2021-2022学年陕西省西安市未央区西航一中九年级（下）收心数学试卷（含解析）

2021-2022学年陕西省西安市未央区西航一中九年级（下）收心数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，该几何体的左视图是

A.
B.
C.
D.

3. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于

A.
B.
C.
D.

5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是

A.  B.  C. 且 D. 且

6. 如图，点在的边上，要判断∽，添加一个条件错误的是

A.
B.
C.
D.
 

7. 已知点，，是函数图象上的三点，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D. 无法确定

8. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：；当时，随增大而减小；；若方程没有实数根，则；其中正确结论的个数是

1. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二．填空题（本题共5小题，共15分）

9. 若，是方程的两根，则______，______．
10. 若函数是关于的二次函数，则的值为______．
11. 将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析式为______．
12. 如果，则的形状是______．
13. 如图，位于第二象限的点在反比例函数图象上，点在轴的正半轴上，连接交轴于点若点是的中点，且的面积为，则的值为______．
    
     

三．计算题（本题共2小题，共10分）

14. 计算．
    
    
    
    
    
    
     
15. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共11小题，共71分）

16. 在同一时刻两根垂直于水平地面的木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿，它的影子，木竿的影子有一部分落在了墙上，，，求木竿的长度．

17. 如图，在中，是边的中点，请用尺规在边上找出一点，满足要求：不写作法，保留作图痕迹
    
     

18. 如图，以正方形的对角线为一边，延长到，使，以为一边作菱形，若菱形的面积为，求正方形边长．

19. 如图，四边形、、都是正方形，请你在图中找出一对相似比不等于的相似三角形，并说明理由．

20. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
    
    某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
    在抢答环节中，若答对一题，可从枚邮票中任意抽取枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是______；
    在抢答环节中，若答对两题，可从枚邮票中任意抽取枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，中，，垂足是，若，，．
    求：的值；
    的值．
    
     

22. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
    
    这次活动共调查了______人；
    在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为______；
    在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图是一台手机支架，图是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测量知，当，转动到，时，求点到的距离．结果保留小数点后一位，参考数据：，

24. 如图，一次函数的图象与反比例函数交于点．
    ______；______；
    一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，将线段沿射线的方向平移，使得点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求此时点的对应点的坐标．

25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，点为二次函数图象的顶点，点在轴上．
    求二次函数的解析式；
    根据图象，求二次函数的函数值大于时，自变量的取值范围．
    
    
    
     

26. 【问题情境】
    如图，四边形是正方形，是边上的一点，是边的中点，平分．
    【探究发现】
    请你判断、、三条线段的数量关系，并说明理由
    是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
    【拓展延伸】
    若四边形是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图，上述、中的结论是否仍然成立？请分别作出判断，不需要证明．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：方程是关于的一元二次方程，
，
，
，
故选：．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程．由定义求解即可．
本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：从左边看是一个正方形被水平的分成部分，中间的两条分线是虚线，故C正确；
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示．
 

3.【答案】
 

【解析】解：，
整理得：，
配方得：，即．
故选：．
将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知移到左边，二次项系数化为，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方即可求出解．
 

4.【答案】
 

【解析】解：菱形的周长为，
，
是菱形，

是的中点，
为边中点，
是的中位线，
．
故选：．
根据菱形的四条边都相等求出，菱形的对角线互相平分可得，判断是的中点，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
则且，
解得：且，
故选：．
根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、，，
∽，故此选项不符合题意；
B、，，
∽，故此选项不符合题意；
C、，，
∽，故此选项不符合题意；
D、两组边对应成比例的两个三角形不一定相似，故此选项符合题意．
故选：．
根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：点，，是函数图象上的三点，
，，．
，

故选：．
把点、、的坐标分别代入函数解析式，求得、、的值，然后比较它们的大小．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象上点坐标都满足该函数解析式．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．
【解答】
解：二次函数与轴有两个交点，，故错误；
顶点坐标为结合图象可知：当时，随增大而减小，故正确；
由抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点在和之间，
时，，故正确；
当时，抛物线与直线没有交点，
方程没有实数根，故正确；
对称轴，
，
当时，，
，故正确，
故正确的有个，
故选C．  

9.【答案】 
 

【解析】解：根据韦达定理可知，，，
故答案为：，
直接根据根与系数关系，可得．
本题考查一元二次方程的根与系数的关系即韦达定理，两根之和，两根之积．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由题意得：
且，
且，
，
故答案为：．
根据二次函数的定义，可得且，然后进行计算即可解答．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得新抛物线的解析式为，即．
故答案为：．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

12.【答案】等边三角形
 

【解析】

【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及非负数的性质．
根据特殊角的三角函数值以及非负数的性质求解．
【解答】
解：由题意得，，，
，，
则．
故为等边三角形．
故答案为等边三角形．  

13.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作轴于，

点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
根据反比例函数的几何意义得，
，
，
．
故答案为：．
过点作轴于，则≌，即可求得，得出，再根据反比例函数的的几何意义得结果．
本题主要考查了反比例函数的的几何意义的应用，考查了全等三角形的判定和性质，关键是求得的面积．
 

14.【答案】解：原式
．
 

【解析】利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则及二次根式的化简是解本题的关键．
 

15.【答案】解：，
，
分解因式得：，
则或，
解得：，．
 

【解析】根据因式分解法即可求出答案．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 

16.【答案】解：过点作于，如图所示：
，
又，，，，
，
．
答：木杆的长度为．
 

【解析】过点作于，先根据同一时刻物高与影长成正比求出的影长，再根据此影长列出比例式即可．
本题考查了相似三角形的应用；在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求．

，是边的中点，
是的中点，
是的中位线，
．
 

【解析】过点作交于，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，平行线分线段成比例定理定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：正方形边长为，
则对角线，
且，
，
菱形面积
，
．
故正方形的边长为．
 

【解析】根据题意可知，且，故菱形面积，且，根据可求得的值，且为正方形的边长，即可解题．
本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，菱形面积的计算，菱形各边长相等的性质，本题中求证是解题的关键．
 

19.【答案】解：∽，相似比为，
理由如下：
设正方形的边长为，
由勾股定理可求得，，，且，，
，
∽，且相似比为．
 

【解析】不妨设正方形的边长为，由条件可求得，，，且，，则可得到，可判定∽．
本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形判定的方法是解题的关键．
 

20.【答案】
 

【解析】解：恰好抽到“冬季两项”的概率是，
故答案为：；
“越野滑雪”、“高山滑雪”、“冬季两项”、“自由式滑雪”分别记为甲、乙、丙、丁，
画树状图如下：

共有种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有种结果，
恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为：．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有种结果，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：，
．
在中，，，
，
，
；

在中，，，，
．
 

【解析】解，根据，，求得，那么，再利用勾股定理即可求出；
在中，利用三角函数，即可求出的值．
此题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，求出是解本题的关键．
 

22.【答案】 
 

【解析】解：这次活动共调查的人数为人，
故答案为：；

在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为，
故答案为：；

将微信记为，支付宝记为，银行卡记为，列表格如下：

共有种等可能性的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有种，
则两人恰好选择同一种支付方式．
用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数；
用乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
 

23.【答案】解：如图，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，过点作于，
在中，，，


，
，，
，
，
在中，，，


，


，
答：点到的距离约为．
 

【解析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系分别求出、，进而求出即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

24.【答案】 
 

【解析】解：把点的坐标分别代入一次函数与反比例函数得，
，，
，，
故答案为：，；
由线段沿射线的方向平移，可得，
直线的关系式为，
所在的直线的关系式为，，，
方程组的解为，，
直线与双曲线，在第一象限内的交点的坐标为，
因此点到点移动的路径为先向右移动个单位，再向上移动个单位，
所以点也相应的向右移动个单位，向上移动个单位，得到点，
答：点
将点的坐标分别代入一次函数与反比例函数可求出、的值；
根据平移的性质可得出直线的关系式，进而求出直线与反比例函数的交点坐标，确定平移的方向和距离，再根据点的坐标得出点的坐标．
本题考查反比例函数与一次函数图象的交点坐标，平移的性质以及平移与坐标变化，掌握平移与坐标的变化规律以及反比例函数与一次函数图象的交点坐标是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：一次函数经过点，
，解得，
，当时，，
，
设二次函数解析式为，
代入点，得：，
解得，
二次函数解析式为；
点关于对称轴直线的对称点为，
二次函数的函数值大于时，自变量的取值范围．
 

【解析】根据题意，先可以求，再求出点的坐标，从而可以求得二次函数的解析式；
根据对称性求得该函数与轴的另外一个交点坐标，再根据函数图象即可得到函数值为正数时，自变量的取值范围．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

26.【答案】证明：证明：延长、交于点，如图，

四边形是正方形，
．
．
平分，
．
．
．
，，不难证明≌
．
．

成立．
证明：作交的延长线于点，如图所示．

四边形是正方形，
，，．
，
．
．
≌．
，．
，
．
，
．
．
．
．

结论仍然成立．
证明：延长、交于点，如图，

四边形是矩形，
．
．
平分，
．
．
．
不难证明≌．
．
．
结论不成立．
证明：假设成立．过点作，交的延长线于点，如图所示．

四边形是矩形，
，．
，
．
．
．
，
．
，
，
．
．
．
，
．
≌，
．
这与条件““矛盾，故假设不成立．
不成立．
 

【解析】从平行线和中点这两个条件出发，延长、交于点，如图，易证≌，从而有，只需证明即可．
作交的延长线于点，易证，只需证明即可；要证，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．
在图中，仿照中的证明思路即可证到仍然成立；在图中，采用反证法，并仿照中的证明思路即可证到不成立．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识，考查了基本模型的构造平行加中点构造全等三角形，考查了反证法的应用，综合性比较强．添加辅助线，构造全等三角形是解决这道题的关键．