2021-2022学年陕西省西安市未央区博爱国际学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年陕西省西安市未央区博爱国际学校八年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各数中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知点在直线上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列命题中是真命题的是(    )

A. 相等的角是对顶角
B. 全等三角形对应边上的高相等
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D. 不相交的两条直线是平行线

5. 一组数据：，，，，，若它们的中位数是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，和的平分线相交于点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在长为的线段上，用尺规作如下操作：过点作，使得，连接，在上截取，在上截取，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高，则每块墙砖的截面面积是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

9. 的立方根是______．
10. 在甲、乙两块水稻田中，随机测量若干株水稻的高度后，计算方差分别为，，则两块水稻田稻苗高度比较均匀的是______填“甲”或“乙”
11. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，若点和点关于轴对称，则点的坐标为______．
12. 已知，是一次函数的图象上的两点，则______填“”、“”或“”．
13. 如图，在中，，，是的外角，若与的平分线交于点，则的大小为______．

三、解答题（本大题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 本小题分
    计算：．
15. 本小题分
    如图，，点在上，、、三点在同一条直线上，且．
    求证：．

16. 本小题分
    解方程组：．
17. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，作关于轴对称的图形．

18. 本小题分
    小雨同学参加了学校举办的“抗击疫情，你我同行”主题演讲比赛，她的演讲内容、语言表达和形象风度三项的得分分别为分，分，分，若这三项依次按照，，的百分比确定成绩，求小雨的综合得分．
19. 本小题分
    如图，在中，，，求的度数．

20. 本小题分
    小明家装修，电视背景墙长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案图中阴影部分除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．结果化为最简二次根式

21. 本小题分
    如图，在中，为的中点，且，交于点，，，，求的长．

22. 本小题分
    入冬后的寒潮横扫我国大部分城市，某单位为给员工准备新年礼物，计划购进、两款暖手宝共个，已知购进个款暖手宝与个款暖手宝共需元，购进个款暖手宝与个款暖手宝共需元．求每个款暖手宝和每个款暖手宝的价格．
23. 本小题分
    如图，，，，在同一条直线上，．
    若，，求的度数．
    若，求证：．

24. 本小题分
    “公益日”是一年一度的全民公益活动日，学校组织学生参加慈善捐款活动，为了解学生捐款情况，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制了统计图和图请根据相关信息，解答下列问题：
    
    本次接受调查的学生人数为______，图中的值为______．
    求统计的这组学生的捐款数据的平均数、众数和中位数．
    根据统计的这组学生所捐款的情况，若该校共有名学生，估计该校共筹得善款多少元？
25. 本小题分
    我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”例如，在图中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
    如图，在“对顶三角形”与中，，则______
    如图，在中，、分别平分和，若，比大，求的度数．
     

26. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，、、为坐标轴上的三个点，且，过点的直线交直线于点，交轴于点，的面积为．
    求点的坐标．
    求直线的表达式及点的坐标．
    过点作，交直线于点，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是分数，属于有理数；是无理数；是有限小数，属于有理数．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：由三角形外角的性质可知：．
故选：．
根据三角形外角的性质计算即可．
本题考查三角形外角的性质，解题关键是熟知三角形的外角等于不相邻的两个内角和．
 

3.【答案】 

【解析】解：点在直线上，
，
解得，．
故选：．
将代入直线，然后解关于的方程即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：相等的角是不一定为对顶角，所以选项不符合题意；
B.全等三角形对应边上的高相等，所以选项符合题意；
C.两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以选项不符合题意；
D.在同一平面内，不相交的两直线是平行线，所以选项不符合题意．
故选：．
根据对顶角的定义对进行判断；根据全等三角形的性质对进行判断；根据平行线的性质对进行判断；根据平行线的定义对进行判断．
本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

5.【答案】 

【解析】解：除外个数由小到大排列为，，，，，
因为原数据有个数，
因这组数据的中位数是；
所以，只有才成立，
即．
故选：．
利用中位数的定义，只有和的平均数可能为，从而得到的值．
本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

6.【答案】 

【解析】解：平分，平分，
设，，
则有：
，，
且，
，
解得：，
故选：．
根据角平分线得到两组相等的角，可各设为和，再在和中用内角和定理即可得出和的关系．
本题考查角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握三角形是内角和定理进行导角是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
故选：．
利用可得，由勾股定理得：，根据，再求出即可求解．
本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长．
 

8.【答案】 

【解析】解：设每块墙砖的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
，
每块墙砖的截面面积是．
故选：．
设每块墙砖的长为，宽为，观察图形，根据长方形墙砖长宽之间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可求出，的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每块墙砖的截面面积．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：
的立方根是．
直接利用立方根的定义计算．
此题主要考查了立方根的定义，注意负数的立方根还是负数．
 

10.【答案】乙 

【解析】解：，，
，
两块水稻田稻苗高度比较均匀的是乙，
故答案为：乙．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

11.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，点和点关于轴对称，
点的坐标为．
故答案为：．
根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
此题主要考查了关于轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

12.【答案】 

【解析】解：一次函数中，，
随的增大而增大．
，
．
故答案为：．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的值即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，是的外角，
，
与的平分线交于点，
，，
是的外角，
．
故答案为：．
由三角形的外角性质可得，再由角平分线的定义可得，，再利用三角形的外角性质即可求的度数．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质并灵活运用．
 

14.【答案】解：原式


． 

【解析】先利用二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
 

15.【答案】证明：，
，
，
，
． 

【解析】根据，可得，进而得出，再根据平行线的判定方法可得．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
得：
，
得：
，
解得：，
把代入得：
，
解得：，
原方程组的解为：． 

【解析】利用加减消元法进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示，即为所求．
 

【解析】分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可．
本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．
 

18.【答案】解：由题意可得，


分，
答：小雨的综合得分是分． 

【解析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出户小雨的综合得分．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
 

19.【答案】解：，
，
在中，．
，
答：的度数为． 

【解析】依据三角形外角性质，即可得到的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到的度数．
本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
 

20.【答案】解：由题意可得：



，
答：壁布的面积为． 

【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
 

21.【答案】解：，
，
，，
，
，
，
，
，
为的中点，
． 

【解析】根据勾股定理求解即可．
此题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：设每个款暖手宝的价格为元，每个款暖手宝的价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：每个款暖手宝的价格为元，每个款暖手宝的价格为元． 

【解析】设每个款暖手宝的价格为元，每个款暖手宝的价格为元，利用总价单价数量，结合“购进个款暖手宝与个款暖手宝共需元，购进个款暖手宝与个款暖手宝共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

23.【答案】解：，，
，
，
；
证明：，，
，
． 

【解析】根据等量关系和三角形外角的性质可求的度数．
根据平角的定义和等量关系可得，再根据平行线的判定即可求解．
本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，关键是熟悉内错角相等，两直线平行的知识点．
 

24.【答案】   

【解析】解：由条形图可知，捐款金额为元的有人，
由扇形图可知，捐款金额为元的占，
则本次接受调查的学生人数为：人，
，
，
故答案为：；；
捐款金额为元的人数为：人，
元，
捐款金额为元的人数最多，
这组学生的捐款数据的众数是元，
中位数为：元；
名学生的捐款总数为：元，
则该校名学生估计共筹得善款为：元，
答：估计该校共筹得善款元．
根据条形图、扇形图得出捐款金额为元的人数和所占的百分比，进而求出本次接受调查的学生人数，根据百分比之和为求出；
根据平均数、众数、中位线的概念解答；
求出样本平均数，利用样本平均数估计总体平均数，计算即可．
本题考查的是条形图、扇形图、样本估计总体，解答这类题目，观察图表要细致，对应的图例及其关系不能错位，计算要认真准确．
 

25.【答案】 

【解析】解：由对顶三角形可得，
在中，，
，
故答案为：；
、分别平分和，
，，
又，
，
，
，
，
由图知与为对顶三角形，
，
又比大，
，
联立得，
解得，
．
答：的度数为．

由对顶三角形可得，再根据三角形内角和定理即可得到答案；
根据角平分线的性质可得，，根据三角形内角和定理可得到，进而得到，由图知与为对顶三角形得出，由题意知比大，联立方程组即可解得答案．
本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键．
 

26.【答案】解：由题可得，，，
设为，则
，解得，
的解析式为，
，
，
的面积为，
，
解得，
当时，，
解得，
点的坐标为．
由题可得，，
设直线的表达式为，则
，解得，
直线的表达式为，
令，则，
点的坐标为．
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】依据待定系数法即可得到的解析式，再根据的面积，即可得到点的横坐标以及纵坐标；
利用待定系数法即可得到的解析式，进而得出点的坐标；
依据，，即可得到，再判定≌，即可得到，即可得出．
本题主要考查了一次函数的综合运用，掌握待定系数法以及全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．