2023届陕西省咸阳市武功县普集高级中学高三上学期第一次月考数学（理）试题含解析

2023届陕西省咸阳市武功县普集高级中学高三上学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别解两个不等式，再根据集合运算求交集即可.

【详解】解：解不等式得，故，

解不等式得，故，

所以.

故选：C.

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，集合的交集运算，是基础题.

2．已知，则x的取值范围为（       ）

A． B． C．(0，2) D．R

【答案】B

【分析】讨论底的范围，由配方法可求得，再由指数函数单调性，可解不等式.

【详解】恒成立，

根据指数函数单调性，单调递增，

，解得，即的取值范围是

故选：B.

【点睛】利用单调性解不等式，单调递增，若，则.

3．下列命题错误的是(       )

A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”

B．命题“若，则”的否命题为“若，则”

C．若命题p：或；命题q：或，则是的必要不充分条件

D．“ ”是“”的充分不必要条件

【答案】C

【分析】根据逆否命题的定义可判断A；根据否命题的定义可判断B；求出、，根据充分条件和必要条件的概念可以判断C；解出不等式，根据充分条件和必要条件的概念可判断D.

【详解】命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；

命题“若，则”的否命题为“若，则”，故B正确；

若命题p：或；命题q：或，则：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要条件，故C错误；

或x＜1，故“ ”是“”的充分不必要条件，故D正确.

故选：C.

4．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　　）

A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)

【答案】C

【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．

【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，

∴在R上是减函数，

∴，解得，

∴a的取值范围是．

故选：C．

5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，构造函数，利用函数单调性比较大小即可.

【详解】令，所以

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

因为，，，

所以，即.

故选：C

6．函数对任意，都有的图形关于对称，且   则（       ）

A．-1 B．1 C．0 D．2

【答案】B

【分析】根据题意得到函数周期为12，函数为奇函数，据此得到，计算得到答案.

【详解】函数周期为，，

的图形关于对称，故关于对称，.

故.

故选：B.

7．函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据解析式求得函数奇偶性，以及即可容易求得结果.

【详解】因为的定义域为，且，故为偶函数，

排除C，D，验算特值，排除A,

故选：B

【点睛】本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题.

8．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（       ）

A． B．或

C． D．或

【答案】B

【分析】根据函数的性质推得其函数值的正负情况，由可得到相应的不等式组，即可求得答案.

【详解】因为是偶函数且在上单调递增，，故，

所以当或时，，当时，．

所以等价于或 ，

解得或，所以不等式的解集为，

故选：B．

9．已知（为常数）为奇函数，则满足的实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由奇函数的定义列方程求出的值，再判断函数的增减性，从而利用函数的单调性可求得答案

【详解】因为函数为奇函数，

所以，

，得

所以，

任取，则，

则，

所以，，则函数为上的增函数，

由，解得.

故选：A.

10．已知命题p：“”是的充要条件，命题q：下列结论中正确的是 （       ）

A．命题“”是真命题 B．命题“”是真命题

C．命题“”是假命题 D．命题“”是假命题

【答案】D

【分析】先根据条件判断出命题的真假，然后根据命题的逻辑运算逐一判断即可.

【详解】因为，

显然时，也成立，

所以“”是的充分不必要条件，故是假命题，

对于命题，取，则 ，

所以是真命题，所以命题“”是假命题.

故选: D.

11．已知函数，则满足不等式的的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先画出图象，结合图象得到或，解不等式即可.

【详解】

画出的图象如图所示，要使不等式成立，必有或，

由可得；由可得，综上可得.

故选：C.

12．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

【详解】因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

二、填空题

13．命题“”为真，则实数a的范围是__________

【答案】

【分析】将问题转化为“不等式对恒成立”，由此对进行分类讨论求解出的取值范围.

【详解】由题意知：不等式对恒成立，

当时，可得，恒成立满足；

当时，若不等式恒成立则需，解得，

所以的取值范围是，

故答案为：.

【点睛】思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路：

（1）先分析的情况；

（2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围；

（3）综合（1）（2）求解出最终结果.

14．已知，若，则___________.

【答案】8

【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．

【详解】解：由，且

所以是方程的两根，

解得或，

又，所以，即，又

从而，且，则，．

所以.

故答案为：8.

15．是定义在上的奇函数，且满足，又当时，，则______．

【答案】

【分析】依题意可得，即可得到是以为周期的周期函数，再根据对数的运算及奇函数的性质计算可得.

【详解】解：因为，所以，即，

所以是以为周期的周期函数，

又

所以，

又是定义在上的奇函数，所以，且当时，，

所以.

故答案为：

16．函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：

①函数的最小正周期为2；

②若，则；

③函数在区间上单调递增；

④函数，所有零点之和为12．

其中，所有正确结论的序号是______．

【答案】②③④

【分析】根据题意可得的图象关于对称，周期为4，再结合时，，分析判断②③，对于④，转化为函数与的图象交点的横坐标，画出函数图象再判断即可

【详解】因为函数是定义域为R的奇函数，满足，

所以，

所以，

所以，

所以函数的最小正周期为4，所以①错误，

因为是定义域为R的奇函数，所以，

因为，所以的图象关于直线对称，

所以，，

因为函数的最小正周期为4，所以，则，所以②正确，

因为当时，，

所以在上递增，

因为函数是定义域为R的奇函数，所以在，

所以在区间上单调递增，所以③正确，

由，得，则的零点为函数与的图象交点的横坐标，的周期也为4，图象也关于直线对称，

在同一坐标系中画出两函数的图象，如图所示，

由图象可知两函数图象在上的交点的横坐标为0，2，4，6，其和为12，所以函数，所有零点之和为12，所以④正确，

故答案为：②③④

三、解答题

17． 已知集合，，.

（1）当时，求；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求解指数不等式，解得集合；根据集合交运算即可容易求得结果；

（2）分集合是否为空集，根据题意，列出不等式，即可容易求得参数范围.

【详解】（1），时，，

∴

（2）∵，

∴当时，，即，符合题意；

当时，即时，只需或即可.

解得或，

综上，的取值范围为.

【点睛】本题考查集合的交运算，以及由集合交集得结果求参数范围，涉及指数不等式的求解，属综合基础题.

18．已知，.

（1）判断的奇偶性并说明理由；

（2）求证：函数是增函数.

【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解；

（2）根据函数的单调性的定义和判定方法，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数的定义域为关于原点对称，

又由，所以是奇函数.

（2）设，且，

则，

因为，所以，，

所以，即，

所以函数在上是增函数.

19．已知:方程表示焦点在轴上的椭圆.；:不等式有解.

（1）若为真命题，求实数的取值范围；

（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）分别讨论当时，当时，利用方程有解求实数的取值范围即可；

（2）先求出均为真命题时实数的取值范围，再结合与必然一真一假，求解即可得解.

【详解】（1）当时，不等式显然有解，当时，有解.当时，因为有解，所以，所以.所以当为真命题时，的取值范围为.

（2）因为“”为假命题，“”为真命题，所以与必然一真一假.

若:方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题，

方程可化为，则需.

由(1)知，若为真，则.

所以或，

解得或.

所以实数的取值范围为.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程、重点考查了不等式以及常用逻辑用语，属基础题.

20．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，.

（1）求证：是周期函数；

（2）当时，求的解析式；

（3）计算.

【答案】（1）见解析（2）（3）0

【详解】试题分析：（1）对任意实数，恒有得出，周期为4，（2）任取，则，有，解出（3）由（1）可知为一个周期的函数值，和为0，所以很容易得出做后结果0.

试题解析：

（1）由，，

∴是以4为周期为周期函数；

（2）任取，则，有

，

∴；

（3），，

由（1）可知为一个周期的函数值，和为0，所以

.

点睛：本题是奇偶性周期性的综合，利用给出的等式结合奇偶性得出周期，对于这类型的问题利用周期性，主要解决一共包含几个周期，一个周期的和是多少，剩余哪些项可以利用周期求解.

21．已知函数满足：①函数是偶函数，②关于x的不等式的解集是．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数在上的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由①得出的对称轴，再由②得出的一个根，进而求出函数的解析式；

（2）讨论的对称轴与所给区间中点的位置关系即可求出.

【详解】(1)解：由①可得：函数关于对称

，得

由②可知：是方程的一个解

则有，得

(2)解：由题意有：

对称轴为：

当，即时，

当，即时，

22．已知函数的定义域为R，满足对任意的x、y都有，当时，.

(1)证明的奇偶性；

(2)是否存在使得在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）令，即可求出，再令，即可得到，即可得证；

（2）首先证明函数的单调性，根据函数的单调性与奇偶性可得在上恒成立，参变分离，结合指数函数的单调性计算可得；

【详解】(1)证明：显然的定义域是，关于原点对称．

又函数对一切、都有，

令，得，．

再令，得，

，

为奇函数．

(2)解：任取，，且，

，

时，，

，

又，

，即，

函数在上单调递减，

依题意在上恒成立，

即在上恒成立，

等价于在上恒成立，即在上恒成立，

因为， 在上单调递增，所以，所以，解得，即