人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数随堂练习题

22.3.1 图形、拱桥、运动问题（附解析）

一、单选题(共10个小题)

1．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（       ）

A．米 B．米 C．米 D．米

2．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　 　）

A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m

3．如图，某拱形门建筑的形状时抛物线，拱形门地面上两点的跨度为192米，高度也为192米，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，可用函数表示，则a的值为（    　）

A． B． C． D．

4．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：

①；

②池底所在抛物线的解析式为；

③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；

④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，

则最深处到水面的距离减少为原来的．

其中结论正确的是（          ）

A．①② B．②④ C．③④ D．①④

5．如图，是等腰直角三角形，，，为上的动点，交折线于点，设，的面积为，则与的函数图象正确的是（       ）

A． B．

C． D．

6．如图1，等边△ABC中，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD＝60°，PD交AB于点D．设BP＝x，BD＝y，如图2是y关于x的函数图象，则等边△ABC的边长为（         ）

A．2 B．2 C．4 D．3

7．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PO，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图像中能大致表示y与x的函数关系的是（        ）

A． B．

C． D．

8．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（        ）

A．7 B．8 C．9 D．10

9．两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，则这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为（        ）

A． B．

C． D．

10．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点M在矩形ABCD区域内（含边界），且该抛物线经过原点O（0，0），则a的取值范围是（        ）

A．－2≤a≤－1 B． C． D．

二、填空题(共10个小题)

11．如图用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长9m），则这个围栏的最大面积为________ ．

12．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，拱桥对应抛物线的解析式为__________________．

13．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，8）在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为___________．

14．如图，在一块等腰直角三角形ABC的铁皮上截取一块矩形铁皮，要求截得的矩形的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知厘米，设DG的长为x厘米，矩形DEFG的面积为y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为________________．（不要求写出定义域）

15．如图，矩形中，，，点从点出发，沿边向点以1cm/s的速度移动；点从点出发，沿边向点以2cm/s的速度移动．，同时出发，分别到，后停止移动，则的最小面积是______．

16．如图，在中，，mm， mm，动点从点开始沿边向以1mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，那么经过___________秒，四边形的面积最小．

17．如图，在△ABC中，∠C ＝90°，AB ＝10cm，BC ＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为___________cm2

18．有一座抛物线形拱桥，其最大高度为9m，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的函数解析式为________________，其中自变量x的取值范围是______．

19．如图，某单位的围墙由一段段形状相同的抛物线形栅栏组成，为了牢固，每段栅栏间隔0.2米设置一根立柱（即AB间间隔0.2米的7根立柱）进行加固，若立柱EF的长为0.28米，则拱高OC为_____米

20．如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降3m时，水面的宽为_____m．

三、解答题(共3个小题)

21．某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）

(1)直接写出c＝　 　；

(2)求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？

(3)该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由.

22．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如图1），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？

(3)如果该隧道内设双向道（如图2），为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？

23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，线段AB上一动点D，以1cm/s的速度从点A出发向终点B运动．过点D作DE⊥AB，交折线AC－CB于点E，以DE为一边，在DE右侧作正方形DEFC．设运动时间为x（s）（0＜x＜4）．正方形DEFG与△ABC重叠部分面积为y（cm2）．

(1)当x＝        s时，点F在BC上；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

22.3.1 图形、拱桥、运动问题解析

1．

【答案】C

【详解】解：∵AC⊥x轴，OA=5米，

∴点C的横坐标为-5，

当x=-5时，y=-0.01（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，

∴C（-5，-2.25），

∴桥面离水面的高度AC为2.25米．

故选：C．

2．

【答案】C

【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点，

由平面直角坐标系可知，，即，

设抛物线的解析式为，

将点代入得：，解得，

则抛物线的解析式为，即，

当时，，

所以水面下降，

故选：C．

3．

【答案】D

【详解】解：如图，若取拱形门地面上两点的连线作x轴，两点的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（96，0），

可设抛物线的解析式为，

将A（96，0）代入，得：，

解得：，

所以，该抛物线的解析式为，

故选：D．

4．

【答案】B

【详解】①由题可知，AB=15－（﹣15）=30m，则①错误；

②对称轴为y轴，交y轴于点(0，﹣5)，设函数解析式为 ,将点(15,0)代入解析式得，解得，池底所在抛物线解析式为，则②正确；

③将代入解析式得 ，解得，则池塘最深处到水面CD的距离为m,则③错误；

④设原宽度为时最深处到水面的距离为m，宽度减少为原来的一半时距离为m，故④正确，

所以①、③错误，②、④正确，

选项B正确，符合题意．

故选：B．

5．

【答案】B

【详解】解：由题意可得，

当时，，

当时，，

当时，函数图象为的右半部分，当时，函数图象为的右半部分，

故选：B．

6．

【答案】C

【详解】解：根据函数图象可得，

当x=2时，y=1，

∵PD⊥AB，

∴∠PDB=90°，

∵，

∴∠BPD=30°，

∴∠APB=90°，

∴AP⊥BC，

∴BC=2PB=4，

∴等边三角形的边长为4，

故选：C．

7．

【答案】A

【详解】解：①当0≤x≤2时，

∵正方形的边长为2cm，

∴y＝S△APQ＝AQ•AP＝x2；

②当2＜x≤4时，

y＝S△APQ

＝，

＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）

＝﹣x2+2x，

y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图像表示，根据各选项，只有A选项图像符合．

故选：A．

8．

【答案】C

【详解】解：当y=14时，，

解得，，

∴A（，14），C（，14），

∴AC=．

故选：C．

9．

【答案】D

【详解】∵两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，

∴另一个正方形的边长为，

∴这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为，

故选：D．

10．

【答案】D

【详解】根据图象可知：A（1，1），B（3，1），C（3，2），D（1，2）．

当顶点在A，D之间时，图象经过点（0，0）和（2，0），

∴．

当x=1，，

解得；

当顶点在B，C之间时，图象经过点（0，0）和（6，0），

∴．

当x=3，，

解得．

∵顶点在矩形ABCD内，

∴．

故选：D．

11．

【答案】32

【详解】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16-2x）m，

∴矩形围栏的面积为

∵ 墙长9m

∴16-2x≤9  即 x≥

∴当x=4时，矩形有最大面积为，

故答案为：32．

12．

【答案】（或）

【详解】解：以B为原点、AB所在水平线为x轴建立坐标系，

由题意得A（-4，0），顶点（-2，2），

设抛物线的解析式为：

把A（-4，0）代入，得

4a＝﹣2，解得a，

所以抛物线解析式为．

故答案为：．

13．

【答案】

【详解】解：把A（4，8）代入中得8＝16a，

解得a＝，

∴，

设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，

∴点E坐标为（m，8﹣2m），

∴＝8﹣2m，

解得m＝（舍）或m＝，

∴CD＝2m＝，

故答案为：．

14．

【答案】

【详解】解：∵是等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∵四边形DEFG是矩形，

∴BE⊥DE，

∴BE=DE，

∴

故答案为：．

15．

【答案】

【详解】解：假设经过t秒后最小，

结合图形可知：，，，

∴

化简得：

∴当时，有最小值为，

故答案为：．

16．

【答案】4

【详解】解：设移动时间为秒，四边形的面积为，

由题意得：，，

，

，

，

，

整理得：，

由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，

即经过4秒，四边形的面积最小，

故答案为：4．

17．

【答案】15

【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，

∴AC==6cm．

设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6-t）cm，CQ=2tcm，

∴S四边形PABQ=S△ABC-S△CPQ，

代入得：S四边形PABQ =×6×8-（6-t）×2t

变形得：S四边形PABQ =（t-3）2+15，

∴当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．

故答案为：15．

18．

【答案】         

【详解】解：由函数图像可得该抛物线的顶点坐标是（15，9）

设解析式是：y＝a（x﹣15）2+9，

根据题意得：225a+9＝0，解得a＝﹣．

∴函数关系式y＝﹣（x﹣15）2+9，

由图像可以看出0≤x≤30．

故答案为：y＝﹣（x﹣15）2+9，0≤x≤30．

19．

【答案】0.64

【详解】

解：如图，以点C为坐标系原点，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系．

设抛物线的解析式为，

由题意可知：点A的横坐标为－0.8，点F的横坐标为－0.6，

代入，

有，，

点A的纵坐标即为OC的长，

∴0.36a＋0.28＝0.64a，

解得a＝1，

∴抛物线解析式为，

，

故OC的长为：0.64m．

20．

【答案】6

【详解】如图：根据题意建以现有水面为x轴，拱桥顶点为为抛物线顶点建立直角坐标系，

所以顶点C（0，4），B（6，0），

设抛物线方程为y=ax2+4,

把B（6，0）代入得：36a+4=0，

解得：a=- ，

∴抛物线方程为：y=-x2+4，

水面下降3米为-3，代入方程得：

-3=x2+4，

解得：x= （负值舍去），

2=6.

故答案为6

21．

【答案】(1)5；(2)10米；(3)能安全通过，理由见解析．

【详解】（1）解：∵顶点C（0，5）

∴c＝5，

故答案为：5．

（2）解：由题意可得：0＝﹣x2+5，

解得：x1＝5，x2＝﹣5，

故AB＝2×5＝10米．

（3）解：把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4，

故能安全通过．

22．

【答案】(1)；(2)它能通过该隧道；(3)货运卡车不能通过．

【详解】（1）∵OE为线段BC的中垂线，

∴．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=8m,AB=CD=2m,

∴OC=4．

∴D（4，2，）．E（0，6）．

设抛物线的解析式为y=ax2+c,由题意，得

，

解得：，

∴；

（2）由题意，得

当y=4.4时，，

解得：，

∴宽度为：，

∴它能通过该隧道；

（3）据题意，x=-0.2-2.4=-2.6m或x=0.2+2.4=2.6m,

把x=±2.6代入解析式，

得y=4.31m.

∵4.31m＜4.4m,

∴货运卡车不能通过．

23．

【答案】(1)；(2)（）；（）；（）

【详解】(1)解：如图1，

∵∠C=90，AC=BC

∴∠A=∠B=45

∵DEAB，AB=4cm，正方形DEFG

∴当F在BC上时，

∴AD= DE= DG=FG=GB=

∴运动时间x==s

∴当x＝s时，点F在BC上．

(2)解：∵∠C=90，AC=BC

∴∠A=∠B=45

∵DEAB，正方形DEFG，动点D以1cm/s的速度从点A出发向终点B运动

∴AD=DE=DG=FG=x

当时，如图2，重叠部分是正方形DEFG

∴y=S正方形DEFG= DG2=x2

当时，如图3，

正方形DEFG与BC边相交于M，N，重叠部分是五边形DEMNG

∴y=S正方形DEFG-

∠FMN=∠B=45

∴FN=FM

∵AB=4

∴NG=BG=AB-AG=4-2AD=4-2x

∴FN=FG-NG=x-（4-2x）=3x-4

∴

∴

当时，如图4

此时，点G与点B重合，重叠部分是

∴BD=DE

∴

∴y关于x的函数解析式为：

（）；

（）；

（）．