识，解题的关键是用含的代数式表示的坐标，用勾股定理列方程．