初中人教版22.3 实际问题与二次函数同步练习题

22.3.2 销售、投球、喷水问题（附解析）

一、单选题(共10个小题)

1．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（　  　）

A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元

2．某种产品按质量分为个档次，生产最低档次产品，每件获利润元，每提高一个档次，每件产品利润增加元，用同样工时，最低档次产品每天可生产件，提高一个档次将减少件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量増加），那么等于（       ）

A． B． C． D．

3．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是y＝－2x2＋60x＋800，则利润获得最多为（    ）

A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元

4．向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为公尺，且时间秒与高度公尺的关系为、为常数，且若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则下列哪一个时间的高度是最高的？（       ）

A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒

5．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6），则小球最高时，运动的时间是（　　   ）

A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒

6．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（   　　）

A．2 B．4 C．6 D．2+

7．在某圆形喷水池的池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若喷出的抛物线形水柱解析式为（0≤x≤3），则水管长为(       )

A．1m B．2m C．m D．3m

8．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是（    ）

A．20米 B．18米 C．10米 D．8米

9．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（      ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4

10．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（        ）

A．小球落地点距O点水平距离为7米

B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势

C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m

D．小球距斜坡的最大铅直高度为

二、填空题(共10个小题)

11．某商品的销售利润y与销售单价x的关系为y＝+2650，则当x=_______元时，y有最_______值，这个值为______元．

12．某果园有100棵苹果树，平均每棵树可结660个苹果，根据经验估计，在这个果园里每多种一棵树，平均每棵树就会少结6个苹果，则果园里增__________棵苹果树，所结苹果的总数最多．

13．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤24，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若利润为y，则y关于x的解析式___________________，若利润最大，则最大利润为______元．

14．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为______s．

15．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．

16．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣，则他将铅球推出的距离是 _____m．

17．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口A距地面，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为__________m．

18．某大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中画出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出的水平距离最大为________米．

19．公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.8米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA水平距离为1米时，达到距水面最大高度1.44米（不计其他因素）．则水池的半径至少要________米，才能使喷出的水流不致落到池外．

20．某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了___________米．

三、解答题(共3个小题)

21．某市城建公司新建了一个购物中心，共有商铺30间，据调查分析，当每间的年租金为10万元时，可全部租出，若每间的年租金每增加1万元，则少租出商铺2间，为提供优质服务，城建公司引入物业公司代为管理，租出的商铺每间每年需向物业公司缴纳物业费1万元，未租出的商铺不需要向物业公司缴纳物业费．

(1)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益最大，最大收益为多少？

(2)当每间商铺的年租金满足什么条件时，该公司的年收益不低于280万元？

22．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．

(1)求y关于x的函数表达式；

(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

23．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．

(1)若，；

①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；

②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；

③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；

(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．

22.3.2 销售、投球、喷水问题解析

1．

【答案】C

【详解】解：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．

依题意有：

y＝（35﹣x）（50+2x）

＝﹣2x2+20x+1750

＝﹣2（x﹣5）2+1800，

∵﹣2＜0，

∴当x＝5时，y最大，最大值为1800，

∴最大销售额为1800元．

故选：C．

2．

【答案】C

【详解】解：设总利润为y元，

∵第档次产品比最低档次产品提高了个档次，

∴每天利润为，

∴当时，产品利润最大，每天获利864元，

故选C．

3．

【答案】D

【详解】解：y＝－2x2＋60x＋800＝－2（x－15）2＋1250

∵－2＜0

故当x＝15时，y有最大值，最大值为1250

即利润获得最多为1250元

故选：D．

4．

【答案】B

【详解】解：此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，

抛物线的对称轴是：，

炮弹所在高度最高时：

时间是第8.5秒，

最接近，

故选B．

5．

【答案】C

【详解】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，

∵﹣5＜0，0≤t≤6，

∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，

∴小球运动3秒时，小球最高，

故选：C．

6．

【答案】C

【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，

∵a=-1＜0

∴当x=2时，水柱的最大高度是：6．

故选C．

7．

【答案】C

【详解】解：函数解析式

令，则

则水管的长度为

故选：C．

8．

【答案】A

【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，

设抛物线解析式为，将点代入，得

解得

∴抛物线解析式为

令，解得（负值舍去）

即，

故选：A

9．

【答案】D

【详解】解：当x=0时，y=3，故柱子OA的高度为3m；（1）正确；

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴顶点是（1，4），

故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确；

解方程-x2+2x+3=0，

得x1=-1，x2=3，

故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．

故选D．

10．

【答案】C

【详解】解：联立两函数解析式，得

，解得：或，

则小球落地点距O点水平距离为7米，

故A选项不符合题意；

∵，

则抛物线的对称轴为x=4，

∵<0，

∴当x＞4时，y随x的增大而减小，

即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，

故B选项不符合题意；

当y=7.5时，7.5=4x-x2，

整理得x2-8x+15=0，

解得，x1=3，x2=5，

∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，故此选项符合题意；

如图，设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B，

∴B(x,)，

∴AB=4x-x2-=-x2x=-(x-)2+，

∵<0，

∴当x=时，AB有最大值，最大值=，

即小球距斜坡的最大铅直高度为，

故D选项不符合题意．

故选：C．

11．

【答案】     50     大     2650

【详解】解：∵<0，

∴抛物线开口向下，

∵销售利润y与销售单价x的关系为y＝﹣+2650，

∴当单价定价为每件50元时，可获得最大利润2650元．

故答案为：50，大，2650．

12．

【答案】5

【详解】解：设果园里增x棵苹果树，所结苹果的总数为y，

根据题意得y＝（100+x）（660﹣6x）

＝﹣6x2+60x+66000

＝﹣6（x﹣5）2+66150，

∵a＝﹣6，

∴当x＝5时，y有最大值66150，

即果园里增5棵苹果树，所结苹果的总数最多．

故答案为5．

13．

【答案】     y＝﹣（x﹣25）2+25     24

【详解】解：设最大利润为元，

则，

∵20≤x≤24，

当时，二次函数有最大值24，

故答案是：；24．

14．

【答案】5

【详解】解：由题意可知，当时，，

整理得，解得或，

小球飞出时间为s，落地时间为s，

小球从飞出到落地所用的时间为s，

故答案为：．

15．

【答案】2

【详解】根据题意，有，

当时，有最大值．

故答案为：2．

16．

【答案】10

【详解】解：当y=0时，-=0，

解之得x1=10，x2=-2（不合题意，舍去），

所以推铅球的距离是10米．

故答案为10

17．

【答案】

【详解】解：如图，以所在直线为轴、所在直线为轴建立直角坐标系，

由题意知，抛物线的顶点的坐标为、点，

设抛物线的解析式为，

将点代入，得：，

解得：，

则抛物线的解析式为：，

当时，有，

解得：（舍或，

m，

答：水流的落地点到水枪底部的距离为．

故答案为：．

18．

【答案】4

【详解】解：∵喷出水的路径是抛物线，

∴水喷出的最大水平距离为抛物线顶点横坐标的2倍．

∵，

∴顶点坐标为（2，4）．

∴水喷出的最大水平距离为：（千米）．

故答案为：4．

19．

【答案】2.5

【详解】根据题意可得抛物线的顶点坐标为，且图象过点，

，

，

，则，

当时，，即，

解得，（舍去），故水池半径至少为2.5米．

故答案为：2.5．

20．

【答案】

【详解】解：如图，以地面为x轴，中心立柱为y轴建立平面直角坐标系．

根据题意可知水柱可以看成抛物线（只考虑第一象限）．

由题意可知C点坐标为(-4，0)．

∵喷水头A喷出的水柱距池中心3米处达到最高，

故该抛物线的对称轴为．

∴设该抛物线解析式为，

又∵水柱最远落点到中心M的距离为9米，

∴该抛物线又经过点(9，0)．

∴，即，

∴该抛物线解析式为．

当x=0时，

故点A坐标为(0，-27a)．

由题意可知将喷水头A向上移动1.5米至点B，即将抛物线向上平移1.5．

∴平移后的抛物线为．

∴点D坐标为(3，)．

设经过点A、C的直线解析式为，

∴，解得．

即经过点A、C的直线解析式为．

又∵该直线经过点D．

∴．

解得：．

故平移后的抛物线解析式为，

整理得：．

当时，即，

解得：（舍）．

∴移动后最远落点到中心M的距离为米，

∴移动后水柱最远落点到中心M的距离增加了（米）．

故答案为：．

21．

【答案】(1)当每间商铺的年租金定为13万元时，该公司的年收益最大，最大收益为288万元

(2)当每间商铺的年租金定在11到15万元时（含11万和15万），该公司的年收益不低于280万元．

【详解】（1）解：（1）设每间商铺的年租金定比10万增加x万元时，该公司的年收益为 万元，

根据题意得，出租的商铺数量为，且，

∴，

∵,

∴

∵﹣2＜0，抛物线的开口向下，

∴当x＝3时，y有最大值，最大值为288，此时，年租金为13万元，

答：当每间商铺的年租金定为13万元时，该公司的年收益最大，最大收益为288万元；

（2）由（1）得，

当时，，

∴，

∴，

由于抛物线开口向下，

∴当时，，

∴当每间商铺的年租金定在11到15万元时（含11万和15万），该公司的年收益不低于280万元．

22．

【答案】(1)y关于x的函数表达式为；

(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．

【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，

∴设，

∵经过点(0， )，

∴

解得∶

∴，

∴y关于x的函数表达式为；

（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶

∵对于二次函数，当y=0时，有

∴，

解得∶， (舍去)，

∵>6.70，

∴该女生在此项考试中是得满分．

23．

【答案】(1)①,；②；③；(2)

【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，

设．

又∵抛物线经过点，

∴，

∴．

∴上边缘抛物线的函数解析式为．

当时，，

∴，（舍去）．

∴喷出水的最大射程为．

             图1

②∵对称轴为直线，

∴点的对称点的坐标为．

∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，

即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．

③如图2，先看上边缘抛物线，

∵，

∴点的纵坐标为0.5．

抛物线恰好经过点时，

．

解得，

∵，

∴．

当时，随着的增大而减小，

∴当时，要使，

则．

∵当时，随的增大而增大，且时，，

∴当时，要使，则．

∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，

∴的最大值为．

再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，

∴的最小值为2．

综上所述，的取值范围是．

（2）的最小值为．

由题意得是上边缘抛物线的顶点，

∴设上边缘抛物线解析式为．

∵上边缘抛物线过出水口（0，h）

∴

解得

∴上边缘抛物线解析式为

∵对称轴为直线，

∴点的对称点的坐标为．

∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，

∴下边缘抛物线解析式为．

当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，

∵DE=3

∴设点，，，

∵D在下边缘抛物线上，

∴

∵EF=1

∴

∴，

解得，

代入，得．

所以的最小值为．