2021-2022学年陕西省西安市莲湖区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年陕西省西安市莲湖区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列汽车图标中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 把下列分式中，的值都同时缩小到原来的，那么分式的值保持不变的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在▱中，：：，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在中，，，，分别是边，的中点，长为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，点的坐标为，点的坐标为，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

9. 分解因式______．
10. 已知一个正多边形的外角和是它的内角和度数的，那么这个正多边形的每个内角的度数为______．
11. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交的延长线于点，则长为______．

12. 关于的不等式的解集为，则实数的值为______．
13. 如图，在中，，，是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，为上一点，且，连接，那么的最小值为______．

三、解答题（本大题共13小题，共81分）

14. 解不等式组：．
15. 计算：．
16. 解分式方程：．
17. 如图，为的边上一点，请用尺规作图，在边上找到一点，使得是以为底边的等腰三角形保留作图痕迹，不写作法，

18. 如图，，分别为平行四边形的边，的延长线上的点，连接，，若，求证：四边形是是平行四边形．

19. 分解因式，并求值，其中，．
20. 如图，在中，，，，、分别是、的垂直平分线，求的长．

21. 如图，在直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中点坐标为．
    将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到画出．
    求证：四边形是平行四边形．

22. 某食品工厂生产蛋黄肉粽，由于端午节临近，该食品工厂接收了一个公司的端午福利订单，由一车间完成该订单，共需生产万个粽子，计划天完成．
    该食品工厂的计划是安排名工人恰好按时完成，若所有工人生产效率相同，则每名工人每天应生产蛋黄肉粽______个用含的式子表示．
    该食品工厂一车间安排名工人按原计划生产天后，公司提出由于物流需要时间，希望可以提前几天交货，所以食品工厂又从其它车间抽调了名工人参加该订单的生产所有工人生产效率相同，结果该车间提前天完成了该订单．问食品工厂一车间原计划安排了多少名工人生产蛋黄肉粽？
23. 如图，在四边形中，，是上一点，点与点关于点中心对称，连接并延长，与延长线交于点．
    填空：是线段的______，点与点关于点______成中心对称，若，则是______三角形．
    四边形的面积为，求的面积．

24. 防疫是目前社会最重要的一件事，防疫处处都要落实到位，尤其是人员密集的地点．某商场为了做好防疫工作，后勤部计划购人一批免洗消毒洗手液放至商场各处．购入的这批洗手液共有和两种规格，后勤部调查发现若购入的洗手液瓶和的洗手液瓶时，需要花费元；若购入两种规格洗手液各瓶时，需要花费元．
    洗手液和洗手液的单价分别为多少元？
    该商场计划购入洗手液和洗手液共瓶，若购入这两种规格洗手液的经费不超过元，且购入洗手液的数量不少于洗手液的倍，那么该商场有哪几种购入方案？
25. 我们小学学分数时学过真分数和假分数，初中我们又学习了分式，现在我们来了解一下什么是“真分式”和“假分式”，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，称为“真分式”，如，；当分子的次数大于或等于分母的次数时，称为“假分式”，如：，假分式也可以化为带分式的形式，即为整式与“真分式”的和的形式，如：，．
    分式是分式______填“真”或“假”．
    请将分式化为带分式的形式，问当的值为整数时，求整数的所有可能值．
26. 问题提出
    如图，为等边三角形，边长为，动点从点出发，沿着三角形的三条边顺时针方向以的速度运动，动点从点出发，沿着三角形的三条边逆时针方向以的速度运动．动点、同时出发，当点在上运动且时，求点运动的时间．
    问题解决
    某小区有一个边长为米的等边三角形花坛，六一将至，物业借助花坛举办了一个有奖活动，一家四口举着一根长绳在花坛三边任选位置站立不能站在各边中点上，四人拉紧、拉直长绳后长绳可有剩余可得到一个四边形，如工作人员量得这个四边形是平行四边形，则可领取奖品一份．笑笑和爸爸、妈妈、奶奶一起参加活动，四人的方案是奶奶在点站立不动，妈妈在边上某点处站立不动，爸爸从点出发，沿着花坛顺时针方向以米秒的速度走动可看作花坛边上运动的点，同时笑笑从点出发，沿着花坛逆时针方向以米秒的速度走动可看作花坛边上运动的点若笑笑出发不到秒，一家人就得奖了，那么妈妈所选的位置距点多少米？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
B.原式不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C.原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D.原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，分式的值改变，故A选项不符合题意；
B.，分式的值不变，故B选项符合题意；
C.，分式的值改变，故C选项不符合题意；
D.，分式的值改变，故D选项不符合题意；
故选：．
将原分式中的、用、代替，将分式化简，再与原分式进行比较．
本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：▱中，：：，，
，
．
故选：．
根据平行四边形的邻角互补即可得到，再根据进行计算即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，解题时注意：平行四边形的对角相等．
 

5.【答案】 

【解析】
解：如图，，且当时，，所以关于的不等式的解集为．
故选：．
写出直线在直线下方所对应的自变量的取值范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

6.【答案】 

【解析】解：，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：把沿轴向右平移到，
四边形是平行四边形，
，和的纵坐标相同，
点的坐标为，四边形的面积为，
，
，
点的坐标为，
，
故选：．
根据平移的性质得出四边形是平行四边形，根据四边形的面积求得的长，即可求得的坐标．
本题考查了坐标与图形的变换平移，平移的性质，平行四边形的性质，求得平移的距离是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：原分式方程可化为：，
，
解得，
关于的分式方程的解是正数，
，
解得：且．
故选：．
解分式方程，用表示，再根据关于的分式方程的解是正数，列不等式组，解出即可．
本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程、一元一次不等式的步骤，根据关于的分式方程的解是正数，列不等式组是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

10.【答案】 

【解析】解：设多边形的边数为．
因为正多边形内角和为，正多边形外角和为，
根据题意得：，
解得：．
这个正多边形的每个内角的度数为：．
故答案为：．
先由多边形的内角和和外角和的关系判断出多边形的边数，即可得到结论．
本题考查了正多边形的内角与外角，正多边形的性质；熟练掌握正多边形的性质，求出正多边形的边数是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，．
在平行四边形中，，则．
的平分线交的延长线于点，
．
．
．
．
故答案为：．
利用平行四边形的性质得出，进而得出，再利用角平分线的性质得出，进而得出，则，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
关于的不等式的解集为，
，
解得，
故答案为：．
由不等式得出，结合于的不等式的解集为，得到，解之即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

13.【答案】 

【解析】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，过作于，如图：

中，，，
，，
是等边三角形，
，，
，
设，则，，
，，
，
，
是的中点，
，
，
当时，取最小值，最小值为，
故答案为：．
以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，过作于，由中，，，得，，根据是等边三角形，可得，设，则，，可得，，而，有，从而，即可得最小值为．
本题考查直角三角形中的旋转变换，解题的关键是建立直角坐标系，用含的代数式表示的坐标．
 

14.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】解：



． 

【解析】先算括号内的式子，然后计算出括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

16.【答案】解：方程的两边同乘以，
得，
解得，
检验：当时，，
所以是原方程的解． 

【解析】在方程的两边同乘以去分母，解一元一次方程得出的值，然后检验即可．
本题考查了解分式方程，解题的关键是能够熟练去分母，不要漏乘常数，不要漏写检验．
 

17.【答案】解：如图，点为所作．
 

【解析】作的垂直平分线交于，则，所以是以为底边的等腰三角形．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
在和中，
，
≌，
；
，
即，
又，
四边形是平行四边形． 

【解析】证≌，得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：当，时，
原式


． 

【解析】先因式分解，再代值计算．
本题考查因式分解的应用，先正确因式分解再整体代换求值是求解本题的关键．
 

20.【答案】解：连接，，
，，
，
是的垂直平分线，
，
．
是的垂直平分线，
，
．
，，
是等边三角形，
，
，
． 

【解析】由，，可得，由、的垂直平分线分别交于、两点，可得，，则可得，继而求得是等边三角形，由，即可求得的长．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．熟练掌握转化思想与数形结合思想是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：如图，为所作；

证明：先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，
，，
四边形是平行四边形． 

【解析】利用点平移的坐标变换规律得到点、、的坐标，然后描点即可；
根据平移的性质得到，，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．
本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了平行四边形的判定．
 

22.【答案】 

【解析】解：每名工人每天应生产蛋黄肉粽个，
故答案为：；
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意；
答：食品工厂一车间原计划安排了名工人生产蛋黄肉粽．
根据名工人天恰好生产万个粽子，即可求得；
根据该订单共生产万个粽子列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，表示出每名工人生产效率并根据题意找出等量关系是解题的关键．
 

23.【答案】中点    等腰 

【解析】解：点与点关于点中心对称，
是线段的中点，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
点与点关于点成中心对称，
，
，
则是等腰三角形．
故答案为：中点，，等腰；

≌，
与面积相等，
的面积等于四边形的面积，
四边形的面积为，
的面积为．
利用中心对称的定义回答即可，然后证得，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可；
得到三角形的面积等于三角形的面积，从而得到答案．
本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解中心对称的定义，利用中心对称的定义判定两点关于某点成中心对称．
 

24.【答案】解：设的洗手液单价为，的洗手液单价为，
购入的洗手液瓶和的洗手液瓶需要花费元，购入两种规格洗手液各瓶时需要花费元，
，
化简可得：
，
由可得：
，
，
的洗手液单价为元，的洗手液单价为元；
设购入洗手液瓶，则购入洗手液为瓶，
购入这两种规格洗手液的经费不超过元，
，
解得：，
购入洗手液的数量不少于洗手液的倍，
，
解得：，
，
为整数，
当时，，即购入洗手液瓶，洗手液瓶，
当时，，即购入洗手液瓶，洗手液瓶，
当时，，即购入洗手液瓶，洗手液瓶，
当时，，即购入洗手液瓶，洗手液瓶，
该商场有购入洗手液瓶，洗手液瓶或购入洗手液瓶，洗手液瓶或购入洗手液瓶，洗手液瓶或购入洗手液瓶，洗手液瓶这种购入方案． 

【解析】设的洗手液单价为，的洗手液单价为，由购入的洗手液瓶和的洗手液瓶需要花费元可得，由购入两种规格洗手液各瓶时需要花费元可得，解出方程组即可；
设购入洗手液瓶，则购入洗手液为瓶，由购入这两种规格洗手液的经费不超过元可得，解得，由购入洗手液的数量不少于洗手液的倍可得，解得，从而得出的范围，即可求解．
本题考查一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是正确设出未知量，列出不等式．
 

25.【答案】假 

【解析】解：分子次数高于分母次数，
改分式是“假分式”．
故答案为：假．
原式．
原分式的值是整数，
是因数，
，，
是整数，
，．
根据真分式和假分式的定义判断即可．
先化为带分式，再求值．
本题考查用新定义解题，理解新定义是求解本题的关键．
 

26.【答案】解：设点运动秒，点在上运动且，如图，

为等边三角形，边长为，
，，
，
由题意可知：，，
，
，
解得：，
点运动的时间为秒；
是边长为米的等边三角形，
，．
设笑笑出发秒，一家人就得奖了，
则笑笑走了米，笑笑的爸爸走了米，
米，米，
米，米，

四边形为平行四边形，
米，，
，，
，
是等边三角形，
米，
，
解得，
米．
笑笑出发不到秒，一家人就得奖了，那么妈妈所选的位置距点米． 

【解析】设经过秒钟垂直于，解直角三角形即可得到结论；
根据题意设笑笑出发秒，一家人就得奖了，则笑笑走了米，笑笑的爸爸走了米，即米，米，可得米，米，然后证明是等边三角形，可得米，列出方程即可解决问题．
本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．